【数学】四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第三次模拟考试（理）

【数学】四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第三次模拟考试（理）

四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第三次模拟考试（文）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则复数的共轭复数 A． B． C． D．‎ ‎3．记等差数列的前项和为，若，则 A．64 B．48 C．36 D．24‎ ‎4．函数的大致图像为 A．B．C．D．‎ ‎5．设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则 A．1 B．11 C．3或11 D．1或15‎ ‎6．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎7．已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数 A． B．2 C． D．‎ ‎8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．264 B．270 C．274 D．282‎ ‎9.若实数满足，则的取值范围是 ‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则 A．3 B．-3 C．2 D．-2‎ ‎11．设，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．函数的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．与a有关 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设向量，，若，则______.‎ ‎14．函数在处的切线方程的纵截距为______.‎ ‎15.在棱长为2的正方形中，是底面ABCD的中心，E、F分别是 的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于______. ‎ ‎16．数列满足，且对于任意的都有，则______.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的面积.‎ ‎18．(12分)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.‎ ‎（I）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；‎ ‎（II）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；‎ ‎（III）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．(12分)如图，在多面体中，平面平面.四边形 为正方形，四边形为梯形，且，，，.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．(12分)已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－．‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积．‎ ‎21．(12分)已知函数，若曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（I）求实数、的值；‎ ‎（II）证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求圆的普通方程；‎ ‎（II）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎(I)当时，画出函数的图象；‎ ‎(II)不等式恒成立，求m的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A ‎ ‎9．C 10．C 11．B 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解（1），由得，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，:‎ ‎（2）连接，如下图：是的中点，，，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎，，，，‎ ‎，，， ‎ ‎，，，‎ ‎18．（1）平均数. ‎ ‎“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5所以500人中“长潜伏者”的人数为人 ‎（2）由题意补充后的列联表如图：‎ 短潜伏者 长潜伏者 合计 ‎60岁及以上 ‎90‎ ‎70‎ ‎160‎ ‎60岁以下 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ 合计 ‎150‎ ‎150‎ ‎300‎ 所以的观测值为， ‎ 经查表，得，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关. ‎ ‎（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， ‎ 从中抽取2人，共有，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，‎ 共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. ‎ 所以所求概率.‎ ‎19．（1）证明：四边形为正方形，，‎ 平面平面，且平面平面，‎ 平面，则. ‎ ‎（2）取上的点，使得，则且，‎ 且，则四边形为平行四边形，‎ 则且，由，，‎ 可得，过作于，则平面，连接，‎ 则为直线与平面所成角， ‎ 在中，求得，‎ 直线与平面所成角的正弦值为 .‎ ‎20．解：（1）设，为短轴两端点，，则.‎ 由于 ，∴.①‎ 又在上，∴.②解①②得，.所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线：，代入得.③‎ 设，，则，.④‎ ‎ ‎ ‎.⑤‎ 把④代入⑤得，解得.‎ 由对称性不妨取，则③变为，解得，.‎ 的面积.‎ ‎21．（1），，‎ 又由题意得，，所以，‎ 所以可得，，构造函数，‎ 则在区间内恒大于0，所以在区间内单调递增，‎ 又，所以关于的方程的根为，‎ 把代入，解得，所以，.‎ ‎（2）证明：由（1）知，则，‎ 因为在区间单调递增，，，‎ 所以有唯一实根，记为，即，所以，‎ 由得，整理得，‎ 因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，‎ 所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以，即.‎ ‎22．圆的参数方程为消去参数可得圆的普通方程为.‎ 化圆的普通方程为极坐标方程得，‎ 设,则由解得，，‎ 设,则由解得，，‎ ‎.‎ ‎23．（1）当时，，画出图像如下图所示：‎ ‎（2）因为，‎ 所以不等式成立，‎ 等价于成立，‎ 该不等式转化为或或，解得.‎