浙江省浙南名校联盟2019-2020高二数学下学期期末联考试题（Word版附答案）

浙江省浙南名校联盟2019-2020高二数学下学期期末联考试题（Word版附答案）

2019 学年第二学期浙南名校联盟期末联考 高二年级数学学科试题 选择题部分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 { | 2 }, { | ln( 1)}A x y x B x y x      ，A∩B＝( ) A. { | 1} B. { | 2} C. { |1 2} D. { | 2}x x x x x x x x      2．下列运算结果为纯虚数的是（ ） 2 3 2 A. (1 ) B. (1 ) C. (1 ) D. (1 )i i i i i i i    3．已知条件 p： x＞1，条件 g： 1 1 x  ，则 p是 q的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 m， n是两条不同的直线， α， β， γ是三个不同的平面，下列命 题正确的是（ ） A．若 m⊥α， n⊥β，则α⊥β B．若 m//α， m//β，则α// β C．若 m⊥α， n∥α，则 m⊥n D．若 m∥α， n//α， n⊥β，则 m⊥β 5．若 x， y满足 0 3 2 1 x x y y x        ，表示的平面区域为，直线 y＝kx－k与区域 有公共点，则 k的取值范围是（ ） A. [ 1, ) B. [ 7, 1] C. ( , 7] D. ( , 7] [ 1, )           6．已知函数 ( ) cos( sin 2 ),f x x x x R   ，则下列错误的是（ ） A． f（x）的最大值是 1 B．f（x）是周期函数 C．f（x）的图象关于直线 x＝π 2 对称 D．f（x）是偶函数 7．已知 c＞a，随机变量 ,  的分布列如下表所示，则（ ） A. , B. , C. , D. , E E D D E E D D E E D D E E D D                         8．已知点 F是椭圆 2 2 2 2 1( 0)y x a b a b     的上焦点，点 P在椭圆 E上，线段 PF与图 2 2 2( ) 2 16 c bx y   相切于点 Q，O为坐标原点，且 ( ) 0OP OF FP      ，则 椭圆 E的离心率为（ ） 6 5 2 1 A. B. C. D. 3 3 3 2 9．已知三棱锥 P—ABC中， PA PB PC  ，底面△ABC中∠C＝90°，设 平面 PAB，PBC，PCA与平面 ABC所成的锐二面角分别为 1 2 3, ,   ，则下列说 法正确的是（ ） 1 3 1 2. B. A     C．当 AC＝BC时， 2 3  D．当 AC＝BC时， 3 1  10．已知函数 22 , , ( ) ( ) , ( ) [ ( )] ( ) , x xe e x a g x f x b h x f f x b F x x x a           ，记 函数 g(x)和 h(x)的零点个数分别是 M ，N，则（ ） A．若 M＝1，则 N≤2 B．若 M＝2，则 N≥2 C．若 M＝3，则 N＝4 D．若 N＝3，则 M＝2 非选择题部分 二、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36 分） 11．双曲线 2 22 2x y  的焦距为________，渐近线 方程为________ 12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何 体的体积是________， 表面积是________ 13．如果 1(3 )nx x  的展开式中各项二项式系数之 和为 64，则 n＝________， 展开式中的常数项为________ 14．已知△ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，满足 1cos 2 a C c b  ， ∠BAC的平分线 AD 交 BC于 D，且 AD＝2， BD＝2CD，则 cos A＝________，C＝________ 15．现有完全相同的物理书 4本，语文、数学、英语书各 1本，把这 7本书 摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有 ________种摆法 （结果用数字作答） 16．已知正项等比数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 63 61, ,S S 成等差数列， 则 9 3 2 6 S S S  的最大值为________ 17．已知平面非零向量 , ,a b c   ，满足a b  且 | | 1c   ，已知 2 2 15 0,| | | |a a c a c b c             ，则 | |a b  的取值范围是________ 三、解答题（本大题共 5小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 18． （本题满分 14 分）已知函数 ( ) 2sin ( 3 cos sin ) 1f x x x x   ． （Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若 2( ) 2 5 f   ，求 sin(2 ) 6   的值。 19．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 P—ABCD中， 90ABC BCD     ， 60 ,BAD ADP   是等腰等直角三形，且 2, 2 2, 7AP DP AB CD BP     ． (Ⅰ)求证： AD⊥BP； （Ⅱ）求直线 BC与平面 ADP所成角的正弦 值． 20．（本题满分 15 分）设数列{ }na 的前 n项和为 nS ，对任意 *n N 都有 2 13 2n nS n a  ． （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）记 *4( )n nb a n N   ，证明： * 1 2 1 1 1 2 3 2( ) 3n n n N b b b       21． （本题满分 15 分）已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F在 x轴正半轴上，抛物线 C上一点 P（4，m）到焦 点 F的距离为 5． （Ⅰ）求抛物线 C的标准方程； （Ⅱ）已知 M是抛物线 C上任意一点，若在射线 1 4( 0) 2 y x y   上 存在两点 G， H，使得线段 MG， MH的中点恰好落在抛物线 C上， 求当△MGH面积取得最小值时点 M的坐标． 22． （本题满分 15 分）已知函数 ( ) 2 ln( )f x x a x a    ． （Ⅰ）当 1a   时，求 f（x）的最小值； （Ⅱ）若 ( ) 1 ln 2 x af x e    对任意的 [1, )x  恒成立，求实数 a的取值范 围． 2019 学年第二学期浙南名校高二期末考试 高二年级数学学科 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C B B C A 二、填空题 11、 2 3 ； 2 0x y  12、6 ；16 2 5 13、6 ； 1215 14、 1 2  ； 6 15、60 16、3 2 2 17、[ 31 1, 31 1]  三、解答题 18.（本题满分 14 分） 解： （I） 2( ) 2 3 sin cos 2sin 1f x x x x   3 sin 2 cos 2x x  ………………3 分 2sin(2 ) 6 x    ………………5 分 令  kxk 2 26 22 2  ,解得 Zkkxk  , 36  所求单调增区间为 )( 3 , 6 Zkkk       ………………7 分 (Ⅱ)由题意得： 2( ) 2 5 f   ，得 1sin( ) 6 5    ………………8 分 sin(2 ) 6   sin[2( ) ] 6 2     ………………10 分 cos 2( ) 6   21 2sin ( ) 6    ………………12 分 23 25  ………………14 分 19.（本题满分 15 分） (1) 取 AD 中点 E,连接 PE、BE,  ADP 是等腰直角三角形，且 2AP DP  ,  AD PE 且 2AD  , ……………3 分  2AB  且 60BAD   ， ABD 是等边三角形，  AD BE , ……………6 分 又 BE PE E ,  ,AD PBE AD BP  面 ……………7 分 (2)方法一：  AD PEB面 , AD PEB面 ，  ADP PEB面 面 ,过 B 做 BM PE 交 PE 延长线于 M 点，  BM PAD面 ， 延长 AD、BC 交于点 F， BFM 为直线 BC与平面 ADP所成角， ……………11 分 由题意得 1, BE 3PE   , 7BP  , 3150 , 2 PEB BM   , 又 90ABC BCD    , 60BAD   ， 2 2AB CD  ,  2 3BF  ………………14 分  1sin 4 BMBFM BF    , 即直线 BC与平面 ADP所成角的正弦值为 1 4 …………15 分 方法二：  AE BE ,以 E 为坐标原点，分别以 AE, BE 为 x 轴、y 轴，与平面 ABCD 垂直的 EQ 为 z 轴建立空间直角坐标系 ……………8 分 E-xyz 如图所示,则 (0,0,0), (1,0,0), (0, 3,0)E A B ,  2AB DC   , 3 3( , ,0) 2 2 C   ADP PEB面 面 , 150 ,PEB   3 1P(0, , ) 2 2   , ……………11 分 则 3 3( , ,0) 2 2 BC     , 3 1( 2,0,0), ( 1, , ) 2 2 AD AP       , 设平面 ADP 的法向量为 ( , , )n x y z  ,则 0 0 3 10 0 2 2 n AD x n AP x y z                    ， 取 (0, 3,3)n   ， ……………………………13 分 则直线 BC 与平面 ADP所成角的正弦值 1sin 4 n BC n BC          。 ………………………15 分 方法 3：体积法. 20.（本题满分 15 分） 2 1(1) 3 2n nS n a  2 1 1 13( 1) 2n nS n a     1 12 6n na a n    …………………………2 分  2 1 12 1 6n na a n      两式相减可得：，…………………………4 分  na 中奇数项，偶数项分别成公差是 12 的等差数列，中 令 n=1,得，令 2n  可得：，    2 1 1 12 1 12 6 6 2 1ka a k k k         2 2 12 1 12 6 2ka a k k k      ………………………………7 分 综上所述可得：， ………………………………8 分 （2）（法一：放缩裂项法） 6 4,nb n  1 1 2 2 2 ( 3 2 3 1) 36 4 2 3 2 3 2 3 1n n n b n n n n             ………………12 分 1 2 1 1 1 2 [( 5 2) ( 8 5) ( 3 2 3 1)] 3n n n b b b               2 2( 3 2 2) 3 2 3 3 n n     ………………………………………15 分 法二：数学归纳法(结合分析法、放缩法等) 证明：①当 n=1 时,左边 1 1 1 10b  ，右边= 2 103 2 , 3 3   所以不等式成立. ……………9 分 ②假设当 ( )n k k N   时, 不等式成立 即 1 2 1 1 1 2 3 2 3k k b b b      ， 则当 n=k+1 时, 1 2 1 1 1 1 2 13 2 3 6( 1) 4k k b b b k          只需证明： 2 1 23 2 3( 1) 2 3 36( 1) 4 k k k        即只要证明： 1 2 ( 3 5 3 2) 36 10 k k k      ……………………………11 分 即证： 1 3 2 2 6 10 3( 3 5 3 2) ( 3 5 3 2)k k k k k          1 1 2 2 6 10 2 3 5 2 3 5 3 5 3 2k k k k k           是成立的 所 以 n=k+1 时 , 不 等 式 成 立 . 根 据 ① ② 知 原 不 等 式 对 于 任 意 n N  成 立. …………………15 分 21．（本题满分 15 分） （1）由题，设抛物线C 的标准方程为 pxy 22  ，焦点 )0, 2 (PF , 则 5 2 4||  pPF ，解得 2p ……………………………………3 分 则抛物线C的标准方程为 xy 42  …………………………………………5 分 （2）解法一： 0,),,82(),,82(),, 4 ( 2111110 2 0  ttttHttGyyM设 ………………………6 分 ),4 8 (4) 2 () 2 ,4 8 ( 1 2 021010 1 2 0    tytytytyAMG 在抛物线上，可得中点则由 064)162( 2 010 2 1  ytyt整理得： 064)162( 2 020 2 2  ytyt同理得： …………………………………………9 分 00064)162(, 21 2 00 2 21  ttytyttt ，的两个实根，且是方程            064 0216 0644)162( 2 021 021 2 0 2 0 ytt ytt yy 08 0  y ……………………………………… …11 分 ，弦长 0 2 021 162525 yyttGH  58 |64162| 5 82 4 0 2 0 0 2 0     yy yy dGHM 的距离到点 ]16,0(162 0 2 0  ryyr ，令 8 64)( 2 1 3 rrrfdGHS MGH    …………… …14 分  .8,1616]16,0()(  Mrrrf 时面积最大，此时点当上单调递增，在 …………15 分 解法二： mxyAB  2 1:设 ，与抛物线联立，得：  10882  myy整理得：         myy yy m 8 8 03264 21 21 2m ……………………………………………7 分 ), 4 (),, 4 (),, 4 ( 2 2 2 1 2 1 0 2 0 yyByyAyyM设 )2, 42 (),2, 42 ( 02 2 0 2 2 01 2 0 2 1 yyyyHyyyyG  4 42 ( 2 124 2 1)2, 42 ( 2 0 2 1 0101 2 0 2 1  ）上，可得：在射线由点 yyyyxyyyyyG ， 0328162 2 001 2 1  yyyy整理得： 0328162 2 002 2 2  yyyy同理： …………………………………………9 分  2016 2 48, 2 0 0 2 21 的两根是方程  yyyyyy        16 2 4 8 2 0 021 21 yyyy yy 16 2 48 2 0 0  yym      02 02 02 01 yyy yyy H G由       0 0 HG HG yy yy       0)(24 02)(2 2 021021 021 yyyyyy yyy       01632 08 2 00 0 yym y       88 8 0 0 y y  24,48-16 2 48 2 0 0  yym  36- ，m 0又 2m )2,6[m ………………………………11 分 又 mAB 2454 弦长 ， 5 28 5 28 5 22 4 0 2 0 mm myy dABM      的距离到点 )28(2484 mmSS MABMGH   ………………………………14 分 ]4,0(24  tmt ，令 )484 3 ttSS MABMGH   （ ………………………………15 分 22．（1）解： 1a   时,函数的定义域为 (1, ) ' 1 1( ) 1+1 f x xx    ………………………………2 分 1 1 ( 1 2)( 1 1) ( 1) 1 ( 1) 1 x x x x x x x x              '( ) 0, 3, '( ) 0, 1 3,f x x f x x    令 则 则 ∴f(x)在(1,3)递减， 3, )（ 递增 …………………………………………5 分 ∴ f(x)min=f(3)=4-ln2 …………………………………………6 分 （2）函数的定义域 [ , ), 0 ( , ), 0 a a a a       不等式对 [1, )x  恒成立，故 ( 1,1]a  又令 x=1，则 12 1 ln(1 ) 1 ln 2 aa a e       12 1 ln(1 ) 1 ln 2aa a e       1( ) 2 1 ln(1 ) (1) 1 ln 2ah a a a e h      为减函数，且 = 1, ( 1,1]a a   故 …………………………………9 分 下面证明 ( 1,1]a  ，原不等式 ( ) 1 ln 2 x af x e    对任意的 [1, )x  恒成立 即证 2 ln( )+ 1 ln 2x ax a x a e      恒成立 方法一：令 ( ) 2 ln( )+ , ( 1,1]x ag a x a x a e a      则 g(a)是减函数 故 1( ) 2 ln( )+ g(1) 2 1 ln( 1)+x a xg a x a x a e x x e          …………………12 分 令 1( ) 2 1 ln( 1)+ , 1xx x x e x      1 1 1 1x>1 '( ) + , 11 11,0 1, '( ) 0 1 x x x e xx e x x              当 时， 故 故 ( ) 1x x 在 是递增 ( ) (1) 1 ln 2x     ( 1,1]a 的取值范围为 ……………………………15 分 方法二：令 ( ) 2 ln( )+ ,x ag x x a x a e     2 2 2 1 1 1 1'( ) + + 1 1 ( ) 1 1 ( 1) (1 ) 0 x ag x e x a x a x ax a x a x a x a x x a a x a x ax a x a                          故 g(x)递增， 1( ) (1) 2 1 ln(1 )+ ,ag x g a a e      … ……………………12 分 令 1( ) 2 1 ln(1 )+ ,aa a a e     则 ( )a 递减 故 ( ) (1)=1 ln 2,a   ( 1,1]a 的取值范围为 …………………………15 分