数学（文）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班上学期第五次月考（2017

数学（文）卷·2017届湖南省衡阳市八中高三实验班上学期第五次月考（2017

衡阳八中2016年下期高三年级第五次月考试卷 文数（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第五次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} ‎ C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}‎ ‎2.已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 ‎3.‎ 若a＜0，则下列不等式成立的是（　　）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎4.已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　） ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，则 ‎ D．若，则 ‎ ‎6.某生产厂商更新设备，已知在未来年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限为（ ）‎ A．3 　　　　B．4 　　　　C．5 　　　　　D．6‎ ‎7.已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，且， ，则的面积等于（ ） ‎ ‎. . . .‎ ‎8.如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）‎ A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6‎ ‎9.‎ ‎《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10.‎ 已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（　　）‎ A． B．4π C．2π D．‎ ‎11.函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（　　）‎ A．B．‎ C．D．‎ ‎12.已知抛物线的交点为，直线与相交于两点，与双曲线 的渐近线相交于两点，若线段与的中点相同，则双曲线离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.设数列前项和为，如果那么_____．‎ ‎14.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是　 　．‎ ‎15.已知为球的半径，垂直于的平面截球面得到圆（为截面与的交点）.若圆的面积为，，则球的表面积为___________.‎ ‎16.设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为　 　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn ‎（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2n﹣1}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：‎ ‎（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）直线A1F∥平面ADE．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．‎ ‎（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；‎ ‎（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；‎ ‎（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 如图，已知椭圆+y2=1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足=．‎ ‎（1）求圆C的半径r；‎ ‎（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0‎ ‎（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围 ‎（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．‎ ‎【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分 ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N，存在实数x使f（x）＜2成立．‎ ‎（Ⅰ）求实数m的值；‎ ‎（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥．‎ 衡阳八中2016年下期高三实验班第五次月考文数参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C C D B A D D D A C ‎13.350‎ ‎14.12‎ ‎15.‎ ‎16.8‎ ‎17.‎ 解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，‎ 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1‎ 两式相减得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1‎ 即an+1=ban+2n①（3分）‎ 当b=2时，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）•2n=2an+2n﹣（n+1）•2n=2（an﹣n•2n﹣1）‎ 又a1﹣1•20=1≠0，所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（6分）‎ ‎（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2n﹣1=2n﹣1，‎ 即an=（n+1）2n﹣1‎ 当b≠2时，由①得 ‎==‎ 因此=‎ 即（10分）‎ 所以．（12分）‎ ‎18. ‎ ‎（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ ‎∴CC1⊥平面ABC，‎ ‎∵AD⊂平面ABC，‎ ‎∴AD⊥CC1‎ 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ‎∴AD⊥平面BCC1B1，‎ ‎∵AD⊂平面ADE ‎∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（6分）‎ ‎（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ‎∴A1F⊥B1C1，‎ ‎∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴A1F⊥CC1‎ 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ‎∴A1F⊥平面BCC1B1‎ 又∵AD⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴A1F∥AD ‎∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，‎ ‎∴直线A1F∥平面ADE．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，‎ ‎∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：‎ ‎0.06×50=3（人）．（3分）‎ 由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，‎ ‎∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：‎ ‎800×0.38=304（人）．（6分）‎ ‎（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，‎ ‎∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，‎ ‎∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，‎ ‎∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，‎ 现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，‎ 基本事件总数n==12，（9分）‎ 所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m==7，（10分）‎ ‎∴所求概率为p=．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由椭圆+y2=1可得F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 设P（x，y），∵=，∴=，化为：x2﹣3x+y2+1=0，即=．‎ 又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3），‎ ‎∵圆C上有且只有一个点P满足=．‎ ‎∴上述两个圆外切，‎ ‎∴=r+，解得r=．（4分）‎ ‎（2）直线A2B2方程为：，化为=．‎ 设直线B1Q：y=kx﹣1，‎ 由圆心到直线的距离≤，可得：k∈．‎ 联立，解得E．（6分）‎ 联立，化为：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D．（7分）‎ ‎∴|DB1|==．‎ ‎|EB1|==，‎ ‎∴===|1+|，（9分）‎ 令f（k）=，f′（k）=≤0，‎ 因此函数f（k）在k∈上单调递减．（10分）‎ ‎∴k=时， =|1+|=取得最大值．（12分）‎ ‎21. ‎ ‎（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，‎ ‎∴f′（x）=﹣x2+2x+3，‎ 故k=f′（3）=0，‎ 又∵f（3）=9，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（3分）‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，‎ 即存在某个子区间（a，b）⊂（，+∞）使得f′（x）＞0，‎ ‎∴只需f′（）＞0即可，‎ f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，‎ 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，‎ 由于m＞0，∴m＞．（6分）‎ ‎（Ⅲ）由题设可得，‎ ‎∴方程有两个相异的实根x1，x2，‎ 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或，（8分）‎ ‎∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，‎ 若 x1≤1＜x2，‎ 则，‎ 而f（x1）=0，不合题意．‎ 若1＜x1＜x2，对任意的x∈，‎ 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，‎ 则，‎ 又f（x1）=0，所以 f（x）在上的最小值为0，‎ 于是对任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，‎ 解得； （10分）‎ 综上，m的取值范围是．（12分）‎ ‎22.‎ ‎（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，‎ ‎∴t=x﹣3，∴y=，‎ 整理得直线l的普通方程为=0，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为：．（5分）‎ ‎（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．‎ ‎∵点P在直线l： =0上，设P（3+t，），‎ 则|PC|==，‎ ‎∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．（5分）‎ ‎23.‎ ‎（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，‎ ‎∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．‎ ‎∵m∈N，∴m=1．（5分）‎ ‎（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，‎ ‎∴α+β=2．‎ ‎∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．（10分）‎