高考数学复习专题练习第3讲 随机事件的概率

高考数学复习专题练习第3讲 随机事件的概率

第3讲 随机事件的概率 一、选择题 ‎1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)‎ A．0.40　　　　　　 B．0.30‎ C．0.60 D．0.90‎ 解析 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.‎ 答案 A ‎2．从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)．‎ A．0.7 B．‎0.65 ‎ C．0.35 D．0.3‎ 解析　由对立事件可得P＝1－P(A)＝0.35.‎ 答案　C ‎3．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为.‎ 答案　C ‎4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　法一　P(B|A)＝＝＝.‎ 法二　A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝.‎ 答案　A ‎5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是(　　)‎ A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输了的概率是 D．乙不输的概率是 解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－－＝；设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝；乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为；乙不输的概率为1－＝.[来源:‎ 答案 A ‎6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，‎ 其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．‎ 解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B＋D＝I，故B与D互为对立事件．‎ 答案　A与B、A与C、B与C、B与D　B与D ‎8．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．‎ 解析　记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.‎ 答案　0.96‎ ‎9．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．‎ 解析 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为＋＝.‎ 答案 ‎10．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．‎ 解析　设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝ 答案　 三、解答题 ‎11．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．‎ ‎(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；‎ ‎(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．‎ 解 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎4”‎的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于‎3”‎的事件为B.‎ 从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，15种．‎ ‎(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎4”‎的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝.‎ ‎(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎1”‎的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于‎2”‎的取法有1种：(0,2)，故P(B)＝1－＝. ‎ ‎12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．‎ ‎(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；‎ ‎(2)求他不乘轮船去开会的概率；‎ ‎(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？‎ 解　(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.‎ ‎(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，‎ 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.‎ ‎(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，‎ 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．‎ ‎13．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：‎ 血型 A B AB O 该血型的人所占比/%‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎8‎ ‎35‎ 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：‎ ‎(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？‎ ‎(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？‎ 解　(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.‎ 因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.‎ ‎(2)法一　由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.‎ 法二　因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.‎ 即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.‎ ‎14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间(分钟)‎ ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．‎ 解　(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.‎ 用频率估计相应的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，‎ ‎∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；‎ P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ ‎∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.‎ ‎(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，‎ ‎∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，‎ P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()‎ ‎＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，‎ P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54‎ ‎∴EX＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.‎