【数学】江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）

【数学】江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）

江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年 高二下学期第一次月考（理）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，总分60分）‎ ‎1．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进出门的方案有(　　)‎ A. 12种 B. 7种 C. 24种 D. 49种 ‎3．如图，三棱锥A－BCD的底面为正三角形，侧面ABC与底面垂直且AB＝AC，‎ 若该四棱锥的正(主)视图的面积为2，则侧(左)视图的面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有(　)‎ A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 ‎5．若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)‎ A．AB∥CD　　　　　　　 B．AD∥CB ‎ C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 ‎6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为(　　)‎ A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 ‎7．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　)‎ ‎ ‎ A．1　　 　 B．2 ‎ C．4 D．8‎ ‎8．某中学高二志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)‎ A．484　　 B．472 C．252 D．232‎ ‎9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ‎，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A．πa2 B.πa2 ‎ C.πa2 D．5πa2‎ ‎10．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法(　　)‎ A．10 B．16 C．20 D．24‎ ‎11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是(　　)‎ A．2π B. ‎ C. D. ‎12．如图，边长为a的等边△ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′∉平面 ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，对于下列叙述错误的是(　　)‎ A．平面A′FG⊥平面ABC ‎ B．BC∥平面A′DE C．三棱锥A′－DEF的体积最大值为a 3 ‎ D．直线DF与直线A′E可能共面 二、填空题 (本大题共4小题，每题5分，总分20分)‎ ‎13．将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．‎ ‎14．圆台的两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为3 cm，则它的轴截面面积为________．‎ ‎15．已知集合A＝{4}，B＝{1，2}，C＝{1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．‎ ‎16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为CD1，A1B1，B1C1的中点，则异面直线AF与GE所成角的正切值为________．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其余各小题12分，总分70分）‎ ‎17．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N. ‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处 ‎(不需说明理由)；‎ ‎(2)证明：直线MN∥平面BDH.‎ ‎18．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：‎ ‎ (1)排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎(2)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；‎ ‎(3)全体排成一排，男生互不相邻；‎ ‎(4)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．‎ ‎19．如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎20．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．试求：‎ ‎(1)AD1与EF所成角的大小；‎ ‎(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值．‎ ‎21．如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，‎ 且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．‎ ‎(1)求证：平面EFG⊥平面PAB；‎ ‎(2)求点A到平面EFG的距离．‎ ‎22．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA＝2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．‎ ‎(1)求证：FG∥平面PED；‎ ‎(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；‎ ‎(3)在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1. C2 .D3．B4．C 5． D　6． C7． A.8．B　9． B10．C　11． B12． D ‎13．答案：360‎ ‎14．答案　63 cm2‎ ‎15． [解析] 不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCCA＝36，但集合B，C中有相同元素1，由4，1，1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33.‎ ‎16．解析：法一：如图，连接DC1，B1D，可知DC1过点E，且点E为DC1的中点，从而GE∥B1D.‎ 取AB的中点H，连接HB1，易证HB1∥AF，∴异面直线AF与GE所成角为∠HB1D.设正方体棱长为2，则在三角形HB1D中，DB1＝2，DH＝HB1＝，由等腰三角形的知识可得tan∠HB1D＝＝.‎ 法二：以B1为坐标原点，以B1A1，B1C1，B1B所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2,0,2)，F(1,0,0)，G(0,1,0)，E(1,2,1)，‎ ‎∴＝(－1,0，－2)，＝(1,1,1)，∴cos〈，〉＝＝＝－.设异面直线AF与GE所成角为α.∵两条异面直线所成的角在(0，]范围内，∴两条异面直线所成的角的余弦值为cosα＝，sinα＝＝，∴tanα＝＝.‎ ‎17．[解] (1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎(2)证明：如图，连接BD，设O为BD的中点，连接OH，OM，MN，BH.‎ 因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OM∥CD，且OM＝CD，‎ HN∥CD，且HN＝CD，所以OM∥HN，OM＝HN.‎ 所以四边形MNHO是平行四边形，从而MN∥OH.‎ 又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，所以MN∥平面BDH.‎ ‎18．解：本题考查了有限制条件的排列问题．‎ ‎ (1)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有A·A＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．‎ ‎(2)(优先法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600(种)．‎ ‎ (3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1440(种)．‎ ‎(4)把甲、乙及中间3人看作一个整体 ，第一步先排甲、乙两人有A种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有A种方法，故共有A×A×A＝720(种)．‎ ‎19．(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又因为PC∩AC＝C，‎ 所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎20．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F.‎ ‎(1)因为＝(0，1，－1)，＝，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 即AD1与EF所成的角为60°.‎ ‎(2)＝，由图可得，＝(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，‎ 所以cos θ＝. 即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.‎ ‎21．【解】如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．‎ ‎(1)证明：因为＝(0，1，0)，＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，所以· ‎＝0×0＋1×0＋0×2＝0，·＝0×2＋1×0＋0×0＝0，‎ 所以EF⊥AP，EF⊥AB．‎ 又因为AP，AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，‎ 所以EF⊥平面PAB．又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAB．‎ ‎(2)设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则所以 取n＝(1，0，1)，又＝(0，0，1)，所以点A到平面EFG的距离d＝＝＝.‎ ‎22．解：(1)因为F，G分别为PB，EB的中点，所以FG∥PE.‎ 又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED.‎ ‎(2)因为EA⊥平面ABCD，EA∥PD，‎ 所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD.‎ 又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD.‎ 建立空间直角坐标系．‎ 因为AD＝PD＝2EA＝2，‎ 所以D(0,0,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(2,0,1)．‎ 因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，‎ 所以F(1,1,1)，G(2,1，)，H(0,1,1)．‎ 所以＝(－1,0，)，＝(－2,0，)．‎ 设n1＝(x1，y1，z1)为平面FGH的法向量，则，即，‎ 令y1＝1，得n1＝(0,1,0)．‎ 设n2＝(x2，y2，z2)为平面PBC的法向量，则，‎ 又由＝(2,2，－2)，＝(0,2，－2)，‎ 得，令z2＝1，得n2＝(0,1,1)．‎ 所以|cos〈n1，n2〉|＝＝.‎ 所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°.‎ ‎(3)假设在线段PC上存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°.‎ 依题意可设＝λ，其中0≤λ≤1.‎ 由＝(0,2，－2)，得＝(0,2λ，－2λ)．‎ 又因为＝＋，＝(－1，－1,1)，‎ 所以＝(－1,2λ－1,1－2λ)．‎ 因为直线FM与直线PA所成的角为60°，‎ ＝(2,0，－2)，‎ 所以|cos〈，〉|＝，即＝，解得λ＝.‎ 所以＝(0，，－)，||＝.‎ 所以在线段PC上存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°，此时PM＝.‎