2014年高考数学（文科）真题分类汇编B单元 函数与导数
数 学
B单元 函数与导数
B1 函数及其表示
14．B1、B4[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．
14. [解析] 由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
2．B1、B3[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
2．B [解析] 由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.
21．K2、B1、B12[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)；
(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝
1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．
当n＝9时，p(9)＝0.
当n＝90时，p(90)＝＝＝.
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k
单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
3．B1[2014·山东卷] 函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．C [解析] 若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.
B2 反函数
5．B2[2014·全国卷] 函数y＝ln(＋1)(x＞－1)的反函数是( )
A．y＝(1－ex)3(x＞－1)
B．y＝(ex－1)3(x＞－1)
C．y＝(1－ex)3(x∈R)
D．y＝(ex－1)3(x∈R)
5．D [解析] 因为y＝ln(＋1)，所以x＝(ey－1)3.因为x>－1，所以y∈R，所以函数y＝ln(＋1)(x>－1)的反函数是y＝(ex－1)3(x∈R)．
B3 函数的单调性与最值
2．B1、B3[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
2．B [解析] 由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.
4．B3、B4[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．
19．B3、B4、B14、E8[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)
0)，则 t>1，所以 m≤－＝
－对任意 t>1成立．
因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，
当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是.
(3)令函数 g(x)＝ex＋－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当 x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋ 3x0 )<0 成立， 当且仅当最小值g(1)<0，
故 e＋e－1－2a<0, 即 a>.
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
15．A2、B3、B14[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B
时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确
21．B3、B12[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
B4 函数的奇偶性与周期性
4．B4[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
4．D [解析] A中，f(－x)＝－x－1，f(x)为非奇非偶函数；B中，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，f(x)为非奇非偶函数；C中，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数；D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，f(x)为偶函数．故选D.
14．B1、B4[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．
14. [解析] 由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
5．B4[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( )
A．2x－ B．x3sin x
C．2cos x＋1 D．x2＋2x
5．A [解析] 对于A选项，令f(x)＝2x－＝2x－2－x，其定义域是R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sin x是偶函数；C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．
9．B4、B9[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
9．D [解析] 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－.故选D.
4．B3、B4[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对．
15．B4[2014·湖南卷] 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．
15．－ [解析] 由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
∴2ax＝－ln e3x＝－3x，∴a＝－.
19．B3、B4、B14、E8[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)0)，则 t>1，所以 m≤－＝
－对任意 t>1成立．
因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，
当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是.
(3)令函数 g(x)＝ex＋－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当 x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋ 3x0 )<0 成立， 当且仅当最小值g(1)<0，
故 e＋e－1－2a<0, 即 a>.
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
12．B4[2014·全国卷] 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
12．D [解析] 因为f(x＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f(x)
的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1.
15．B4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.
5．B4[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
5．C [解析] 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·
g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；
|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；
f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；
|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错．
13．B4[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
13．1 [解析] 由题意可知，f＝ff＝－4＋2＝1.
B5 二次函数
10．B5[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
10. [解析] 因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需
解得即m∈.
14．B5、C6[2014·全国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．
14. [解析] 因为y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2＋，所以当sin x＝时函数y＝cos 2x＋2sin x取得最大值，最大值为.
B6 指数与指数函数
5．B6[2014·安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．ba＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c0，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
A B
C D图13
8．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.
选项A中的函数为y＝，其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.
3．B6、B7[2014·辽宁卷] 已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
3．D [解析] 因为0log＝1，所以c>a>b.
15．B6、B8[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
15．(－∞，8] [解析] 当x<1时，由ex－1≤2，得x<1；当x≥1时，由x≤2，解得1≤x≤8，综合可知x的取值范围为x≤8.
5．B6，E1[2014·山东卷] 已知实数x，y满足axy3
B．sin x>sin y
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
D.>
5．A [解析] 因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以x3>y3恒成立．故选A.
7．B6[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f(x＋y)＝
f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝
7．B [解析] 由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝为单调递减函数，所以排除选项D.
12．B6[2014·陕西卷] 已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
12. [解析] 4a＝2，即22a＝2，可得a＝，所以lg x＝，所以x＝10＝.
7．B6、B7[2014·四川卷] 已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
7．B [解析] 因为5d＝10，所以d＝log510，所以cd＝lg b·log510＝log5b＝a，故选B.
9．B6、H4[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )
A．[，2 ] B．[，2 ]
C．[，4 ] D．[2，4 ]
9．B [解析] 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，
则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，即|PA|＋|PB|≥|AB|＝.
又|PA|＋|PB|＝＝
≤
＝2 ，
所以|PA|＋|PB|∈[，2 ]，故选B.
4．B6[2014·天津卷] 设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
4．C [解析] ∵a＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝<1，
∴b0且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0)．
11．B7[2014·安徽卷] ＋log3＋log3＝________.
11. [解析] 原式＝ ＋log3＝＝.
8．B7、B8[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
A B
C D
图12
8．D [解析] 只有选项D符合，此时00，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
A B
C D图13
8．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.
选项A中的函数为y＝，其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.
13．D3、B7[2014·广东卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
13．5 [解析] 在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a＝4.因为an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a＝25，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
3．B6、B7[2014·辽宁卷] 已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
3．D [解析] 因为0log＝1，所以c>a>b.
6．B7，B8[2014·山东卷] 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是( )
图11
A．a>1，x>1 B．a>1，01 D．00，且a≠1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是( )
图12
A B
C D图13
8．B [解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.
选项A中的函数为y＝，其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，其函数图像不正确，故选B.
15．B8[2014·湖北卷] 如图14所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．
若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．
图14
15. [解析] “∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)
的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a<1，所以a的取值范围为.
13．B8、B9[2014·江苏卷] 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
13. [解析] 先画出y＝x2－2x＋在区间[0，3]上的图像，再将x轴下方的图像对称到x轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f(x)在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.5.
函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y＝f(x)的图像与直线y＝a有10个不同的交点，由图像可得a∈.
15．B6、B8[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
15．(－∞，8] [解析] 当x<1时，由ex－1≤2，得x<1；当x≥1时，由x≤2，解得1≤x≤8，综合可知x的取值范围为x≤8.
6．B7，B8[2014·山东卷] 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是( )
图11
A．a>1，x>1 B．a>1，01 D．00，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.
方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．
7．B9[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c＞9
7．C [解析] 由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⇒
⇒
则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而00时，f(x)＝2x－6＋ln x，
令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.
作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图像，
则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点．
综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.
9．B4、B9[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
9．D [解析] 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－.故选D.
13．B8、B9[2014·江苏卷] 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
13. [解析] 先画出y＝x2－2x＋在区间[0，3]上的图像，再将x轴下方的图像对称到x轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f(x)在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.5.
函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y＝f(x)的图像与直线y＝a有10个不同的交点，由图像可得a∈.
4．B9[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
4．A [解析] 因为f(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a＝1，所以a＝.
15．B9[2014·浙江卷] 设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
15. [解析] 令t＝f(a)，若f(t)＝2，则t2＋2t＋2＝2 满足条件，此时t＝0或t＝－2，所以f(a)＝0或f(a)＝－2，只有－a2＝－2满足条件，故a＝.
21．B9[2014·全国卷] 函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．
(i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数．
(ii)由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根；
x1＝，x2＝.
若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．
若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；
当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．
(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．
当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.
综上，a的取值范围是∪(0，＋∞)．
14．B9[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
14．(1，2) [解析] 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像
相切时，联立整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有10，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当m >时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
20．B11、B12[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，且x1x2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在和 内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0ln(kx)，
即x＞ln x＋ln k成立．
①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x＞0时，x＞ln x≥ln x＋ln k成立．
即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，
当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
②若k＞1，令h(x)＝x－ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝，
所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，
易知k＞ln k，k＞ln 2，所以h(x0)＞0.
因此对任意c∈(0，1)，取x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
方法三：(1)同方法一．
(2)同方法一．
(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，
由(2)的证明过程知，ex＞2x，
所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，
即x＜cex.
②若0＜c＜1，
令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.
令h′(x)＝0得x＝ln.
当x＞ln时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
取x0＝2ln，
则h(x0)＝ce2ln－2ln＝2，
易知－ln＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，
即x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
11．B11、H7[2014·广东卷] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
11．5x＋y＋2＝0 [解析] ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
11．B11[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
11．－3 [解析] 易知y′＝2ax－.根据题意有解得
故a＋b＝－3.
23．B11、M3[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.
(1)求2f1＋f2的值；
(2)证明：对任意的n∈N*，等式＝都成立．
23．解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，
于是f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝
－－＋，
所以f1＝－，f2＝－＋.
故2f1＋f2＝－1.
(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，
即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin.
类似可得
2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，
3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，
4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．
下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
(i)当n＝1时，由上可知等式成立．
(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.
因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，
′＝cos·′＝sin，
所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin，
因此当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．
令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)，
所以＝ (n∈N*)．
21．B11、B12[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，
故当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
(iii)若a>1, 则f(1)＝－1＝<，符合题意．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
20．B11，B12[2014·山东卷] 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20．解：(1)由题意知，当a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝，所以f′(1)＝.
又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，
x2＝.
因为x1＝
＝＞0，
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－＜a<0时，f(x)在，上单调递减，
在上单调递增．
19．D2、D5、B11[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}为等比数列；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.
19．解：(1)证明：由已知得，bn＝2an＞0，
当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.
故数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．
(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
其在x轴上的截距为a2－.
由题意知，a2－＝2－，
解得a2＝2，
所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.
于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝，
所以，Sn＝.
19．B11、B12[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范围．
19．解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.
当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；
当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.
(2)由f(0)＝f＝0及(1)知，当x∈时，f(x)>0；当x∈时，f(x)<0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：
(i)当>2，即0时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．
综上，a的取值范围是.
B12 导数的应用
21．B3、B12[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以＜a＜.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
解得e－2＜a＜1.
所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
15．B12[2014·安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x；
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.
15．①③④ [解析] 对于①，因为y′＝3x2，y′x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，①正确；
对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；
对于③，y′＝cos x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，③正确；
对于④，y′＝，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，④正确；
对于⑤，y′＝，y′x＝1＝1，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：y＝x－1，又由h(x)＝x－1－ln x(x>0)可得h′(x)＝1－＝，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．
20．B11、B12[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，且x1x2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在和 内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0ln(kx)，
即x＞ln x＋ln k成立．
①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x＞0时，x＞ln x≥ln x＋ln k成立．
即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，
当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
②若k＞1，令h(x)＝x－ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝，
所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，
易知k＞ln k，k＞ln 2，所以h(x0)＞0.
因此对任意c∈(0，1)，取x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
方法三：(1)同方法一．
(2)同方法一．
(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，
由(2)的证明过程知，ex＞2x，
所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，
即x＜cex.
②若0＜c＜1，
令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.
令h′(x)＝0得x＝ln.
当x＞ln时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
取x0＝2ln，
则h(x0)＝ce2ln－2ln＝2，
易知－ln＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，
所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，
即x＜cex.
综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
21．B12[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<0时，试讨论是否存在x0∈∪，使得f(x0)＝f.
21．B12[2014·湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝的单调区间；
(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．
21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)因为e<3<π，所以eln 3π3.
由<，得ln 3e0，此时f′(x)<0;
当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x<0，此时f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.
当n∈N*时，因为
f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，
且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故
nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.
因此，当n＝1时，＝＜；
当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；
当n≥3时，
＋＋…＋<
＜＜
＝＜＜.
综上所述，对一切n∈N*，＋＋…＋＜.
11．B12[2014·江西卷] 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
11．(e，e) [解析] 由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．
21．K2、B1、B12[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
(1)求p(100)；
(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；
(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.
(2)F(n)＝
(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；
当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；
当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝
1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，
同理有f(n)＝
由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．
当n＝9时，p(9)＝0.
当n＝90时，p(90)＝＝＝.
当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.
又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.
12．E8、B12[2014·辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
12．C [解析] 当－2≤x<0时，不等式可转化为a≤，令f(x)＝(－2≤x<0)，则
f′(x)＝＝，故函数f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤fmin(x)＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立．
当00，由题可知f′(x)≥0，即得kx－1≥0，得x≥(k<0时不满足)，因为函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以≤1，解得k≥1.
21．B12[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.
(1)求a；
(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.
曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.
由题设得－＝－2，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，
由题设知1－k>0.
当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，
g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，
所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．
当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，
则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0，
所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．
综上，g(x)＝0在R有唯一实根，
即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．
12．B12[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
12．C [解析] 显然a＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a≠0时，由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(0)＝1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递减，在上单调递增，所以只需f>0，解得a<－2，所以选C.
21．B11、B12[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，
f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－11，
故当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
(iii)若a>1, 则f(1)＝－1＝<，符合题意．
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
20．B11，B12[2014·山东卷] 设函数f(x)＝aln x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
20．解：(1)由题意知，当a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝，所以f′(1)＝.
又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，
x2＝.
因为x1＝
＝＞0，
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－＜a<0时，f(x)在，上单调递减，
在上单调递增．
21．B11、B12、E8[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数；
(3)若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．
21．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当m >时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
19．B11、B12[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范围．
19．解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(－∞，0)，.
当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；
当x＝时，f(x)有极大值，且极大值f＝.
(2)由f(0)＝f＝0及(1)知，当x∈时，f(x)>0；当x∈时，f(x)<0.
设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：
(i)当>2，即0时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．
综上，a的取值范围是.
21．B12[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．
(1)求g(a)；
(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.
21．解：(1)因为a>0，－1≤x≤1，所以，
(i)当00，故f(x)在(a，1)上是增函数．
所以g(a)＝f(a)＝a3.
(ii)当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.
综上，g(a)＝
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(a)．
(i)当00，则h(x)在(a，1)上是增函数，所以h(x)在[a，1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a3，而00，知t(a)在(0，1)上是增函数，所以t(a)0)，则 t>1，所以 m≤－＝
－对任意 t>1成立．
因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，
当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是.
(3)令函数 g(x)＝ex＋－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当 x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)
上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋ 3x0 )<0 成立， 当且仅当最小值g(1)<0，
故 e＋e－1－2a<0, 即 a>.
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
10．B14[2014·江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图像不可能是( )
A B
C D
10．B [解析] 当a＝0时，为D选项．
当a≠0时，抛物线的对称轴为直线x＝，另一个函数的导数y′＝3a2x2－4ax＋1，令y′＝0，解得该函数的两个极值点分别为x1＝，x2＝，一直介于和之间，排除法知选B.
21．C7、B14[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝π(x－cos x)－2sin x－2，g(x)＝(x－π)＋－1.证明：
(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.
21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝π＋πsin x－2cos x＞0，所以f(x)在区间上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，f＝－4＞0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)当x∈时，化简得g(x)＝(π－x)·＋－1.
令t＝π－x则t∈.记u(t)＝g(π－t)＝
－－t＋1，则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈时，u′(t)＞0.所以在上u(t)为增函数，由u＝0知，当t∈时，u(t)＜0，所以u(t)在上无零点．
在(0，x0)上u(t)为减函数，
由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.
于是存在唯一t0∈，使u(t0)＝0.
设x1＝π－t0∈，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.
9．B14[2014·山东卷] 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
9．D [解析] 因为f(x)＝f(2a－x)，所以函数f(x)的图像关于x＝a对称．A选项中，函数f(x)＝没有对称性；B选项中，函数f(x)＝x2关于y轴对称，与a≠0矛盾；C选项中，函数f(x)＝tan x也没有对称性；D选项中，函数f(x)＝cos(x＋1)的图像是由函数g(x)＝cos x的图像向左平移一个单位后得到的，又函数g(x)＝cos x的图像关于x＝kπ(k∈Z)对称，所以函数f(x)＝cos(x＋1)的图像关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．故选D.
15．A2、B3、B14[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f(x)∈A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得函数f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]
，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确
3．[2014·汕头期末] 设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋x，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0
C．2 D．－1
3．A [解析] 因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
6．[2014·株洲模拟] 设函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2)
B.
C．(0，2)
D.
6．B [解析] 依题意可得解得a≤.
2．[2014·合肥联考] 已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈(0，1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在区间[－1，1]上的解析式；
(2)若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，求实数m的取值范围．
2．解：(1)当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)．
由f(x)为R上的奇函数，
得f(－x)＝－f(x)＝＝，
∴f(x)＝，x∈(－1，0)．
又由f(x)为奇函数，
得f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，且f(－1)＝f(1)，
∴f(－1)＝0，f(1)＝0，
故f(x)在区间[－1，1]上的解析式为f(x)＝
(2)∵x∈(0，1)，
∴f(x)＝＝＝1－.
又∵2x∈(1，2)，∴1－∈0，.
若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，则m<，
故实数m的取值范围为－∞，.
7．[2014·广州联考] 设函数f(x)＝xα＋1(α∈Q)的定义域为[－b，－a]∪[a，b]，其中0＜a＜b，且f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值的和是( )
A．－5
B．9
C．－5或9
D．以上都不对
7．C [解析] 设h(x)＝f(x)－1＝xα，则由题意可知，h(x)为奇函数或偶函数．当h(x)为奇函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是－2和－5，从而f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是－1和－4，其和为－5；当h(x)为偶函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是5和2，从而f(x)在区间[－b，－a]上的最大值与最小值分别是6和3，其和为9.故选C.
4．[2014·岳阳模拟] 若f(x)＝x3＋x2＋4x－1，其中θ∈0，，则导数f′(－1)的取值范围是( )
A．[3，6] B．[3，4＋]
C．[4－，6] D．[4－，4＋]
4．A [解析] 因为f′(x)＝sin θx2＋cos θx＋4，所以f′(－1)＝sin θ－cos θ＋4＝2sinθ－＋4.又θ∈0，，所以2sinθ－∈[－1，2]，故f′(－1)∈[3，6]．
2．[2014·内江模拟] 已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为( )
A．c< B．c≤
C．c≥ D．c>
2．A [解析] 由题意知，f′(x)＝x2－x＋c.
∵函数f(x)有极值，∴Δ＝1－4c>0，解得c<.
8．[2014·常德期末] 已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)．若x1ex2f(x1)
B．ex1f(x2)f(x)，所以f′(x)－f(x)>0.故可构造函数F(x)＝，则F′(x)＝＝>0，即函数F(x)在R上单调递增．又因为x1＜x2，所以F(x1)1时，g(x)>0；当x<1时，g(x)<0.故函数g(x)有唯一的零点x0＝1，且在x0＝1两边附近的函数值异号．
故在曲线y＝f(x)上存在唯一的点P(1，f(1))，使曲线y＝f(x)在点P处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个公共点．
