数学理卷·2017届湖南省岳阳市高三1月联考试题（2017

数学理卷·2017届湖南省岳阳市高三1月联考试题（2017

岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（一）‎ 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. ‎ ‎1.已知集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在的象限是 ‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 ‎3.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.函数满足，那么函数的图象大致是 ‎5.若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数的最小正周期为，则 ‎ A. 函数的图象关于点对称 B.函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象上单调递减 D. 函数的图象上单调递增 ‎7.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001,002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.某四面体的三视图如图2，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.某一算法框图如图3，输出的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知圆和两点.若圆上存在点使得，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义：如果函数在上存在满足，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在中，角的对边分别为，已知，则 .‎ ‎14.若二项式的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为 .‎ ‎15.矩形的四个顶点坐标依次为，线段及的图象围成的区域为，若矩形内任投一点，则点落在区域内的概率为 .‎ ‎16.定义在上的函数满足：①当时，；②都有.设关于的函数的零点从小到大依次为，若，则 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分12分）已知数列前项和满足：‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据 ‎，数据统计如右表：‎ ‎ （1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图4.‎ ‎ ①求图4中的值；‎ ‎②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.‎ ‎ （2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本题满分12分）如图5，已知长方形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面.‎ ‎ （1）求证：;‎ ‎ （2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.‎ ‎20.（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，点在椭圆上，在线段上，且的周长等于 ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，求面积的最大值.‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎ （2）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（3）若，求函数的最大值.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 ‎ 已知曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）直线与曲线交于两点，当取到最小值时，求的值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.‎