(山东新高考)2020年高三数学最新信息卷(八)(Word版附答案)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

(山东新高考)2020年高三数学最新信息卷(八)(Word版附答案)

绝密 ★ 启用前 (新高考)2020 年高三最新信息卷 数 学(八) 注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。 4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集为 R ,集合 2{ | log 1}A x x  , 2{ | 1}B x y x   ,则 ( )A B R ð ( ) A.{ | 0 2}x x  B.{ | 0 1}x x  C.{ | 1 1}x x   D.{ | 1 2}x x   2.若复数 4 iz   ,则 z z  ( ) A.15 B.16 C.17 D.18 3.下列说法正确的是( ) A.向量 (1, 1) a , ( ,3)b ,若 a b,则 3  B.向量 (1,1)a , ( 1,3) b , ( 1,1) c ,若 ( ) ∥a b c ,则 1  C.向量 (3,4)a , (2,1)b ,则| 2 | 10 a b D.向量 (3,4)a , (0,1)b  ,则 a 在 b 方向上的投影为 5 4.在 ABC△ 中, BD DC  , AP PD  ,且 BP AB AC     ,则    ( ) A.1 B. 1 2 C. 1 2  D. 1 2  5.设 1F , 2F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点, P 是C 上一点,若 1 2| | | | 6PF PF a  ,且 1 2PF F△ 的最小内角为30 ,则C 的离心率为( ) A. 6 B. 6 C.3 D. 3 6.在 ABC△ 中,角 A , B ,C 的对应边分别为 a ,b , c ,且 ABC△ 的面积 2 5 cosS C , 且 1a  , 2 5b  ,则边 c 的值为( ) A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 7. 2 4(1 2 )(1 )x x x   的展开式中含 3x 的项的系数为( ) A. 8 B. 6 C.8 D. 6 8.若正三棱柱的所有棱长都为 3 ,则其外接球的表面积为( ) A. 21π B.12π C. 9π D. 27π 4 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.2019 年以来,世界经济和贸易增长放缓,中美经贸摩擦影响持续显现,我国对外贸易仍然表现 出很强的韧性.今年以来,商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署,出台了一系列政策举 措,全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境,不断提高贸易便利化水平,外贸稳规模、提质 量、转动力取得阶段性成效,进出口保持稳中提质的发展势头,下图是某省近五年进出口情况统计 图,下列描述正确的是( ) A.这五年,2015 年出口额最少 B.这五年,出口总额比进口总额多 C.这五年,出口增速前四年逐年下降 D.这五年,2019 年进口增速最快 10.若正三棱柱 ABC A B C   的所有棱长都为 3 ,外接球的球心为O ,则下列四个结论正确的是 ( ) A.其外接球的表面积为 21π B.直线 AB与直线 BC 所成角为 π 3 C. AO B C  D.三棱锥O ABC 的体积为 9 3 8 此 卷 只 装 订 不 密 封 班 级 姓 名 准 考 证 号 考 场 号 座 位 号 11 . 已 知 函 数 2π( ) cos( )( 0)3f x x    , 1x , 2x , 3 [0,π]x  , 且 [0,π]x  都 有 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x  ,满足 2( ) 0f x  的实数 3x 有且只有 3 个,给出下列四个结论正确的是( ) A.满足题目条件的实数 1x ,有且只有1个 B.满足题目条件的实数 2x ,有且只有1个 C. ( )f x 在 π(0, )10 上单调递增 D. 的取值范围是 13 19[ , )6 6 12.已知 P 是双曲线 2 2 125 16 x y  右支上一点, 1F 是双曲线的左焦点,O 为原点,若 1| | 8OP OF   , 则下列结论正确的是( ) A.双曲线的离心率为 5 3 B.双曲线的渐近线为 4 5y x  C. 1 2PF F△ 的面积为 36 D.点 P 到该双曲线左焦点的距离是18 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.二项式 5 2 1( )x x  的展开式中常数项为________.所有项的系数和为________. 14.若 tan( ) 1   , tan 3  ,则 tan 2  ________. 15.学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型,如图,该模型为圆锥底部挖去一个正方体 后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为10 2 cm , 高为10 cm ,打印所用原料密度为 30.9 g / cm ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量 为 g .( π 取3.14) 16.设 1F , 2F 为椭圆 2 2: 13 xC y  的两个焦点, M 为C 上一点且在第一象限,若 1 2MF F△ 为直 角三角形,则 M 的坐标为 . 四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分) ABC△ 的内角 A ,B ,C 的对边分別为 a ,b ,c ,且 1 3 πsin cos , (0, )2 2 2 2 C C C   , cos sin 2a B b A  . (1)求 ABC△ 的外接圆的面积 S ; (2)求 a b 的取值范围. 18.(12 分)如图,在四棱锥 S ABCD 中,SA  底面 ABCD ,ABCD 是边长为1的正方形,且 1SA  , 点 M 时 SD 的中点. (1)求证: SC AM ; (2)求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小. 19.(12 分)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满足程度,组织居民给活 动打分(分数为整数,满分为100分),从中随机抽取一个容量为120的样本,发现所有数据均在 [40,100]内,现将这些分数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图 形,如图所示,观察图形,回答下列问题. (1)算出第三组[60,70) 的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数(每组数据以区间的中点值为代表). 20.(12 分)设向量 1 1( , )x ya , 2 2( , )x yb ,定义一种向量积 1 2 1 2( , )x x y y a b .已知 (2,2)m , π( ,0)3 n ,点 P 在 siny x 的图象上运动,Q 是函数 ( )y f x 图象上的点,且OQ OP    m n (O 为坐标原点). (1)求函数 ( )y f x 的解析式; (2)求函数 ( )y f x  在 [0,π]x 上的单调递减区间. 21.(12 分)已知曲线 2 : 2 xC y  的焦点是 F , A , B 是曲线 C 上不同两点,且存在实数  使得 AF FB  ,曲线 C 在点 A , B 处的两条切线相交于点 D . (1)求点 D 的轨迹方程; (2)点 E 在 y 轴上,以 EF 为直径的圆与 AB 的另一交点恰好是 AB 的中点,当 2  时,求四边 形 ADBE 的面积. 22.(12 分)已知数 ( ) ( 1)xf x e a x b    ,其中 a ,b  R 为自然对数底数. (1)讨论函数 ( )f x 的单调性; (2)若 0a  ,函数 ( ) 0f x  对任意的 x  R 都成立,求 a b 的最大值. 绝密 ★ 启用前 (新高考)2020 年高三最新信息卷 数学(八)答案 第Ⅰ卷 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】由 2log 1x  ,得 0 2x  ,由 2 1 0x   ,得 2 1x  ,再得 1x   或 1x  , 所以 ( ) { | 0 1}A B x x  R ð . 2.【答案】C 【解析】 (4 i)(4 i) 16 ( 1) 17z z        . 3.【答案】B 【解析】若 a b ,则 0 a b ,得 A 错误; (1 ,1 3 )     a b ,若 ( ) ∥a b c ,则1 1 3 0     , 1  ,B 正确; 2 ( 1,2)  a b ,| 2 | 5 a b ,可判断 C 错误; a 在 b 方向上的投影为 4 4| | 1   a b b ,D 错误,故选 B. 4.【答案】C 【解析】 1 1 1 1 1 1 3 1( )2 2 2 4 2 4 4 4BP BA BD BA BC AB AC AB AB AC                    , ∴ 3 1 1 4 4 2        . 5.【答案】D 【解析】不妨设 1 2| | | |PF PF ,则 1 2| | | | 2PF PF a  , 又 1 2| | | | 6PF PF a  ,解得 1| | 4PF a , 2| | 2PF a , 则 1PF F 是 1 2PF F△ 的最小内角为 30 , 所以 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2| | | | | | 2 | | | | cos30PF PF F F PF F F     , 所以 2 2 2 3(2 ) (4 ) (2 ) 2 4 2 2a a c a c      , 化简得 2 2 3 3 0e e   ,解得 3e  . 6.【答案】B 【解析】由题意得,三角形的面积 1 sin 2 5 cos2S ab C C  , 所以 tan 2C  ,所以 5cos 5C  , 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 17c a b ab C    ,所以 17c  . 7.【答案】D 【解析】展开合并同类项后,含 3x 的项是 3 3 2 2 2 1 1 3 4 4 41 C ( )C 2 C 6x x x x x x      . 8.【答案】A 【解析】球心O 到下底面的距离 3 2OO  , 2 3 3 33 2AO     , 所以其外接球的 2 2 21 4R AO OO    , 所以其外接球的表面积为 24π 21πR  . 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.【答案】ABD 【解析】对于选项 A,观察 5 个白色条形图可知,这五年中 2015 年出口额最少,故 A 正确; 对于选项 B,观察五组条形图可得,2015 年出口额比进口额稍低, 但 2016 年至 2019 年出口额都高于进口额,并且 2017 年和 2018 年出口额都明显高于进口额, 故这五年,出口总额比进口总额多,故 B 正确; 对于选项 C,观察虚线折线图可知,2015 年到 2016 年出口增速是上升的,故 C 错误; 对于选项 D,从图中可知,实线折线图 2019 年是最高的,即 2019 年进口增速最快,故 D 正确. 10.【答案】ACD 【解析】球心O 到下底面的距离 3 2OO  , 2 3 3 33 2AO     , 所以其外接球的 2 2 21 4R AO OO    ,所以其外接球的表面积为 24π 21πR  , A 正确; 直线 AB与直线 BC 所成角即直线 AB与直线 B C  所成角, 在 AB C △ 中, 2 2 2(3 3) 3 (3 3) 3cos 62 3 3 3       ,故 B 错误; OO  面 ABC ,得OO BC  ,O 为 ABC△ 的重心,则 AO BC  , 故 BC  面 AOO,即 BC AO ,故 AO B C  ,C 正确; 根据体积公式可得 1 3 1 3 3 9 3( 3 )3 2 2 2 8O ABCV        ,D 正确. 11.【答案】ACD 【解析】 0  , 2π 2π 2π[0,π] [ ,π ]3 3 3x x       , 设 2π 3x t   进行替换,作 cosy t 的图象, 在[0,π]上满足 3( ) 0f x  的实数 3x 有且只有 3 个, 即函数 cosy t 在 2π 2π[ ,π ]3 3   上有且只有 3 个零点, 由图象可知 3π 2π 5π 2 3 2x   ,13 19 6 6   ,结论 D 正确; 由图象知 cosy t 在 2π 2π[ ,π ]3 3   上只有一个最小值点,有一个或两个最大值点, 结论 A 正确,结论 B 错误; π(0, )10x 时, 2π 2π π 2π( , )3 3 10 3x      , 由13 19 6 6   知 π 2π 7π 010 3 20      ,所以 cosy t 在 2π 2π( , )3 10 3 x  上递增, 则 ( )f x 在 π(0, )10 上单调递增,结论 C 正确, 综上,正确的是 ACD. 12.【答案】BD 【解析】由已知得 5a  , 4b  , 2 2 41c a b   , 41 5 ce a   , 双曲线的渐近线为 4 5y x  , 取线段 1PF 的中点 M ,则 1 2| | | 2 | 8OP OF OM PF      , 所以 1 2 2 10PF PF a   ,得 1 18PF  , 故 1 2PF F△ 的面积为 26 2 41 . 第Ⅱ卷 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.【答案】5,32 【解析】展开式的通项为 5 5 5 2 2 1 5 52 1C ( ) ( ) C rr r r r rT x xx     , 令 5 5 02 2 r  ,解得 1r  ,所以展开式中的常数项为 1 2 5C 5T   , 令 1x  ,得到所有项的系数和为 52 32 ,得到结果. 14.【答案】 4 3 【解析】 tan tan( ) 3 1 1tan tan[ ( )] 1 tan tan( ) 1 3 1 2                     , ∴ 2 12 42tan 2 1 31 ( )2      . 15.【答案】358.5 【解析】设被挖去的正方体的棱长为 cmx ,圆锥底面半径为 r , 则 2 2 102 2 105 2 x xh x x r h     , 5x  , 所以,制作该模型所需材料质量约为 2 310.9( π , ) 0.3π 50 10 0.9 125 358.5 g3m V r h x         . 16.【答案】 3( 2, )3 或 6 2( , )2 2 【解析】 2 3a  , 2 1b  ,∴ 2 2 2 2c a b   , 2c  , 当 2F 为直角顶点时, 2F M x 轴, 设 0 0( 2, )( 0)M y y  , M 在椭圆上,则 2 2 0 2 13 y  ,解得 0 3 2y  , 当 M 为直角顶点时,点 M 在以 1 2F F 为直径的圆周上,此圆周的方程是 2 2 2x y  , 与 2 2 13 x y  联立解得 6 2x   , 2 2y   , ∵ M 在第一象限,则 6 2( , )2 2M , 综上, M 放入坐标为 3( 2, )3 或 6 2( , )2 2 . 四、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1) 4π 3 ;(2) (2,4] . 【解析】(1)∵ 2 3(sin cos ) 1 sin 12 2 2 C C C     ,∴ 3sin 2C  , ∵ π(0, )2C  ,∴ π 3C  , 由正弦定理知: 2 sin cos 2 sin cos 2 sin( ) 2 sin 2R A B R B A R A B R C c      , ∴ 2 4 3 2 32sin 3 33 2 c R RC      ,∴ 2 4ππ 3S R  . (2)由余弦定理得 2 2 2 2 2 2π2 2 cos 4 ( ) 3 ( ) 3( )3 2 a ba b ab a b ab a b           , ∴ 2( ) 16 4 4a b a b       , 而在 ABC△ 中, 2a b c   ,∴ (2,4]a b  . 18.【答案】(1)证明见解析;(2) 45. 【解析】(1)由题意底面 ABCD 是正方形, SA  底面 ABCD , 1SA AD  ,CD  平面 ABCD ,∴ SA CD , ∵CD AD , AD SA A ,∴ CD  平面 SAD , 又∵ AM  平面 SAD ,∴CD AM , 又 1SA AD  ,点 M 是 SD 的中点,∴ AM SD , ∵ SD CD D ,∴ AM  平面 SCD , ∵ SC  平面 SCD ,∴ SC AM . (2)过 S 引直线 SE ,使 SE AB∥ ,则 SE CD∥ , ∴ SE 在平面 SAB 内, SE 在平面 SCD 内, ∴ SE 就是平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的棱, 由条件知, AB AD , AB AS , 已知 AS AD A ,则 AB 平面 ASD , 由作法知, SE AB∥ ,则 SE  平面 ASD ,所以 AS AE , SE SD , ∴ ASD 就是平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的平面角, 在 SADRt△ 中, 45ASD   , ∴在平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小等于 45. 19.【答案】(1)18 人,频率分布直方图见解析;(2)众数为 75分,中位数为 75分,平均数为 73.5分. 【解析】(1)因为各组的频率之和等于1, 所以分数在[60,70) 内的频率为1 10(0.05 0.015 0.030 0.025 0.010) 0.15      , 所以第三组[60,70) 的频数为120 0.15 18  人, 完整的频率分布直方图如图: (2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点, 从图中可看出众数的估计值为 75分; 0.05 0.15 0.15 0.35 0.50    , 0.05 0.15 0.15 0.30 0.65 0.50     , 设样本中位数为 0x ,则 0 [70,80)x  , 00.005 10 0.015 10 0.015 10 0.030 ( 70) 0.50x         ,解得 0 75x  ; 又根据频率分布直方图,样本的平均数的估计值为 45 (10 0.005) 55 (10 0.015) 65 (10 0.015)        75 (10 0.03) 85 (10 0.025) 95 (10 0.01) 73.5          分, 所以样本的众数为 75分,中位数为 75分,平均数为 73.5分. 20.【答案】(1) 1 π( ) 2sin( )2 6y f x x   ;(2) 2π[0, ]3 . 【解析】(1)设 ( , )Q x y , 0 0( , )P x y , 由新的运算可得 0 0 0 0 π π(2,2) ( ,sin ) ( ,0) (2 ,2sin )3 3OQ OP x x x x         m n , ∵ ( , )OQ x y ,∴ 0 0 0 π2 1 π3 2 62sin x x x x y x         ,代入 02siny x , ∴ 1 π( ) 2sin( )2 6y f x x   . (2)∵ 1 π 1 π( ) 2sin( ) 2sin( )2 6 2 6y f x x x        , 由题意,只需求函数 1 π2sin( )2 6y x  的单调递增区间, 由 π 1 π π2 π 2 π2 2 6 2k x k     , k  Z 4π 2π4 π 4 π3 3k x k     , k  Z , ∴函数 ( )y f x  的单调递减区间为 4π 2π[4 π ,4 π ]3 3k k  , k  Z , ∴函数 ( )y f x  在 [0,π]x 上的单调递减区间为 2π[0, ]3 . 21.【答案】(1) 1 2y   ;(2) 27 2 16 . 【解析】(1)曲线 2 : 2 xC y  就是抛物线 2 2x y ,它的焦点坐标为 1(0, )2F , 存在实数  使得 AF FB  ,则 A , B , F 三点共线, 当直线斜率不存在时,不符合题意; 当直线l 斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 1 2y kx  ,与 2 2x y 联立消去 y , 整理得 2 2 1 0x kx   ,判别式 24( 1) 0Δ k   , 设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ,则 1x , 2x 就是方程 2 2 1 0x kx   的两实根, 1 2 2x x k  , y x  ,切线斜率 11 1|x xk y x  , 则曲线 C 在点 2 1 1( , )2 xA x 处的切线方程是 2 1 1 1( )2 xy x x x   ,即 2 1 1 2 xy x x  ①, 同理得曲线 C 在点 B 处的切线方程是 2 2 2 2 xy x x  ②, 联立①②即可求解两切线交点 D 的坐标, ① 2x  ② 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1:( ) ( )2 2 2 x x x xx x x y x x x x       ,已知 1 2x x , 1 2 1x x   , 所以,上式化简为 1 2y   (表示水平之嫌,不必求 x ), 所以,两切线交点 D 的轨迹方程是 1 2y   . (2)已知 2  ,在(1)的解答的基础上, 1 1 12 (0 , )2AF FB x y     2 2 1 2 1 2 12( 0, ) 2 22x y x x x x         , 1 2 1 1 2 2 42 x x x kx x k       , 2 2x k  ,代入 1 2 1x x   中,解得 2 1 8k  , 注意到对称性,求四边形 ADBE 面积,只需取 2 4k  即可, 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x       2 2 2 9= 1 (2 ) 4 2(1 ) 4k k k      , 设 AB 中点为 0 0( , )G x y ,则 1 2 0 2 2 4 x xx k   , 2 0 0 1 1 5 2 2 8y kx k     , 已知点 G 在以 EF 为直径的圆周上,则 EG GF , 设 (0, )E t ,由 EG GF ,得 0GE GF   ,解得 13 8t  ,则 13(0, )8E , 将直线 AB 的方程 2 1 04 2x y   化为 2 2 2 0x y   , 则点 E 到 AB 的距离 1 13| 0 2 2 2 | 3 28 41 8 d       , 所以 1 1 1 9 3 2 27 2| |2 2 4 4 32ABES AB d     △ , 在(1)的解答种,联立①②消去 y 解得 1 2 2 x xx k  , 则两切线交点坐标为 1( , )2D k  , 2  时, 2 4k  , 此时,点 D 的坐标为 2 1( , )4 2  , D 到 AB 的距离 2 2 1| 2 2 ( ) 2 | 3 24 2 41 8 d        , 所以 2 1 27 2| |2 32ABDS AB d  △ , 又已知 D , E 在 AB 两侧,所以 27 2 27 2 27 2 32 32 16ADBE ABE ABDS S S    △ △ . 22.【答案】(1)见解析;(2) 2e . 【解析】(1)∵ ( ) xf x e a   , ①当 0a  时, ( ) 0f x  , ( )f x 在 R 上单调递增; ②当 0a  时,由 ( ) 0f x  ,得 lnx a . 当 ( ,ln )x a  时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递减; 当 (ln , )x a  时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递增. (2)由题意 ( ) 0f x  对任意的 x  R 都成立,则 ( 1)xe a x b   在 x  R 都成立, 在 xy e 上任取一点( , )tt e , ∵ xy e  , ∴ xy e 在点 ( , )tt e 处的切线方程为 ( )t t t t ty e e x t y e x te e       , 若令 ta e ,由 xe ax a b   在 x  R 都成立,只需 t ta b te e     成立, 即 3 t ta b e te   成立. 令 ( ) 3 t tg t e te  , ( ) (2 )tt g t e t   R , 令 ( ) 0g t  ,解得 2t  , ∴当 ( ,2)t   时, ( ) 0g t  , ( )g t 单调递增; 当 (2, )t   时, ( ) 0g t  , ( )g t 单调递减, 则 2 2 2 max( ) (2) 3 2g t g e e e    ,∴ 2a b e  ,∴ a b 最大值为 2e .
查看更多

相关文章

您可能关注的文档