2020学年高二数学下学期期中试题（A）

2020学年高二数学下学期期中试题（A）

- 1 - 2019 学年高二下学期 期中考试数学（A 卷） （时间 120 分钟，满分 150 分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、已知全集 ，集合 ， ,那么集合 （ ）A． B． C． D． 2、已知复数 的实部为 ，则复数 在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、下列命题中错误的是（ ） A．命题“若 x2－5x＋6＝0，则 x＝2”的逆否命题是“ 若 x≠2，则 x2－5x＋6≠0” B．命题“角 α 的终边在第一象限，则 α 是锐角”的逆命题为真命题 C．已知命题 p 和 q，若 p∨q 为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假 D．命题“若 x>y，则 x>|y|”的逆命题是真命题 4、设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、已知函数 在点 处的切线为 ，则 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6、若 为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 7、已知 是奇函数，且 ，当 - 2 - 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 8、若 的最小值是（ ） A． B． C． D． 9、函数 的图象为（ ） 10 、 已 知 定 义 域 为 的 奇 函 数 的 导 函 数 为 ， 当 时 ， ，若 ， ， ，则 的大 小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 11、设函数 要使 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 （ ) A． 或 B． C． D． 12、 设函数 且 的零点均在区间 内,则 的 最小值为（ ） - 3 - A．9 B．10 C．11 D．12 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。） 13、对于实数 ，若 ，则 的最大值为____________． 14、已知 在 上不是单调函数，则 的取值范围 为 ． 15、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，将直线 与直线 x＝1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周得 到一个圆锥，圆锥的体积 据此类比：将曲线 y＝x 2 与直线 y＝4 所围成的图形 绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积 V＝ . 16、已知函数 满足 ，函数 有两个零点， 则 的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 10 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）当 ，解不等式 ； （Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 18、（本小题满分 12 分） - 4 - 极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点为 极点，以 轴正半轴为极轴， 曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），射线 与曲线 交于（不包括极点 ）三点 ． （1）求证： ； （2）当 时， 两点在曲线 上， 求 与 的值． 19、（本小题满分 12 分） 在极坐标系中，曲线 ,曲线 ．以极点为坐标原 点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （ 为参 数）． （1）求 的直角坐标方程； （2） 与 交于不同的四点，这四点在 上排列顺次为 ,求 的 值． 20、（本小题满分 12 分） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳 元（ - 5 - 为常数， ）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为 元时，产 品一年的销售量为 （e 为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为 40 元时，该产品 一年的销售量为 500 万件．经物价部门核定每件产品的售价 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元． （Ⅰ）求分公 司经营该产品一年的利润 万元与每件产品的售价 元的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 最大，并求出 的最大 值． 参考公式： 为常数 ． 21、（本小题满分 12 分） 设函数 . （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，若函数 在 上是增函数，求 的取值范围； （Ⅲ）若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数 的最大 值． 22、（本小题满分 12 分） 函数 ( 为实数). (1)若 ，求证：函数 在 上是增函数； (2)求函数 在 上的最小值及相应的 的值； (3)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. - 6 - 莆 田第六中 2019 学年高二下学期 期中考试数学（A 卷）答案 一、选择题 DCCAC DDDBB AB 二、填空题：13、4 14、 15、 16、 三、解答题： 17、（本 小题满分 10 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）当 ，解不等式 ； （Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 解：（Ⅰ）由 ，得 ，（1 分） 两边平方，并整理得 ，（2 分） 所以不等式的解集为 . （4 分） （Ⅱ）法一： 由 ，得 ，即 . （5 分） 令 ，依题意可得 . （6 分） ，（8 分） 当且仅当 时，上述不等式的等号同时成立，所以 .（9 分） 所以 的取值范围是 . （10 分） 法二： 由 ，得 ，即 . （5 分） 令 ，依题意可得 . （6 分） ，（7 分） 易得 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， 取得最大值 . （9 分） ( , 1) (2, )−∞ − +∞ 8π [ 2,0) [4, )− +∞ ( ) 1f x x= + ( ) 2g x x a= + 0a = ( ) ( )f x g x≥ x R∈ ( ) ( )f x g x≥ a ( ) ( )f x g x≥ 1 2x x+ > ( )( )3 1 1 0x x+ − > 1| 13x x − < <   ( ) ( )f x g x≥ 1 2x x a+ ≥ + 1 2x x a+ − ≥ ( ) 1 2F x x x= + − ( )maxF x a≥ ( ) 1 1 1 1F x x x x x x x x= + − − ≤ + − − = − ≤ 0x = ( )max 1F x = a ,1− ∞（ ] ( ) ( )f x g x≥ 1 2x x a+ ≥ + 1 2x x a+ − ≥ ( ) 1 2F x x x= + − ( )maxF x a≥ ( ) 1 0 1 2 = 3 1 1 0 1 1 x x F x x x x x x x − ≥ = + − + − < <  − ≤ − ( )F x ( ),0−∞ ( )0,+∞ 0x = ( )F x 1 - 7 - 故 的取值范围是 . （ 10 分） 18、（本小题满分 12 分） 极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点为极点，以 轴正半轴为极轴，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），射线 与曲线 交于（不包括极点 ）三点 ． （1）求证： ； （2）当 时， 两点在曲线 上，求 与 的值． 18、解：(1)依题意 ， ， 则 ； (2)当 时， 两点的极坐标分别为 ，化为直角坐标为 ， 曲线 是经过点 ，且倾斜角为 的直线，又因为经过点 的直线方 程为 ， 所以 ． a ,1− ∞（ ] - 8 - 19、（本小题满分 12 分） 在极坐标系中，曲线 ,曲线 ．以极 点为坐标原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ，曲线 的参数 方程为 （ 为参数）． （1）求 的直角坐标方程； （2） 与 交于不同的四点，这四点在 上排列顺次为 ,求 的 值． 19．解：（1）因为 ， ， ，由 ，得 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 ． 由 ，得 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 ． （2）不妨设四点在 上的排列顺序由下而上依次为 , 它们对应的参数分别为 ，如图，连接 ,则 为正三角形， 所以 ,故 ． 把 代入 ，得 ，即 ，故 ， 所以 ． 1 : 2cosC ρ θ= 2 : ( cos 4) cosC ρ ρ θ θ= ⋅ + ⋅ x xOy C 12 2 3 2 x t y t  = −  = t 1 2,C C C 1 2,C C C , , ,H I J K || | | ||HI JK− cosx ρ θ= cosy ρ θ= 2 2x yρ = + 2cosρ θ= 2 2cosρ θ= 1C ( )2 21 1x y− + = ( cos 4) cosρ ρ θ θ= ⋅ + ⋅ 2 2sin 4 cosρ θ ρ θ= 2C 2 4y x= C , , ,H I J K 1 2 3 4, , ,t t t t 1C J 1C IJ | | 1IJ = || | | || || | | | | ||HI JK HI IK IJ− = − + 1 4 1 4|| | | | 1| | ( ) 1|t t t t= − + = − + + 12 2 3 2 x t y t  = −  = 2 4y x= 23 8 24 t t= − 23 8 32 0t t+ − = 1 4 8 3t t+ = − 11|| | | || 3HI JK− = - 9 - 20、（本小题满分 12 分） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳 元（ 为常数， ）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为 元时，产 品一年的销售量为 （e 为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为 40 元时，该产品 一年的销售量为 500 万件．经物价部门核定每件产品的售价 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元． （Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润 万元与每件产品的售价 元的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 最大，并求出 的最大 值． 参考公式： 为常数 ． 解：（Ⅰ）由题意，该产品一年的销售量为 ，将 代入得 ， 故该产品一年的销售量为 2 分 故 ， 5 分 （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 得 ， ， 当 时， ，当且仅当 时取等号， 故 在 上单调递减，故 的最大值为 7 分 当 时， ⇔ ， ⇔ ， 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 的最大值为 a 10 分 综上所述，当 时，每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大，最大利润为 万元；当 时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最 大，最大利润为 万元； 12 分 a a 2 5a≤ ≤ x x k e x ( )L x x ( )L x ( )L x ( )' ( ,ax b ax be ae a b+ += ) x ky e = 40, 500x y= = 40500k e= 40500 xy e −= ( ) ( ) ( )40( ) 30 500 30 35 41xL x x a y x a e x−= − − = − − ≤ ≤ ( ) ( )' 40 40 40( ) 500 30 500 31x x xL x e x a e e a x− − − = − − − = + −  ( )35 41x≤ ≤ 2 4a≤ ≤ ( )' 40( ) 500 31 4 35 0xL x e −≤ + − = 4, 35a x= = ( )L x [ ]35,41 ( )L x ( ) 5(35) 500 5L a e= − 4 5a< ≤ ' ( ) 0L x > 35 31x a≤ < + ' ( ) 0L x < 31 41a x+ < ≤ ( )L x [ ]35,31 a+ [ ]31 ,41a+ ( )L x 9(31 ) 500 aL a e −+ = 2 4a≤ ≤ ( ) 5500 5 a e− 4 5a< ≤ 9500 ae − - 10 - 21、（本小题满分 12 分） 设函数 . （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，若函数 在 上是增函数，求 的取值范围； （Ⅲ）若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数 的最大 值． 21．(本小题满分 15 分) 解：（Ⅰ）当 时， 所以 即切点为 因为 所以 所以切线方程为 即 （ Ⅱ ） y=f(x) 在 [ － 1 ， 1] 上 单 调 递 增 ， 又 方法一：（求函数 的最值，即二次函数的 动轴定区间最值） 依题意 在[－1，1]上恒有 ≥0，即 ② ；所以舍去； ②当； 所以舍去； ③当 综上所述，参数 a 的取值范围是 。 方法二：（分离参数法） （Ⅲ） 由于 ，所以 所以函数 在 上递增 所以不等式 对 恒成立 3 2 2( ) 3 3 ( )f x x ax b x a b R= − + ∈、 1, 0a b= = ( )y f x= (1, (1))f 1b = ( )f x [ ]-1,1 a 0 a b< < 1 ln( ) ( )1 x kf fx x + >− (1, )x∈ +∞ k 1, 0a b= = 3 2( ) 3f x x x= − (1) 2f = − (1, 2)P − 2( ) 3 6f x x x′ = − (1) 3 6 3f ′ = − = − 2 3( 1)y x+ = − − 3 1y x= − + )12(3363)( 22 +−=+−=′ axxaxxxf )(xf ′ )(xf ′ )(xf ′ .0122 ≥+− axx 1,022)1()(,1 min ≤∴≥−=′=′>= aafxfax 时 1,0121)1()(,1 min −≥∴≥++=−′=′−<= aafxfax 时 .11,01)()(,11 2 min ≤≤−≥+−=′=′≤≤− aaafxfa 则时 11 ≤≤− a / 2 2( ) 3 6 3 ,f x x ax b= − + 0 a b< < 2 236 36 36( )( ) 0a b a b a b∆ = − = + − < ( )f x R 1 ln( ) ( )1 x kf fx x + >− 1 ln (1 ln ) 1 1 x k x x kx x x + +⇔ > ⇔ >− − (1, )x∈ +∞ - 11 - 构造 构造 对 ， 所以 在 递增 所以 , 所以 ,所以 在 递减 ,所以 在 递增 所以, 结合 得到 所以 对 恒成立 ，所以 ，整数 的最大值为 3 . 22、（本小题满分 12 分） (1 ln )( ) 1 x xh x x += − 2 2 (2 ln )( 1) ( ln ) ln 2( ) ( 1) ( 1) x x x x x x xh x x x + − − + − −′ = =− − ( ) ln 2g x x x= − − 1 1( ) 1 xg x x x −′ = − = (1, )x∈ +∞ 1( ) 0xg x x −′ = > ( ) ln 2g x x x= − − (1, )x∈ +∞ (1) 1, (2) ln 2, (3) 1 ln3 0, (4) 2 ln 4 0g g g g= − = − = − < = − > 0 (3,4)x∃ ∈ 0 0 0( ) ln 2 0g x x x= − − = / 0(1, ), ( ) 0, ( ) 0x x g x h x∈ < < (1 ln )( ) 1 x xh x x += − 0(1, )x / 0( , ), ( ) 0, ( ) 0x x g x h x∈ +∞ > > (1 ln )( ) 1 x xh x x += − 0( , )x +∞ 0 0 min 0 0 (1 ln )( ) ( ) 1 x xh x h x x += = − 0 0 0( ) ln 2 0g x x x= − − = 0 0 min 0 0 0 (1 ln )( ) ( ) (3,4)1 x xh x h x xx += = = ∈− (1 ln ) 1 x xk x +< − (1, )x∈ +∞ min( )k h x⇔ < 3k ≤ k - 12 - 函数 ( 为实数). (1)若 ，求证：函数 在 上是增函数； (2)求函数 在 上的最小值及相应的 的值； (3)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 解：(1)当 时， ，其定义域为 ， ， 当 时， 恒成立， 故函数 在 上是增函数. (2) ， 当 时， ， ①若 ， 在 上有 (仅当 ， 时， )， 故函数 在 上是增函数，此时 ； ②若 ，由 ，得 ， 当 时，有 ，此时 在区间 上是减函数； 当 时，有 ，此时， 在区间 上是增函数， 故 ； ③若 ， 在 上有 (仅当 ， 时， )， 故函数 在 上是减函数，此时 综上可知，当 时， 的最小值为 1，相应的 的值为 1； ( ) 2 lnf x x a x= + a 2a = − ( )f x ( )1,+∞ ( )f x [ ]1,e x [ ]1,x e∈ ( ) ( )2f x a x≤ + a 2a = − ( ) 2 2lnf x x x= − ( )0,+∞ ( ) ( )22 12' 2 x f x x x x − = − = ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )1,+∞ ( ) ( )22' 2 0a x af x x xx x += + = > [ ]1,x e∈ 2 22 2, 2x a a a e + ∈ + +  2a ≥ − ( )'f x [ ]1,e ( )' 0f x ≥ 2a = − 1x = ( )' 0f x = ( )f x [ ]1,e ( ) ( )min 1 1f x f= = 22 2e a− < < − ( )' 0f x = 2 ax −= 1 2 ax −≤ < ( )' 0f x < ( )f x 1, 2 a −    2 a x e − < ≤ ( )' 0f x > ( )f x ,2 a e  −   ( )min ln2 2 2 2 a a a af x f  −  = = − −        22a e≤ − ( )'f x [ ]1,e ( )' 0f x ≤ 22a e= − x e= ( )' 0f x = ( )f x [ ]1,e ( ) ( ) 2 minf x f e a e= = + 2a ≥ − ( )f x x - 13 - 当 时， 的最小值为 ，相应的 值为 ； 当 时， 的最小值为 ，相应的 的值为 . (3)不等式 可化为 ， 因为 ，所以 ，且等号不能同时取， 所以 ，即 ，所以 ， 令 ，则 ， 当 时， ， ， 从而 (仅当 时取等号)， 所以 在 上为增函数，所以 的最小值为 ， 所以实数 的取值范围为 . 22 2e a− < < − ( )f x ln2 2 2 a a a − −   x 2 a− 22a e≤ − ( )f x 2a e+ x e ( ) ( )2f x a x≤ + ( ) 2ln 2a x x x x− ≥ − [ ]1,x e∈ ln 1x x≤ ≤ lnx x< ln 0x x− > [ ]( )2 2 1,ln x xa x ex x −≥ ∈− ( ) [ ]( )2 2 1,ln x xg x x ex x −= ∈− ( ) ( )( ) ( )2 1 2 2ln' ln x x xg x x x − + −= − [ ]1,x e∈ 1 0x − ≥ 2 2ln 0x x+ − > ( )' 0g x ≥ 1x = ( )g x [ ]1,e ( )g x ( )1 1g = − a ( ]1,− +∞