2018-2019学年上海市七宝中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市七宝中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年上海市七宝中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可．‎ ‎【详解】‎ 解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证 时是否成立，即不等式为：；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．‎ ‎2．已知、、是平面不同三点，则“”是“、、三点能构成三角形”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得三点共线或、、三点能构成三角形，‎ 当、、三点能构成三角形时，一定有，‎ 故“”是“、、三点能构成三角形”的必要非充分条件．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎3．若等比数列的公比为，则关于、的二元一次方程组的解的情况，下列说法正确的是（ ）‎ A．对任意，，方程组都有唯一解 B．对任意，，方程组都无解 C．当且仅当时，方程组无解 D．当且仅当时，方程组无穷多解 ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的公比为得出，利用两直线平行与重合的性质得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：等比数列的公比为，，‎ 当时，则关于、的二元一次方程组无解，‎ 当且仅当时，方程组无穷多解 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查等比数列、直线平行等基础知识，考查推理能力，运算能力，属于基础题．‎ ‎4．正六边形中，令，，是△内含边界的动点（如图），，则的最大值是（ ）‎ A．1 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 可得，然后再利用三点共线，数形结合可以求出的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎．‎ 令，则有．‎ ‎ 又，‎ ‎，，三点共线．‎ ‎．当达到最大为时，，点到线段的最短距离为，即恰好达到最小为．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时，构建三点共线位置关系是本题的关键．‎ 二、填空题 ‎5．若线性方程组的增广矩阵是，其解为，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解代入线性方程组即可得到、的值，最终可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：‎ ‎，‎ 将解代入上面方程组，可得：‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题．‎ ‎6．已知行列式中元素4的代数余子式是1，则实数的值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用代数余子式的性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：行列式中元素4的代数余子式是1，‎ ‎，解得，‎ 实数的值为5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查行列式、代数余子式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7．求（）________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分和两种情况讨论，综合可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 综上 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极限的计算问题，也考查了转化思想，是基础题．‎ ‎8．在△中，，，，则△面积为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两点的距离公式得，由点到直线的距离得：求得点到直线的距离，‎ 即可得到三角形面积.‎ ‎【详解】‎ 解：由，，，‎ 得，‎ 直线方程为，‎ 则点到直线的距离为，‎ 即面积为，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两点的距离公式，点到直线的距离及三角形面积公式，属中档题 ‎9．已知，，∥，则实数的值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得与的坐标，进而由向量平行的坐标表示方法可得方程，解得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎，‎ 解得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行的坐标计算，关键是求出与的坐标，属于基础题．‎ ‎10．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的、的值分别是3、2，则输出的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出的值为18．‎ ‎【详解】‎ 解：初始值，，程序运行过程如下表所示：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 跳出循环，输出的值为18．‎ 故答案为：18．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎11．已知，则当时，___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的表达式可得出和的表达式，两式相减可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数学归纳法中的相关计算，在解题时要观察两代数式之间的差异，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12．已知，，、的夹角是60°，若向量满足，则的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可设，，，然后根据，可求得，的几何意义是在上述圆上任取一点，到原点的最小值，根据圆的性质可求.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可设，，，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，是以为圆心，以1为半径的圆，‎ 则的几何意义是在上述圆上任取一点，到原点的最小值，‎ 根据圆的性质可知，圆心到的距离，‎ 则的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量数量积的性质及圆外一点到圆上距离最值的求解，解题的关键是求出圆外一点到圆心的距离，属于基础题.‎ ‎13．设函数和（，）的图像与两坐标轴围成的封闭图形的面积为，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】联立两直线，得到交点坐标，当时，判断出两直线与坐标轴围成的封闭区间的形状，即可求出对应的面积．‎ ‎【详解】‎ 解，当时，直线斜率，此时，直线与轴交点为， ‎ 当时，直线斜率，此时，直线与轴交点为，‎ 此时函数和的图象与两坐标轴围成的封闭图形近似于边长为的正方形，‎ 故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极限的计算，可以先由，判断围成四边形的形状，再计算，属于中档题．‎ ‎14．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是 ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：设 那么利用余弦定理在三角形AOC和三角形AOB中，得到：‎ 故答案为8.‎ ‎【考点】本试题考查了向量的数量积的运算。‎ 点评：解决该是试题的关键是理解给定的弦长要结合余弦定理来表示弦长，进而分析得到数量积的求解。属于中档题。‎ ‎15．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，，有下列说法：① 若与垂直，则；② ；③ 对任意的，有；④ ；正确的是________（写出所有正确的序号）‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】结合运算“”的定义分别进行计算然后判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：①若与垂直，则，‎ 则不成立，即不成立；‎ ‎②，，则不成立；‎ ‎③对任意的，，有成立，故③正确；‎ ‎④，，，‎ 则，‎ ‎，‎ 则成立，即故④正确，‎ 故正确是③④，‎ 故答案为：③④．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假关系，结合运算“”的定义以及行列式的定义以及向量数量积公式之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎16．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，若对于任意，恒成立，则公比的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，，由等比数列的求和公式可得，即有，可得，讨论，，结合恒成立思想和指数函数的单调性，即可得到所求的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：无穷等比数列的公比为，前项和为，且，‎ 即有，，‎ 由恒成立，‎ 可得，‎ 即有，‎ 可得，‎ 若，则，‎ 若可得递减，上式不恒成立；‎ 若，可得上式不恒成立；‎ 若，则，‎ 若可得递减，；‎ 若，可得，解得，‎ 综上可得，或．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的求和公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．求证：对任意的，能被64整除.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】本题和正整数有关，可以利用数学归纳法来证明，当时，式子能被64整除，命题成立，再假设当时，能够被64整除，得到当时，命题也成立．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）当时，式子能被64整除，命题成立．‎ ‎（2）假设当时，能够被64整除．‎ 当时，‎ ‎，‎ 因为能够被64整除，‎ 能够被64整除．‎ 即当时，命题也成立．‎ 由（1）（2）可知，能被64整除．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查整除的性质，本题考查数学归纳法的证明，注意三个环节不要出错，本题是一个中档题目．‎ ‎18．上海市旅游节刚落下帷幕，在旅游节期间，甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的折扣消费券，数量如表1，已知这些景区原价和折扣价如表2（单位：元）.‎ 表1：‎ 数量 景区1‎ 景区2‎ 景区3‎ 甲 ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ 乙 ‎3‎ ‎0‎ ‎1‎ 丙 ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ 表2：‎ 门票 景区1‎ 景区2‎ 景区3‎ 原价 ‎60‎ ‎90‎ ‎120‎ 折扣后价 ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A 和三个景区的门票折扣后价格矩阵B；‎ ‎（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？‎ ‎【答案】（1），；（2）三位市民各获得140、100和110元折扣.‎ ‎【解析】本题第（1）题可根据题中的表格写出相应的矩阵；第（2）题可先设三个景区的门票折扣价格矩阵，然后用这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵去乘矩阵即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意，可知：‎ 这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵，‎ 三个景区的门票折扣后价格矩阵；‎ ‎（2）由题意，可设三个景区的门票折扣价格矩阵，‎ 则．‎ 即三位市民各获得140、100和110元折扣．‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1）题主要考查联系实际写出相关矩阵；第（2）题主要考查矩阵的运算．本题属基础题．‎ ‎19．已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求实数、的值；‎ ‎（2）设△的重心为，且，且、为线段的三等分点，求的值.‎ ‎【答案】（1），；或，；（2）.‎ ‎【解析】（1）由、、在一条直线上，即，又根据向量平行与垂直的坐标运算得到方程组，解得.‎ ‎（2）由为△的重心则，又，可得，，即可表示出，，再由定比分点坐标公式求得：，的坐标， 然后利用向量的数量积的坐标运算解得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由点、、在一条直线上，满足，，，‎ 所以，，‎ 即，又，‎ 所以，‎ 解得：或．‎ ‎（2）的重心为，‎ 所以，‎ 又，‎ 解得，，‎ ‎，，‎ 由定比分点坐标公式得：，，，，‎ 所以，又，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了两向量平行与垂直的运算及平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属难度较大的题型 ‎20．已知一列非零向量满足：，.‎ ‎（1）写出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出向量与的夹角，并将中所有与平行的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，为坐标原点，求点列的坐标；‎ ‎（3）令（），求的极限点位置.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）得出，运用等比数列的定义判断，即可求出通项公式.‎ ‎（2）利用向量的数量积得出从而有：，即可求得与的夹角；‎ 先利用数学归纳法易证成立从而得出：．结合等比数列的求得公式及数列的极限即可求得点列的坐标；‎ ‎（3）将分组，利用等比数列前项和公式求出的坐标，再求极限即可求出的极限点坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，‎ 数列是以，的等比数列，‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，，‎ 与的夹角为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 一般地，，‎ 用数学归纳法易证成立．‎ 设 ‎；‎ ‎，‎ 所以点列的坐标为 ‎（3）由（2）知与的夹角为，‎ 所以在中，与向量共线的向量为，，，……共个，‎ 与向量共线的向量为，，，……共个，‎ 与向量共线的向量为，，，……共个，‎ 与向量共线的向量为，，，……共个，‎ 的极限点位置为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查知识间的转化与应用，涉及到数列的判断与证明，通项公式及前项和公式的灵活运用，平面向量基本定理及坐标表示以及平面向量的数量积，属于难题．‎ ‎21．几位大学生响应国家的创业号召，开发了三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码 ‎（1）A款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方 ‎（2）B款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和 ‎（3）C款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数：①；②该数列的前项和为2的整数幂 ‎【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897‎ ‎【解析】（1）讲数列按照规律重新书写成行列形式，依次观察三位数出现的顺序；‎ ‎（2）根据第一问重新书写的形式找到第一个四位数1024所在位置即可求和；‎ ‎（3）先确定第1000项出现在哪一行，再计算前m行所有项之和，要变成2的整数幂形式需要再加多少，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可以将数列排成如下形式：‎ ‎1，‎ ‎1，2，‎ ‎1，2，4，‎ ‎1，2，4，8，‎ ‎1，2，4，8，16，‎ ‎1，2，4，8，16，32，‎ ‎…‎ 由2的整数幂可知：第一个三位数是，‎ 下一行产生第二个和第三个三位数，依次是，‎ 下一行产生第四个三位数，‎ 观察数列规律：①每行的行数即该行的项数，②第行的最后一项，‎ 第三个三位数出现在第9行最后一项，第四个三位数出现在第10行第8项，‎ 其项数为，‎ 所以A款应用软件的激活码是2809.‎ ‎（2）由2的整数幂可知第一个四位数是，第11行第11项，根据规律：‎ 设上面数列第行数列之和为，可得，‎ 所以第一个四位数及其以前所有项之和为 ‎（3）由题：前行一共项，‎ 由条件①，设，可得，‎ 满足条件的最小整数至少在第45行或大于第45行中的某个项数，‎ 根据条件②：前行所有项之和 ‎，‎ 要满足这个数是2的整数幂，必须第行前项之和为，且 前项之和 即，，，即，‎ 要使取值最小，只有当时满足题意，此时，‎ 所以满足条件的最小整数.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查对数列的综合应用，对理解辨析能力要求较高，对已知数列进行重新排成一个方便思考观察规律的形式进行解题，能够事半功倍.‎