2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试数学（文)试题 解析版

2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二下学期期中考试数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 湖南省衡阳市第八中学 2018-2019 学年高二下学期期中考试 数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合 ， ，则集合 中元素的个数 为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据交集定义求得交集结果，从而得到元素个数. 【详解】 由题意得： 中元素个数为： 个 本题正确选项： 【点睛】 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数 ，则复数 的虚部是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数运算求得 ，根据虚部定义求得结果. 【详解】 的虚部为： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查复数虚部的求解，关键是利用复数运算求得复数，属于基础题. 3．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和 { }2 ,A x x k k Z= = ∈ { }1 4B x x= − < ≤ A B 2 3 4 5 { }0,2,4A B∩ = A B∴  3 B ( )21z i= − z 2 2− 2i 2i− z ( )2 21 1 2 2z i i i i= − = − + = − z∴ 2− B 白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分 的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方形边长为 ，则圆的半径为 ，正方形的面积为 ，圆的面 积为 .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面 积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是 ，选 B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区 域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计算 . 4．已知如表所示数据的回归直线方程为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据表中数据求得 ，代入回归直线可构造方程求得结果. 【详解】 由表中数据可知： ； 1 4 8 π 1 2 4 π a 2 a 2a 2 4 aπ 2 2 1 2 4 8 a a π π⋅ = ( )P A ˆ 4 4y x= − a x 2 3 4 5 6 y 3 7 12 a 23 15 16 17 18 ,x y ( )1 2 3 4 5 6 45x = × + + + + = ，解得： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查利用回归直线方程求解实际数据点的问题，关键是明确回归直线必过 . 5．执行如图程序，如果输入的 ， ，那么输出的结果为（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据算法模拟程序运行即可得到结果. 【详解】 按照算法模拟程序运行，输入 ， 满足条件 ，则 ， ， 输出结果： ， 本题正确选项： 【点睛】 本题考查根据算法语言计算输出结果，属于基础题. 6．(2016 高考新课标 III，理 3)已知向量 , 则 ABC= A．30 B．45 C．60 D．120 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得 ，所以 ， 故选 A． 【考点】向量的夹角公式． ( )1 453 7 12 235 5 ay a += × + + + + = 45 4 4 45 a+∴ = × − 15a = A ( ),x y 5a = 3b = 5 3 3 5 3 3 5 5 5a = 3b = a b> 5c = 3a = 5b = 3a = 5b = B 【思维拓展】（1）平面向量与 的数量积为 ，其中 是与 的夹角，要注意 夹角的定义和它的取值范围： ；（2）由向量的数量积的性质知 ， ， ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、 垂直等有关的问题． 视频 7．函数 y= sin2x 的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择. 详解：令 ， 因为 ，所以 为奇函数，排除选 项 A,B; 因为 时， ，所以排除选项 C，选 D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断 图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性， 判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期 性，判断图象的循环往复． 8．设直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ， 则该椭圆的离心率为（　　） l l 1 6 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 假设出直线方程，利用椭圆中心到直线距离构造方程，整理可得离心率. 【详解】 不妨设直线 的方程为： ，即： 椭圆中心到 的距离为： 整理可得： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造出方程来进行求解. 9．已知数列 满足递推关系： ， ，则 ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 对递推关系式取倒数，可证得数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；利用等 差数列通项公式可求得 ，进而得到结果. 【详解】 由 得： ，即 又 ，则 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列 1 3 1 2 2 3 3 4 l 1x y c b + = 0bx cy bc+ − = ∴ l 2 2 1 26 bc bcd bab c −= = = × + 1 3 ce a = = A { }na 1 1 n n n aa a+ = + 1 1 2a = 2018a 1 2016 1 2017 1 2018 1 2019 1 na       2 1 2018 1 a 1 1 n n n aa a+ = + 1 11 1 1n n n n a a a a+ += = + 1 1 1 1 n na a+ - = 1 1 2a = 1 1 2a = ∴ 1 na       2 1 本题正确选项： 【点睛】 本题考查倒数法求解数列通项公式的问题，关键是能够通过取倒数的方式能够得到等差 数列，从而利用等差数列的知识来进行求解. 10．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若 该几何体的体积是 ，则它的表面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图可知几何体一个球去掉其 ；利用球的体积可求得半径，从而求得表面积. 【详解】 由三视图可知几何体为一个球去掉其 ，如下图所示： 几何体体积： ，解得： 几何体表面积： 本题正确选项： 【点睛】 ( ) 2018 1 2 2018 1 1 2019a ∴ = + − × = 2018 1 2019a∴ = D 63 2 π 17π 18π 153 4 π 36π 1 8 1 8 ∴ 3 34 7 7 63 3 8 6 2V R R ππ π= × = = 3R = ∴ 2 27 1 63 27 1534 38 4 2 4 4S R R π π ππ π= × + × = + = C 本题考查球的体积和表面积的相关计算，涉及到根据三视图还原几何体的问题. 11．已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 可知 在 上单调递减；利用 定义 可求得 ；将不等式变为 ，根据单调性可得不等式，从而求得 结果. 【详解】 由 得： 令 ，则 在 上单调递减 由 定义域为 可得： ，解得： 即： ，解得： 综上所述： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查利用函数的单调性求解不等式的问题，涉及到利用导数研究函数的单调性、抽 象函数定义域的求解.关键是能够通过构造函数的方式将不等式转变为两个函数值之间 的比较，再利用单调性转变为自变量的不等关系. 12．已知函数 为 上的偶函数，且当 时， ，函数 ， ，则函数 的零点的个数 是（　　） A． B． C． D． 【答案】D ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( ) 0f x x f x′+ ⋅ < ( )f x′ ( )f x ( ) ( ) ( )21 1 1x f x f x+ − < − ( )1,2− ( )1,2 ( )1,+∞ ( ),2−∞ ( ) ( ) 0f x x f x′+ ⋅ < ( ) ( )g x xf x= ( )0, ∞+ ( )f x 1x > ( ) ( )2 1 1g x g x− < − ( ) ( ) 0f x x f x′+ ⋅ < ( ) 0xf x ′  <  ( ) ( )g x xf x= ( )g x ( )0, ∞+ ( )f x ( )0, ∞+ 2 1 0 1 0 x x  − >  − > 1x > ( ) ( ) ( )21 1 1x f x f x+ − < − ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1x f x x f x⇒ − − < − − ( ) ( )2 1 1g x g x− < − 2 1 1x x∴ − > − 1x > ( )1,x∈ +∞ C ( )f x R 0x ≥ ( ) 2 2f x x x= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 21g x f x b f x bf x= − + +       ( )0,1b∈ ( )g x 10 11 12 13 【解析】 【分析】 设 ，可得 ，解得 或 或 ；将问题转变为 的图象与直线 ， ， 交点个数之和；利用函数奇偶性可求得 时， 的解析式，从而可在平面直角坐标系中得到函数图象，通过图象可得 到交点个数，交点个数即为 零点个数. 【详解】 设 ，则 解得： 或 或 则函数 的零点个数即 的图象与直线 ， ， 交点个数之和 为偶函数 当 时， ，则 在平面直角坐标系中可得图象如下图所示： 由图象可知，交点个数为 个 的零点个数是 本题正确选项： 【点睛】 本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，进而再 次将问题转化为曲线与直线交点个数的求解问题，通过数形结合的方式得到交点个数. ( )t f x= ( )3 21 0t b t bt− + + = 0t = t b= 1t = ( )t f x= 0t = t b= 1t = 0x ≤ ( )f x ( )g x ( )t f x= ( )3 21 0t b t bt− + + = 0t = t b= 1t = ( )g x ( )t f x= 0t = t b= 1t = ( )f x ( ) ( )f x f x∴ = − 0x ≤ 0x− ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2f x f x x x x x= − = − − − = + 13 ( )g x∴ 13 D 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13． _____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数幂运算性质和运算法则计算即可得到结果. 【详解】 本题正确结果： 【点睛】 本题考查指数幂的运算，属于基础题. 14．已知 ，且 满足 ，则 的最小值为____ 【答案】 【解析】 【分析】 由约束条件得到可行域，将问题转化为求解 在 轴截距的最小值，利用直线 平移可得当 过 时，在 轴的截距最小；求出 点坐标，代入可得结果. 【详解】 根据约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 1 2 112 13 32 6 5 a b a b ab − −−      = 1 a 1 2 112 1 2 13 32 1 1 1 1 1 5 51 1 5 13 2 3 3 2 2 3 6 62 2 16 6 1 5 1 5 1 56 5 6 6 6 6 6 6 1 a b a b a b a b a b a b a a aab a b a b a b − −−  × − − − + −−   − − −     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  = = = = = = ⋅ ⋅ ⋅ 1 a z x y= + ,x y 2 5 4 x y x y + ≥  − ≤ z 2 y x z= − + y y x z= − + P y P 将 变为 ，则求 得最小值即为求 在 轴截距的最小值 由 平移可知，当 过 时，在 轴的截距最小 由 得： 本题正确结果： 【点睛】 本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是将问题转化为截距的最值的求解问题，属 于常考题型. 15．已知三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，且 ， ， ，则此三棱锥外接球的表面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】 以 ， ， 为棱构造一个长方体，则长方体外接球即为三棱锥 的外接 球，则所求外接球半径即为长方体体对角线的一半，利用勾股定理求解得到半径，代入 球的表面积公式求得结果. 【详解】 如图所示， ， ， 两两互相垂直 z x y= + y x z= − + z y x z= − + y y x= − y x z= − + P y 2 5 4 x y x y + =  − = ( )3, 1P − min 3 1 2z∴ = − = 2 P ABC− 13AB = 2 3BC = 7AC = 16π PA PB PC P ABC− PA PB PC 以 ， ， 为棱构造一个长方体 则这个长方体的外接球即为三棱锥 的外接球 长方体外接球半径 为其体对角线长的一半 此三棱锥外接球的表面积： 本题正确结果： 【点睛】 本题考查多面体外接球的表面积求解问题，关键是能够根据两两互相垂直的关系构造出 长方体，将问题转变为求解长方体外接球的问题. 16．已知偶函数 在区间 上单调递增，且满 ， 给出下列判断： ① ；② 在 上是减函数；③ 的图象关于直线 对称； ④函数 在 处取得最大值；⑤函数 没有最小值 其中判断正确的序号_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 依次判断 个选项：根据 和函数的奇偶性可得到： ，从而可推导出 ，则①正确；根据 得到 的图象关于点 对称；根据函数的奇偶性可知 的图象关于点 对称；根据对称性可判断出 在 上单调递减，则② 正确，③错误；根据函数单调性和周期性可知④正确，⑤错误. 【详解】 ①由 得： 又 为偶函数 PA PB PC P ABC− R ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2R PA PB PC PA PB PB PC PA PC∴ = + + = + + + + + ( ) ( )2 2 21 1 1 1 13 12 7 22 2 2 2AB BC AC= + + = × × + + = ∴ 24 4 4 16S Rπ π π= = × = 16π ( )y f x= [ ]1,0− ( ) ( )1 1 0f x f x− + + = ( )3 0f = ( )f x [ ]0,2 ( )f x 1x = ( )f x 0x = ( )y f x= 5 ( ) ( )1 1 0f x f x− + + = ( ) ( )1 1f x f x+ = − − ( ) ( )4f x f x+ = ( ) ( )1 1 0f x f x− + + = ( )f x ( )1,0 ( )f x ( )1,0− ( )f x [ ]0,2 ( ) ( )1 1 0f x f x− + + = ( ) ( )1 1f x f x+ = − − ( )f x ( ) ( )1 1f x f x∴ − = − ( ) ( )1 1f x f x∴ + = − − 则 是以 为周期的周期函数 令 ，则 ，则①正确； ②由 可知 的图象关于点 对称 又 为偶函数，可知 的图象关于点 对称 在 上单调递增 在 上单调递增 为偶函数 在 上单调递减，即为减函数，则②正确； ③由②知， 的图象关于点 对称，则③错误； ④由②知， 在 上单调递增，在 上单调递减 时， ，即在 处取得最大值 又 是周期为 的周期函数 在 处取得最大值，则④正确； ⑤由④知， 在 或 处取得最小值，则⑤错误. 本题正确结果：①②④ 【点睛】 本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性的 判断，考查学生对于函数各个性质之间关系的掌握. 评卷人 得分 三、解答题 17．已知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，数列 中， （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若数列 ，求数列 的前 项和 【答案】（1） ； ；（2） 【解析】 【分析】 ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x⇒ + = − + = ( )f x∴ 4 0x = ( ) ( ) ( )1 0 1 0 2 1 0f f f− + + = = ( )1 0f⇒ = ( ) ( ) ( )3 1 1 0f f f∴ = − = = ( ) ( )1 1 0f x f x− + + = ( )f x ( )1,0 ( )f x ( )f x ( )1,0− ( )y f x= [ ]1,0− ( )f x∴ [ ]2,0− ( )f x ( )f x∴ [ ]0,2 ( )f x ( )1,0 ( )f x [ ]2,0− [ ]0,2 [ ]2,2x∴ ∈ − ( ) ( )max 0f x f= 0x = ( )f x 4 ( )f x∴ 0x = ( )f x 2x = 2x = − { }na 1 2 { }nb 3 4 1n nS = − { }na { }nb n n nc a b= ⋅ { }nc n nT ( )*2 1na n n N= − ∈ ( )1 *4n nb n N−= ∈ ( )6 5 4 5 9 n n nT − ⋅ += （1）根据等差数列通项公式直接求得 ；利用 可整理出 ；（2）根据 （1）的结论得到 ，利用错位相减法即可求得 . 【详解】 （1）由等差数列通项公式得： 由 得： 当 时， 当 且 时， 又 满足上式 （2）由（1）得： 则 两式作差得： 【点睛】 本题考查数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前 项和，涉及到等差数列的通 项、通项与前 项和的关系应用等知识. 18．锐角 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长． na 1n n nb S S −= − nb nc nT ( ) ( )*1 2 1 2 1na n n n N= + − = − ∈ 3 4 1n nS = − 1n = 13 4 1 3b = − = 1 1b∴ = 2n ≥ n ∗∈N 1 13 4 1n nS − − = − ( ) 1 1 1 13 3 4 1 4 1 4 4 3 4n n n n n n n nb S S − − − −∴ = − = − − + = − = ⋅ 14n nb −∴ = 1 1b = ( )1 *4n nb n N−∴ = ∈ ( ) 12 1 4n nc n −= − ⋅ ( ) ( )0 1 2 2 11 4 3 4 5 4 2 3 4 2 1 4n n nT n n− −∴ = × + × + × +⋅⋅⋅+ − × + − × ( ) ( )1 2 3 14 1 4 3 4 5 4 2 3 4 2 1 4n n nT n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − × + − × ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 4 1 4 3 1 2 1 4 2 4 4 4 1 2 1 4 2 1 4 n n n n nT n n − − − − = − − × + × + +⋅⋅⋅+ = − − × + × − ( ) ( ) ( )18 2 8 5 51 2 1 4 4 1 1 2 1 4 4 2 43 3 3 3 3 n n n n nn n n−  = − − ⋅ + − = − − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ −   ( )6 5 4 5 9 n n nT − ⋅ +∴ = n n ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )2sin cos cos 3C a B b A c+ = C 3c = ABC∆ 3 3 2 ABC∆ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简边角关系式可得 ，根据三角形为锐角三角形可求得 ；（2）利用三角形面积公式构造方程求得 ；利用余弦定理构造出关于 的方 程，解方程求得 ，从而得到周长. 【详解】 （1）由正弦定理得： （2）由余弦定理得： 即： 又 ，解得： 的周长为： 【点睛】 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面 积公式的应用问题，属于常考题型. 19．如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上一点． 3C π= 3 3 3+ 3sin 2C = C ab +a b +a b ( ) ( ) 22sin sin cos sin cos 2sin sin 2sin 3sinC A B B A C A B C C+ = ⋅ + = = 0, 2C π ∈   sin 0C∴ ≠ 3sin 2C∴ = 3C π∴ = ( )22 2 2 2 cos 2 2 cos 93c a b ab C a b ab ab π= + − = + − − = ( )2 3 9a b ab+ − = 1 1 3 3 3sin sin2 2 3 4 2ABCS ab C ab ab π ∆ = = = = 6ab = ( )2 9 3 9 18 27a b ab∴ + = + = + = 3 3a b∴ + = ABC∆∴ 3 3 3a b c+ + = + P ABC− PA AB⊥ PA BC⊥ AB BC⊥ 2PA AB BC= = = D AC E PC （1）求证：平面 平面 ； （2）当 平面 时，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用线面垂直判定定理得 平面 ，可得 ；根据等腰三角形三 线合一得 ，利用线面垂直判定定理和面面垂直判定定理可证得结论；（2） 利用线面平行的性质定理可得 ，可知 为 中点，利用体积桥可知 ，利用三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 （1）证明： ， 平面 又 平面 ， 为线段 的中点 平面 平面 平面 平面 （2） 平面 ，平面 平面 为 中点 为 中点 三棱锥 的体积为 【点睛】 本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直的判定和性质定理、面 面垂直的判定定理、线面平行的性质定理、棱锥体积公式、体积桥方法的应用，属于常 考题型. 20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： ），其频率分布直方图如下： BDE ⊥ PAC / /PA BDE P BDE− 1 3 PA ⊥ ABC PA BD⊥ BD AC⊥ / /ED PA E PC 1 4P BDE P ABCV V− −= PA AB⊥ PA BC⊥ PA∴ ⊥ ABC BD ⊂ ABC PA BD∴ ⊥ 2AB BC= = D AC BD AC∴ ⊥ BD∴ ⊥ PAC BD ⊂ BDE ∴ BDE ⊥ PAC / /PA BDE PAC  BDE ED= / /ED PA∴ D AC E∴ PC 1 1 1 1 2 4 4 3P BDE A BDE E ABD E ABC P ABC ABCV V V V V S AP− − − − − ∆∴ = = = = = × × 1 1 1 12 2 24 3 2 3 = × × × × × = ∴ P BDE− 1 3 100 kg （1）网箱产量不低于 为“理想网箱”，填写下面列联表，并根据列联表判断是否 有 的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关： 箱产量 箱产量 合计 旧养殖法 新养殖法 合计 （2）已知旧养殖法 个网箱需要成本 元，新养殖法 个网箱需要增加成本 元，该水产品的市场价格为 元/ ，根据箱产量的频率分布直方图 （说明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表），采用哪种养殖法，请给养殖户 一个较好的建议，并说明理由． 附参考公式及参考数据： 【答案】（1）列联表见解析；有 的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有 关；（2）当市场价格大于 元 时，采用新养殖法；等于 元 时，两种方法 均可；小于 元 时，采用旧养殖法. 40kg 99.9% 40kg< 40kg≥ 100 50000 100 15750 x ( )15kg x ≥ ( )2 0P K k≥ 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 0 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + 99.9% 30 /kg 30 /kg 30 /kg 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图计算出列联表对应的数据，从而补全列联表；根据公式计算 得 ，从而得到结论；（2）利用频率分布直方图求得新旧两种养殖 法的平均数，从而得到两种养殖法获利的函数模型，通过不同市场价格时，两种方法获 利的大小来确定养殖法. 【详解】 （1）由频率分布直方图可知： 箱产量 的数量：旧养殖法： ；新养殖法： 箱产量 的数量：旧养殖法： ；新养殖法： 可填写列联表如下： 箱产量 箱产量 合计 旧养殖法 新养殖法 合计 则： 有 的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关 （2）由频率分布直方图可得： 旧养殖法 个网箱产量的平均数： 新养殖法 个网箱产量的平均数： 0 22.650 10.828k = ＞ 40kg< ( )0.012 0.014 0.024 5 100 25+ + × × = 0.004 5 100 2× × = 40kg≥ 100 25 75− = 100 2 98− = 40kg< 40kg≥ 25 75 100 2 98 100 27 173 200 ( )2 0 200 98 25 75 2 22.650 10.82827 173 100 100k × − ×= =× × × ＞ ∴ 99.9% 100 (1 27.5 0.012 32.5 0.014 37.5 0.024 42.5 0.034 47.5 0.04 52.5 0.032x = × + × + × + × + × + × + )57.5 0.02 62.5 0.012 67.5 0.012 5 47.1× + × + × × = 100 (2 37.5 0.004 42.5 0.02 47.5 0.044 52.5 0.068 57.5 0.046 62.5 0.01x = × + × + × + × + × + × + )67.5 0.008 5 52.35× × = 设新养殖法 个网箱获利为 设旧养殖法 个网箱获利为 令 ，解得： 即当 时， ；当 时， ；当 时， 当市场价格大于 元 时，采用新养殖法；等于 元 时，两种方法均可；小 于 元 时，采用旧养殖法. 【点睛】 本题考查独立性检验判断二者相关性、利用频率分布直方图解决实际问题，涉及到利用 频率分布直方图计算频率和频数、估计总体的平均数的问题，考查统计部分知识的综合 应用，属于常考题型. 21．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于 两点，且 的周长为 （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 分别交于 两点，且 ，试问点 到直线 的距离是否为定值，证明你的结论． 【答案】（1） ；（2）为定值 ，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由 周长可求得 ，利用离心率求得 ，从而 ， 从而得到椭圆方程；（2）直线 方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用 垂直关系可构造方程 ，代入韦达定理整理可得 ；利用 点到直线距离公式表示出所求距离 ，化简可得结果. 【详解】 100 ( )f x ( ) ( )52.35 100 65750 5235 65750 15f x x x x∴ = × − = − ≥ 100 ( )g x ( ) ( )47.1 100 50000 4710 50000 15g x x x x∴ = × − = − ≥ ( ) ( )f x g x= 30x = 30x > ( ) ( )f x g x> 30x = ( ) ( )f x g x= 30x < ( ) ( )f x g x< ∴ 30 /kg 30 /kg 30 /kg ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2,F F 3 2 1F l C ,M N 2MNF∆ 16 C y kx m= + C ,A B OA OB⊥ O AB 2 2 116 4 x y+ = 4 5 5 2MNF∆ 4a = 2 3c = 2 2 2 4b c a= − = AB 1 2 1 2 0x x y y+ = ( )2 25 16 1m k= + d （1）由椭圆定义知： 的周长为： 由椭圆离心率： ， 椭圆 的方程： （2）由题意，直线 斜率存在，直线 的方程为： 设 ， 联立方程 ，消去 得： 由已知 ，且 ， 由 ，即 得： 即： ，整理得： ，满足 点 到直线 的距离： 为定值 【点睛】 本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中定值问题的求解.解决定值问题的关键是通过已知 条件构造等量关系，通过韦达定理的形式得到变量之间的关系，从而对所求值进行化简、 消元，从而得到定值. 22．已知函数 2MNF∆ 4 16a = 4a⇒ = 3 2 ce a = = 2 3c⇒ = 2 2 2 4b c a= − = ∴ C 2 2 116 4 x y+ = AB AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 116 4 y kx m x y = + + = y ( )2 2 21 4 8 4 16 0k x kmx m+ + + − = > 0∆ 1 2 2 8 4 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 16 4 1 mx x k −= + OA OB⊥ 0OA OB⋅ =  1 2 1 2 0x x y y+ = ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0x x kx m kx m x x k x x km x x m+ + + = + + + + = ( ) 2 2 2 2 2 4 16 81 04 1 4 1 m kmk km mk k − −∴ + + ⋅ + =+ + ( )2 25 16 1m k= + > 0∆ ∴ O AB 2 4 5 51 md k = = + ( ) 2xf x ae x= − （1）讨论 的单调性； （2）若 恰有两个整数解，求 的取值范围． 【答案】（1）当 时， 为 上的减函数；当 时， 的单调递减区间 为 ，单调递增区间为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）求导后，分别在 和 两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的 单调性；（2）将问题转变为 恰有两个整数解，令 ，通过导数 可得函数的单调性，进而得到函数图象，利用数形结合的方式判断出恰有两个整数解的 情况，从而得到所求范围. 【详解】 （1）由题意知： 当 时， 为 上的减函数 当 时，由 ，解得： 当 时， ；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 综上所述：当 时， 为 上的减函数；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）由 恰有两个整数解可得 恰有两个整数解 设 ，则： 令 ，解得： 当 时， ；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 ( )f x ( ) xf x e< a 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x 2,ln a  −∞   2ln ,a  +∞   3 2 6 41 ,1e e  + +   0a ≤ 0a > 21 x xa e < + ( ) 21 x xg x e = + ( ) 2xf x ae′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x∴ R 0a > ( ) 0f x′ = 2lnx a = ∴ 2,lnx a  ∈ −∞   ( ) 0f x′ < 2ln ,x a  ∈ +∞   ( ) 0f x′ > ( )f x∴ 2,ln a  −∞   2ln ,a  +∞   0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x 2,ln a  −∞   2ln ,a  +∞   ( ) xf x e< 21 x xa e < + ( ) 21 x xg x e = + ( ) ( ) 2 2 12 2x x x x xe xeg x e e −−= =′ ( ) 0g x′ = 1x = ∴ ( ),1x∈ −∞ ( ) 0g x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x∴ ( ),1−∞ ( )1,+∞ 又 ， ， ， 可得 图象如下图所示： 根据数形结合可知，若 恰有两个整数解，则需 即当 时， 恰有两个整数解 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到对含参数函数单调性的讨论、根据整数解个 数求解参数范围的问题，考查学生对于导数与函数单调性之间关系的掌握，考查学生转 化与化归思想的应用. ( ) 21 1g e = + ( )0 1g = ( ) 2 42 1g e = + ( ) 3 63 1g e = + ( )g x 21 x xa e < + 3 2 6 41 1ae e + ≤ < + 3 2 6 41 ,1a e e  ∈ + +   ( ) xf x e<