数学文卷·2017届江西省高考原创押题卷（一）（2017
2017年高考原创押题卷（一）
数学(文科)
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{(x，y)|y2
0)的取值范围是( )
图13
A. B. C. D.
8．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f＝则称f为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f(x)，给出下列命题：①f的值域是；②f(x)是偶函数； ③f是周期函数；④对任意a，b∈(－∞，0)，都有{x|f(x)>a}＝{x|f(x)>b}成立．其中所有真命题的序号是( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
9．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则sin的取值范围是( )
A. B. C. D.
10．如图14所示，点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心，点E为棱B′B的中点，若AB＝1，则下列叙述正确的是( )
图14
A．直线AC与直线EC′所成的角为45°
B．点E到平面OCD′的距离为
C．四面体O EA′B′在平面ABCD上的射影是面积为的三角形
D．过点O，E，C的平面截正方体所得截面的面积为
11．已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y＝2x上，则椭圆D的离心率为( )
A. －1 B.－ C. D.
12．若函数f(x)的图像与函数y＝(x－2)e2－x的图像关于点(1，0)对称，且方程f(x)＝mx2
只有一个实根，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.∪
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f＝，若f＋f＝3，则f＋f＝________．
14．已知不等式组表示的平面区域为D，若存在x∈D，使得y＝x＋，则实数m的取值范围是________．
15．已知圆E：x2＋y2－2x＝0，A为直线l：x＋y＋m＝0上任意一点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，若△ABC为正三角形，则实数m的取值范围是________．
16．已知函数f＝sin4ωx－cos4ωx的值域为A，对任意a∈R，存在x1，x2∈R，使得{y|y＝f，a≤x≤a＋2}＝＝A.若x2－x1的最小值为g，则g的值域为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知Sn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an.
(1)若是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；
(2)若是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.
18．(本小题满分12分)2016年上半年数据显示，某市空气质量在其所在省中排名倒数第三，PM10(可吸入颗粒物)和PM2.5(细颗粒物)分别排在倒数第一和倒数第四，这引起有关部门高度重视，该市采取一系列“组合拳”治理大气污染，计划到2016年底，全年优、良天数达到190天．下表是2016年9月1日到9月15日该市的空气质量指数(AQI)，其中空气质量指数划分为0～50，51～100，101～150，151～200，201～300和大于300六档，对应空气质量依次为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染．
日期
9月
1日
9月
2日
9月
3日
9月
4日
9月
5日
9月
6日
9月
7日
9月
8日
9月
9日
9月
10日
9月
11日
9月
12日
9月
13日
9月
14日
9月
15日
AQI指数
72
74
115
192
138
123
74
80
105
73
91
90
77
109
124
PM2.5
36
29
76
112
89
85
40
32
59
35
45
59
53
79
89
PM10
76
86
148
199
158
147
70
83
121
75
96
90
63
113
140
(1)指出这15天中PM2.5的最大值及PM10的最大值；
(2)从这15天中连续取2天，求这2天空气质量均为优、良的概率；
(3)已知2016年前8个月(每个月按30天计算)该市空气质量为优、良的天数约占55%，用9月份这15天空气质量优、良的频率作为2016年后4个月空气质量优、良的概率(不考虑其他因素)，估计该市到2016年底，能否完成全年优、良天数达到190天的目标．
19.(本小题满分12分)如图15所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA＝BC＝CD＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若PA＝，E为PC的中点，求三棱锥E ABD的体积．
图15
20．(本小题满分12分)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．
(1)若原点为O，求△OAB面积的最小值；
(2)过A，B作抛物线E的切线，分别为l1，l2，若l1与l2交于点P，当l变动时，求点P的轨迹方程．
21．(本小题满分12分)已知函数f＝.
(1)若对任意x>0，f<0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数f有两个不同的零点x1，x2(x12.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2－2x＝0向左平移一个单位后，再把所得曲线上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C.
(1)写出曲线C的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝，若A，B分别为曲线C及直线l上的动点，求的最小值．
23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知f＝.
(1)解不等式f>；
(2)若0N，故144＋a>2a，所以a<144.第2次循环，得M＝144＋2a，N＝2a2，i＝3，此时M≤N，退出循环，故144＋2a≤2a2，即a2－a－72≥0，解得a≥9或a≤－8(舍去)．综上得9≤a<144，故选D.
8．D 当x∈Q时，f＝f＝1，当x∈∁RQ时，f＝f＝1，所以①是假命题；当x∈Q时，f＝f＝1，当x∈∁RQ时，f＝f＝0，所以②是真命题；当x∈Q，T∈Q(T≠0)时，f(x＋T)＝f(x)＝1，当x∈∁RQ，T∈Q(T≠0)时，f(x＋T)＝f＝0，所以③是真命题；对任意a，b∈(－∞，0)，{x|f(x)>a}＝{x|f(x)>b}＝R，所以④是真命题．故选D.
9．B 由＝⇒＝⇒sin B－cos Asin C＋sin Bcos C＝0⇒sin(A＋C)－cos Asin C＋sin Bcos C＝0⇒cos C(sin A＋sin B)＝0，因为sin A>0，sin B>0，所以cos C＝0，所以C＝，故00时，y＝x＋＝x＋m, 把A(0，2)的坐标代入y＝x＋m，得m＝2，把C的坐标代入y＝x＋m，得m＝－2，所以－2≤m<2；当x<0时，y＝x＋＝x－m, 把A的坐标代入y＝x－m，得m＝－2，把E(0，－1)的坐标代入y＝x－m，得m＝1，所以－2r，即>1，即m>－1或m<－－1.若△ABC为正三角形，则|AE|＝2r＝2，故d≤2，即≤2，即－2－1≤m≤2－1.综上可得实数m的取值范围是 f＝sin4ωx－cos4ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)(sin2ωx－cos2ωx)＝sin2ωx－cos2ωx＝－cos 2ωx，其最小正周期T＝＝.若对任意a∈R，{y|y＝f(x)，a≤x≤a＋2}＝A，则T≤(a＋2)－a＝2，即≤2，所以ω≥.由＝A，可得x1，x2分别是f 的极小值点与极大值点，所以x2－x1的最小值g＝＝，由ω≥，可得g的值域为.
17．解：(1)设数列的公差为d，则S1＝a1＝5，S2＝2a1＋a2＝10＋a2＝18，所以a2＝8，d＝a2－a1＝3，an＝5＋3＝3n＋2.4分
(2)设数列的公比为q，则S1＝a1＝3，S2＝2a1＋a2＝6＋a2＝15，
所以a2＝9，q＝＝3，an＝3×3n－1＝3n，8分
所以Sn＝n×3＋×32＋…＋2×3n－1＋3n①，
3Sn＝n×32＋×33＋…＋2×3n＋3n＋1②，
②－①，得2Sn＝－3n＋(32＋33＋…＋3n)＋3n＋1＝－3n＋＋3n＋1＝－3n－＋＋3n＋1＝，所以Sn＝.12分
18．解：(1)这15天中PM2.5的最大值为112，PM10的最大值为199.2分
(2)从这15天中连续取2天的取法有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，11)，(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，共14种.5分
这2天空气质量均为优、良的取法有(1，2)，(7，8), (10，11)，(11，12)， (12，13)，共5种．所以从这15天中连续取2天，这2天空气质量均为优、良的概率为.8分
(3)由前8个月空气质量优、良的天数约占55%，可得空气质量优、良的天数为55%×240＝132，10分
9月份这15天空气优、良的天数有8天，空气质量优、良的频率为，2016年后4个月该市空气质量优、良的天数约为120×＝64，132＋64＝196>190，
所以估计该市到2016年底，能完成全年优、良天数达到190天的目标.12分
19．解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，又BC＝CD，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC，
因为PD⊥DC，所以PB⊥BC，3分
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB，
因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.5分
(2)由BC＝CD＝BD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，
由AB＝AD，BD＝PA＝，可得AB＝1，7分
所以△ABD的面积S＝×1×1×sin 120°＝.9分
因为E为PC的中点，所以三棱锥E ABD的高h＝PA＝ ，
故三棱锥E ABD的体积V＝××＝.12分
20．解：(1)由题意可知，F(0，1)，且直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，
联立 ⇒x2－4kx－4＝0.2分
设A，B，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，4分
所以S△AOB＝＝＝＝≥2，
当k＝0时，△OAB的面积最小，最小值为2.6分
(2)由x2＝4y，得y＝，y′＝，所以l1的方程为y－ ＝ ，即y ＝ －.①
同理可得l2的方程为y ＝ －.②9分
联立①②，得x＝＝2k，y＝－＝－＝＝－1，
所以点P的坐标为，
因为k∈R，所以点P的轨迹方程为y＝－1.
12分
21．解：(1)由f＝＝＋a＋，得f′＝－＝－，2分
所以f在上单调递增，在上单调递减，所以f≤f＝a＋1，所以a＋1<0，所以实数a的取值范围是.4分
(2)证明：由(1)知f在上单调递增，在上单调递减，由函数f有两个不同的零点x1，x2(x1－－＝－＝－>0，所以g在上是增函数，故gf＝f，而2－x1∈，x2∈，根据f在上单调递减可得2－x12.9分
②若x2∈，则由x1>0可知x1＋x2>2也成立.10分
因为x＋x>2x1x2，所以2>>4，故x＋x>2.12分
22．解：(1)圆x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，向左平移一个单位后，所得曲线的方程为x2＋y2＝1，2分
把曲线x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到曲线C的方程为＋y2＝1，
故曲线C的参数方程为(α为参数)．
5分
(2)由ρsin＝，得ρcos θ＋ρsin θ＝3，
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，7分
所以曲线C上的点到直线l的距离d＝＝≥＝，所以≥，即当α＝时，取得最小值. 10分
23．解：(1)f>，即>，即2分
当x≥0时，解不等式>1＋得x>0；
当－1＋得x∈∅；当x<－时，解不等式>1＋得x<－2.
综上可知，不等式f>的解集为(－∞，－2)∪.5分
(2)证明：因为0.
因为＝＝2＋x1，且2<2＋x1<3，所以2<<3，<<，所以|x2－x1|<<|x2－x1|.8分
又＝－＝，
所以<<.10分
