高考数学专题复习：专题一 数学思想与方法
[专题强化练(一)]
一、选择题
1．设a>0，b>0，则( )
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a
b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
即不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
3．(2014·哈尔滨模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝|n－13|，那么满足ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝102的整数k( )
A．有3个 B．有2个
C．有1个 D．不存在
4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
5.
如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，，四边形OAQP的面积为S，当取得最大值时θ的值为( )
A. B.
C. D.
6．已知函数f(x)＝x2＋4x＋4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，
f(x＋a)≤4x(a>0)恒成立，则实数t的最大值是( )
A．4 B．7 C．8 D．9
二、填空题
7．已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，则实数k的取值范围为________．
8．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
9．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．
三、解答题
10．已知直线y＝－2x－与曲线f(x)＝x3－bx相切．
(1)求b的值；
(2)若关于x的方程f(x)＝x2＋m在(0，＋∞)上有两个解x1、x2.
①求m的取值范围；
②比较x1x2＋9与3(x1＋x2)的大小．
11．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，设Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．
12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若＝8，求k的值．
[答案]
一、选择题
1．解析：选A 对于选项A：因为a>0，b>0，若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.构造函数f(x)＝2x＋2x，则f′(x)＝2xln 2＋2>0恒成立，故函数f(x)＝2x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，于是由f(a)>f(b)，可得a>b，故A选项正确．同理可知选项B、C、D均错误．
2．解析：选B 令F(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则F′(x)＝f′(x)－2>0，∴F(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
又f(－1)＝2，∴F(－1)＝f(－1)－2＝0.
∴F(x)>0的解集为(－1，＋∞)．
即不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
3． 解析：选B 由an＝|n－13|可得，当k≥13时，ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝(k－13)＋(k－12)＋…＋(k＋6)＝20k－70＝102，解得k＝∉N，不符合题意，舍去；当k<13时，则ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝13－k＋12－k＋…＋0＋1＋2＋…＋k＋6＝＋＝102，即k2－7k＋10＝0，解得k＝2或5，均符合条件，故满足条件的k值共有2个．
4．解析：选B 原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.
5.解析：选B ＝cos θ＋sin θ＝sin，当θ＝时，取得最大值．
6．解析：选D 根据不等式与方程之间的对应关系，可知1、t是方程f(x＋a)＝4x的两个根．
整理方程，得(x＋a)2＋4(x＋a)＋4＝4x，即x2＋2ax＋a2＋4a＋4＝0.
根据根与系数之间的关系，可得
由②，得t＝a2＋4a＋4，
代入①，得1＋a2＋4a＋4＝－2a，
即a2＋6a＋5＝0，
解得a＝－1或a＝－5.
当a＝－1时，t＝－2a－1＝1，而由x∈[1，t]，可知t>1，所以不满足题意；
当a＝－5时，t＝－2a－1＝9.所以实数t的值为9.
二、填空题
7．解析：令3x＝t>0，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0(t>0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，
∴解得－(2n＋1)．而－(2n＋1)≤－3，所以λ>－3.
答案：(－3，＋∞)
9．解析：设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数．
又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，所以x<0时，F(x)为增函数．
因为奇函数在对称区间上的单调性相同，
所以x>0时，F(x)也是增函数．
因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．
所以F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．
答案：(－∞，－3)∪(0,3)
三、解答题
10． 解：(1)因为f(x)＝x3－bx，所以f′(x)＝x2－b.
设切点为(x0，y0)，依题意得
解得b＝3.
(2)设h(x)＝f(x)－x2－m＝x3－x2－3x－m，
则h′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
①令h′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.在(0,3)上，h′(x)<0，故h(x)在(0,3)上单调递减．在(3，＋∞)上，h′(x)>0，故h(x)在(3，＋∞)上单调递增．
若使h(x)的图象在(0，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，则需所以－90，所以m的取值范围是－93，那么x1x2＋9－3(x1＋x2)＝(3－x1)(3－x2)<0，
所以x1x2＋9<3(x1＋x2)．
11． 解：(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，
∴S10＝145，∴S10＝，
∴a10＝28，∴公差d＝3.
∴an＝3n－2(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝＝
＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝，
∴Sn＝.
∵Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是递增数列．
当n≥3时，(Sn)min＝S3＝，
依题意，得m≤，∴m的最大值为.
12． 解：(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
[专题强化练(二)]
一、选择题
1．(2014·江西模拟)定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝2x，则满足f(1－2x)0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．
11．已知a>0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．
(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；
(2)当a∈(0,3)时，求函数y＝f(x)在闭区间[1,2]上的最小值．
12．设函数F(x)＝其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝x2－ln x，方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．
[答案]
一、选择题
1．解析：选A 设x<0，则－x>0，因为当x≥0时，f(x)＝2x，所以f(－x)＝2－x，又因为函数定义在R上的偶函数f(x)，所以f(－x)＝f(x)＝2－x.所以当x<0时，f(x)＝2－x，如图所示．因为f(1－2x)1，并且只需当x＝2时，logax≥1，即a≤2，所以10，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．综上，正确的命题是①③④.
答案：①③④
三、解答题
10．解：
f(x)≤g(x)，
即a＋≤x＋1，
变形得≤x＋1－a，令y＝， ①
y＝x＋1－a， ②
①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；
②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系．
设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tan α＝，0<α<，
∴sin α＝，cos α＝，|OA|＝2tan＝2·＝2·＝＝6.
要使f(x)≤g(x)在x∈[－4,0]时恒成立，则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1－a≥6，即a≤－5.
所以实数a的取值范围是(－∞，－5]．
11． 解：(1)因为x|x－1|＋1＝x，
所以x＝－1或x＝1.
(2)f(x)＝
(其示意图如图所示)
①当00，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝.
(1)当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有4个解；
(2)当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，
若x∈(－∞，0]，f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解．
图(1) 图(2)
(3)当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0]时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所示，从图象看出方程F(x)＝a2若有4个解，则0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
9．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝；当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．
答案：17
三、解答题
10．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
11．(2014·南平质检)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝mx－(m为实数)．
(1)求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；
(2)求函数g(x)的单调递减区间；
(3)若m＝1，证明：当x>0时，f(x)0，则f(a)＝2a，因为2a>20＝1，所以f(a)＝－2无解；
若a≤0，则f(a)＝a＋1，由f(a)＝－2，即a＋1＝－2，解得a＝－3，显然满足a≤0.综上所述，a＝－3.
3．解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4；当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.
4． 解析：选A (1)若a、b相交，必须确定一个平面α，由题设知c⊥α，d⊥α，则c∥d；(2)若a∥b，则满足题设条件的直线c、d的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a、b异面，由c⊥a，c⊥b，得c平行或重合于a、b的公垂线，同理d也平行或重合于a、b的公垂线，于是c∥d.综上所述，a∥b或c∥d必有一个成立．
5．解析：选A A＝{－4,3}．当k＝0时，B＝∅，符合要求；当k≠0时，x＝－.由A∪B＝A知B⊆A，所以－＝－4或－＝3，所以k＝或k＝－，所以实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为－，0.
6．解析：选C 当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，所以a＝2；当a－2≠0时，则a满足解得－21，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－.
11．解：(1)由题意得所求切线的斜率k＝f′＝cos＝.
切点P，则切线方程为y－＝，
即x－y＋1－＝0.
(2)g′(x)＝m－x2.
①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－或x>，
则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．
(3)当m＝1时，g(x)＝x－.
令h(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cos x≥0，
则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．
故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即sin xb>0)，
则a2－b2＝1. ①
∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是和，
∴＝·＝1－，
则1－＝，即a2＝2b4. ②
由①②消去a得2b4－b2－1＝0.
∴b2＝1或b2＝－(舍去)．
当b2＝1时，a2＝2，因此椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线斜率不存在时，易求A，B，P(0,1)，所以＝，＝，＝(1，－1)，
由t使，得t＝2，直线l的方程为x＝1，
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，＝(1，－1)，
由，得
即
因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，解得k＝－1，
此时，直线l的方程为y＝－x＋1，
联立得3x2－4x＝0，t＝x1＋x2＝，
所以，当直线斜率存在时，t＝，直线l的方程为y＝－x＋1，
综上所述，存在实数t且t＝2时，直线方程为x＝1；
当t＝时，直线l的方程为y＝－x＋1.
[专题强化练(四)]
一、选择题
1．(2014·汕头模拟)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C．(0,3] D．[3，＋∞)
2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
3．(2014·佛山一检)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．9 B．10
C．11 D.
4．已知＝(cos θ1,2sin θ1)，＝(cos θ2，2sin θ2)，若＝(cos θ1，sin θ1)，＝(cos θ2，sin θ2)，且满足＝0，则S△OAB等于( )
A. B．1
C．2 D．4
5．已知双曲线C：－＝1的右支上存在一点P，使得点P到双曲线右焦点的距离等于它到直线x＝－(其中c2＝a2＋b2)的距离，则双曲线C离心率的取值范围是( )
A．(1, ] B．[，＋∞)
C．(1, ＋1] D．[＋1，＋∞)
6．抛物线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，则常数m的取值范围是( )
A. B.
C. D．(－1，＋∞)
二、填空题
7．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．
8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
9．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足 (x＋y＋z＝1)，则的最小值等于________．
三、解答题
10．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的体积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长．
11．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝aln x，其中x>0，a∈R，令函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)若函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的范围；
(2)当a取(1)中的最大值时，判断方程h(x)＋h(2－x)＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由．
12．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－(p>0)．若抛物线C：y2＝2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以抛物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2
交于点N.试问x轴上是否存在定点Q，使点Q在以MN为直径的圆上？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
[答案]
一、选择题
1．解析：选D 由函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x∈[－1,2]时，f(x)min＝f(1)＝－1，f(x)max＝f(－1)＝3，即函数f(x)的值域为[－1,3]，当x∈[－1,2]时，函数g(x)min＝g(－1)＝－a＋2，g(x)max＝g(2)＝2a＋2，若满足题意则解得a≥3.
2．解析：选B 由题意知，函数f(x)＝ln(x＋1)－的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)<0，f(2)>0，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(1,2)．
3．解析：
选C 据三视图，可知几何体为长方体ABCD A1B1C1D1中三棱锥A1AED1被截去所剩的几何体，如图所示，∴几何体的体积V＝V长方体－V三棱锥A1AED1＝2×2×3－××3＝11.
4．解析：选B 由条件＝0，可得cos (θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ1＝，θ2＝0，代入，则A(0,2)，B(1,0)，故面积为1.
5．解析：选C 若离心率e＝2，设双曲线为x2－＝1，P(x，y)，则右焦点为(2,0)，直线为x＝－，依题意有2＝(x－2)2＋y2，联立双曲线方程，消去y，得12x2－20x＋3＝0，该方程有实根，所以离心率可以取2，排除A，D.
若离心率e＝3，设双曲线为x2－＝1，同理，可得离心率不可以取3，排除B.
6．解析：选A 若抛物线上两点(x1，x)，(x2，x)关于直线y＝m(x－3)对称，则满足
∴
消去x2，得2x＋x1＋＋6m＋1＝0.
∵x1∈R，
∴Δ＝2－8>0，
即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0.
∵6m2－2m＋1>0，
∴m<－.
即当m<－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，所以如果抛物线y＝x2上的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，那么m≥－.
二、填空题
7． 解析：设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程
t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解．
分离变量a，得a＋4＝－，
∵t>0，∴－≤－4，
∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8]．
答案：(－∞，－8]
8．解析：若在[－1,1]内不存在c满足f(c)>0，
则即
解得p≤－3或p≥，取补集得－30恒成立，
∴函数φ(t)在(0,1)上单调递增，且φ(1)＝0.
∴φ(t)＝2－－2ln t＝0在(0,1)上无解．
即方程h(x)＋h(2－x)＝0在(0,1)上无解．
12． 解：(1)当直线l1与抛物线无公共点时，由定义知l2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F.
由抛物线定义知抛物线上的点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离．
所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．
所以2＝，则p＝2.
当直线l1与抛物线有公共点时，把直线l1的方程与抛
物线方程联立，消去x得关于y的方程2y2－3py＋6p＝0，由Δ＝9p2－48p≥0且p>0，得p≥，此时抛物线上的点到直线l2的最小距离为≥>2，不满足题意．
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l的斜率存在，设为k，且k≠0，所以直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，
代入y2＝4x消去x得ky2－4y＋4y0－ky＝0，
由Δ＝16－4k(4y0－ky)＝0，得k＝，
所以直线l的方程为y－y0＝(x－x0)．
令x＝－1，又由y＝4x0得N.
设Q(x1,0)，则＝(x0－x1，y0)，
· ＝.
由题意知＝0，
即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0.
把y＝4x0代入上式，
得(1－x1)x0＋x＋x1－2＝0.
因为对任意的x0等式恒成立，
所以
所以x1＝1，即在x轴上存在定点Q(1,0)，使点Q在以MN为直径的圆上．
