辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试卷

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试卷

沈阳市城郊市重点联合体考试 高二数学试题（理）‎ 试卷说明：1、本试卷命题范围是高中数学选修2-2（人教Ｂ版）；‎ ‎ 2、试卷分两卷，第I卷为单项选择题，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卡上，‎ 第II卷为填空题和解答题，请将答案按照题序用黑色水性签字笔填写在答题纸上；‎ ‎3、本卷满分150分，考试时间为120分钟。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每题给出的选项中,选择一个符合题目要求的选项。）‎ ‎1. 若实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2，则xy等于（ ）‎ A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 ‎ ‎2. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )‎ A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立 C.当时，该命题成立 D.当时，该命题不成立 ‎3. .若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=（ ）‎ A. 4 B .4Δx C.4+2Δx D. 2Δx ‎4. 设，则=（ ） ‎ A. sinx B. -sinx C. cosx D. -cosx ‎5. 已知,则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.与的大小关系是（ ）.‎ A. ； B. ； ‎ C. ； D.无法判断 ‎7. 设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（ ）‎ A．单调递增， B、有增有减 C、单调递减， D、不确定 ‎8推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )‎ A.① B.② C.③ D.①和③‎ ‎9．函数的定义域为开区间，导函数在内的图 象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） ‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎10 .设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 x＜0时,.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ） ‎ ‎ A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0, 3)‎ ‎ C．(-∞,-3)∪(3,+∞) D．(-∞,-3)∪(0, 3)‎ ‎11.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a.b.c中至少有一个是偶数,下列各假设中正确的是( )‎ A假设a.b.c都是偶数 B假设a.b.c都不是偶数 ‎ C假设a.b.c中至多有一个是偶数 D假设a.b.c中至多有两个是偶数 ‎12．已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎13． .若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ ‎14．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数 ‎ ． ‎ ‎15．.观察下列式子 , … … ,‎ 则可归纳出________________________________‎ ‎16．已知三角形的两边之和大于第三边,利用类比原理可以推测空间四面体的性质为：‎ ‎________________________________‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 三次函数，当x=1时取极大值4，当x=3时取极小值0，且函数图象过原点，求的解析式，并求在［-1,4］上的值域.‎ ‎18．（本小题满分12分）为支援玉树地区抗震救灾,某市某食品加工厂计划为灾区捐赠一批食品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：‎ ‎,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能为灾区奉献最大利润？最大利润是多少？（利润=收入─成本）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 是否存在复数z,使其满足z·+2i=3+ai(a∈R)?如果存在,求出z的值;如果不存 在,请说明理由.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程； (2)求S(t)的最大值。‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 设正整数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+).‎ ‎(1)求出a1,a2,a3, 猜想出an,.并 ‎(2) 用数学归纳法证明你的猜想 ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数在与时都取得极值 ‎(1)求的值与函数的单调区间 ‎(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。‎ 高二数学期中测试题参考答案 一.选择题 A D C C B B C B A D B A 二.填空题 ‎13.() 14.1-i 15. .(n∈N*)‎ ‎16.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.‎ ‎17.解析：∵函数图象过原点，∴可设=ax3+bx2+cx.……2分 ‎ ∴f′(x)=3ax2+2bx+c. ……3分 ‎ ∴在x=1,x=3处取极值. ‎ ∴x=1,x=3为f′(x)=0的两根. ‎ ∴1+3=,1×3=. ……7分 ‎ 又f(1)=4,可解得a=1,b=-6,c=9, =x3-6x2+9x.……9分 ‎ ∴f(-1)=-16,f(4)=4. ‎ 在［-1,4］上的值域为［-16,4］ …….12分 ‎18.解：每月生产x吨时的利润为 ‎ ……4分 ‎ ，故它就是最大值点，……8分 且最大值为：……10分 ‎ 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元…….12分 ‎19.解析:设z=c+bi(c、b∈R), ……2分 ‎ 则(c+bi)(c-bi)+2i(c-bi)=3+ai, ‎ c2+b2+2b+2ci=3+ai, ‎ ∴ ……4分 ‎ ∴ ‎ ∴(b+1)2=4-. ……6分 ‎ 当4-≥0,即-4≤a≤4时,b=.……8分 ‎ 当4-<0,即a>4或a<-4时,z不存在.……10分 ‎ 当a∈［-4,4］时,存在复数z=+i,使z·+2i=3+ai…….12分 ‎20.（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为……2分 故切线的方程为即……4分 ‎（Ⅱ）令y=0得x=t+1,‎ 又令x=0得……6分 所以S（t）=‎ ‎ =……8分 从而……9分 ‎∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,‎ 所以S(t)的最大值为S(1)= 2……12分 ‎.21.解:n=1时,a1=S1=(a1+),∴a12=1,又∵an>0,∴a1=1.‎ n=2时,S2= (a2+)=a1+a2,‎ ‎∴a22+2a2-1=0.‎ 又∵an>0,‎ ‎∴a2=-1.‎ n=3时,S3=(a3+)=a1+a2+a3,‎ ‎∴a32+a3-1=0.又∵an>0,‎ ‎∴a3=……4分 规律已基本形成,由此猜想 an=…….5分 下面用数学归纳法证明:‎ ‎(1)当n=1时,a1==1,命题成立……7分 ‎(2)假设n=k时命题成立,即ak=,……8分 则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(ak+1+)-(ak+)‎ ‎=(ak+1+)-(+)‎ ‎=(ak+1+)-.‎ ‎∴ak+12+-1=0.‎ 又∵an>0,∴ak+1=-,则n=k+1时,命题也成立……11分 解由(1)(2)知对一切正整数n,命题均成立……12分 ‎22．解：（1）……2分 由，得……4分 ‎，函数的单调区间如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ¯ 极小值 所以函数的递增区间是与,递减区间是；……7分 ‎（2），当时，‎ 为极大值，而，则为最大值……10分 ‎，要使恒成立，‎ 则只需要，得。……14分