2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由复数，得到复数的共轭复数，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数（为虚数单位），‎ 则在复平面内的共轭复数所对应的点为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的表示，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的几何意义和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2．已知随机变量，且，则（ ）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7‎ ‎【答案】A ‎【解析】由随机变量，得正态分布曲线关于对称，即可得到，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，随机变量，且，‎ 可得正态分布曲线关于对称，可得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3．观察下列各式：‎ ‎…，根据以上规律，则（ ）‎ A．123 B．76 C．47 D．40‎ ‎【答案】C ‎【解析】由数字构成数列，可得数列满足，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题设条件，由数字构成一个数列，‎ 可得数列满足，‎ 则，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理，以及数列的应用，其中解答中根据题设条件，得出构成数列的递推关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）‎ A．该超市这五个月中的营业额一直在增长；‎ B．该超市这五个月的利润一直在增长；‎ C．该超市这五个月中五月份的利润最高；‎ D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：‎ ‎1月份的利润为万元；2月份的利润为万元；‎ ‎3月份的利润为万元；4月份的利润为万元；‎ ‎5月份的利润为万元，‎ 所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为，记他在次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则随机变量，利用方差的公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，在次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则随机变量，‎ 所以，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：‎ 天数（天）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 繁殖个数（千个）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4.5‎ 由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为 （ ）‎ A．4.9 B．5.25 C．5.95 D．6.15‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，求得，得到回归直线的方程为，即可作出预测，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据表格中的数据，可得，‎ 即样本中心为，代入回归直线方程，即，‎ 解得，即回归直线的方程为，‎ 当时，，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎7．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件为“两个点数不同”，事件为“两个点数中最大点数为4”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有种，其中记事件为“两个点数不同”的基本事件共有种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有种，‎ 其中记事件为“两个点数不同”的基本事件共有种，‎ 又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：，共有6种，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（ ）‎ A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎【答案】C ‎【解析】把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有种不同的排法，又由丙不能排最左端，只有3种方式，利用分步计数原理，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有种不同的排法，‎ 又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式，‎ 由分步计数原理可得，不同的排法共有种，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理利用“捆绑法”和“插空法”求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．已知二项式，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把二项式化为，求得其展开式的通项为，求得，再令，求得，进而即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，二项式展开式的通项为，‎ 令，可得，即，解得，‎ 所以二项式为，则，‎ 令，即，则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10．某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由6份礼物分给6个人，共有种，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，6份礼物分给6个人，共有种不同的分法，‎ 要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，‎ 共有，‎ 所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中，认真审题，利用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎11．已知在三棱锥中，底面为等腰三角形，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由即，又由，可得平面，在中，得到，利用线面垂直的判定定理平面，在中得到，‎ 进而在直角中，求得，得到球的半径，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设球的半径为，如图所示，‎ 由即，又由，可得平面，‎ 又由在中，，所以，则，‎ 又由，且，所以平面，‎ 又由底面为等腰三角形，，所以，‎ 在直角中，，所以,‎ 即，所以，‎ 所以球的表面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了组合体的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟练应用组合的结构特征，以及球的性质求解求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎12．已知函数，若对区间内的任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对任意实数，都有，则，，分类讨论：①时，恒成立，在单调递减， .②时，恒成立，在单调递增，‎ ‎ ③时，在单调递增，单调递减，‎ ‎(Ⅰ)即时，‎ ‎(Ⅱ)即时，‎ 令恒成立，在恒成立，,综上可得，实数的取值范围是，故选D.‎ 二、填空题 ‎13．若复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数满足，即，‎ 所以复数的虚部为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，以及复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算和复数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14．若曲线在点处的切线与直线垂直，则常数___.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】利用导数的几何意义，求得在点处的切线斜率为，再根据两直线的位置关系，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，可得，所以，‎ 即在点处的切线斜率为，‎ 又由在点处的切线与直线垂直，所以，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中利用导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则的展开式中的常数项为_____.‎ ‎【答案】-112‎ ‎【解析】由二项式系数的最大项是第3项和第4项，求得，得到，‎ 再由二项展开式的通项，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，二项式的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，‎ 所以二项展开式共有6项，所以，则，‎ 又由二项式的展开式的通项为，‎ 令或，解得或，‎ 则展开式的常数项为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式系数的最大项，以及二项展开式的通项，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知双曲线的渐近线方程为，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，过的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若向量与的夹角为，则的面积为 ‎_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据双曲线的几何性质，求得抛物线的方程为，设直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线的方程，由根与系数的关系，求得，‎ 设，根据向量的数量积的运算，求得，即可求解的面积．‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，‎ 又由渐近线方程为，所以，解得，即，‎ 所以双曲线的右焦点，‎ 又因为抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，即，‎ 解得，所以抛物线的方程为，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 代入抛物线的方程消去，可得，‎ 设，由根与系数的关系，求得，‎ 设，则，‎ 又因为，‎ 则，解得，‎ 所以的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质求得抛物线的方程，再根据直线抛物线的位置关系，利用根与系数的关系，利用向量的数量积求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 (为参数)．‎ ‎（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；‎ ‎（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值．‎ ‎【答案】（I）：； ：； （II）2.‎ ‎【解析】（I）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程，消去参数，即求解直线的普通方程．‎ ‎（II）将直线的参数方程代入圆，利用直线的参数的几何意义，即求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意，曲线的极坐标方程为，‎ 由，则，即；‎ 又由直线的参数方程为 (为参数)，消去参数可得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．‎ ‎（II）将代入圆得：，解得：‎ 由直线的参数的几何意义知：弦长.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理使用直线参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（I）求不等式的解集；‎ ‎（II）记函数的最小值为，若且，求证．‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析 ‎【解析】（I）由不等式，即，解得，即可得到不等式的解集；‎ ‎（II）由绝对值不等式的性质有，求得，再由基本不等式即可作出证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）不等式，即，即，解得，‎ 所以的解集为；‎ ‎（II）函数，由绝对值不等式的性质有，‎ 所以，即，，又，‎ ‎.‎ 又，同理，，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理使用绝对值三角不等式和基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎19．如图，在直三棱柱 中，为的中点，．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）‎ ‎【解析】（I）利用直线与平面平行的判定定理，即可证得平面；‎ ‎（II）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）证明：连结，设，连结，‎ 为的中点，为的中点，‎ 又平面，平面，平面；‎ ‎（II）在直三棱柱 中，，且，‎ 平面，. 以为原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，设平面的法向量为，‎ 则：，‎ 令，得，所以，‎ 又平面的法向量 设二面角的平面角为，则由图易知为锐角，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20．今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科. 已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人. 按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．‎ ‎（I）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表. 并根据统计量判断能否有的把握认为选择物理还是历史与性别有关？‎ ‎（II）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有人，女生有人，求随机变量 的分布列和数学期望．（的计算公式见下），临界值表：‎ ‎【答案】（I）没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；（II）见解析 ‎【解析】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，根据题意列出列联表，求得的值，即可得到结论．‎ ‎（II）由（I）知在样本里选历史的有9人. 其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，进而求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式求解期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表：‎ 男生 女生 合计 选物理 ‎17‎ ‎3‎ ‎20‎ 选历史 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 合计 ‎27‎ ‎9‎ 得 而，‎ 所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关.‎ ‎（II）由（I）知在样本里选历史的有9人. 其中男生3人，女生6人．‎ 所以可能的取值有.‎ 且，；，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎0‎ 所以的期望.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎21．已知是右焦点为的椭圆：上一动点，若的最小值为，椭圆的离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）当轴且点在轴上方时，设直线与椭圆交于不同的两点，若平分，则直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析 ‎【解析】（I）由条件，列出方程组，求得，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线的斜率为，则直线的方程为，利用根与系数的关系，求得，且，利用斜率公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由条件知，解得：，所以椭圆的方程为；‎ ‎（II）轴且点在轴上方，所以，设 平分，，. ‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为 由得：‎ ‎；‎ 同理可得：，‎ 所以 直线的斜率（定值）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎22．已知函数，是的极值点，且曲线 在两点、（）处的切线、相互平行．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）设切线、在轴上的截距分别为、，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】（I）求得，求得，解得，进而求得曲线在点和处切线的斜率，根据这两条切线互相平行，即可求解．‎ ‎（II）由（I）得在点和处的切线方程，令，求得，得出，令，得，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意，函数，则，‎ 是的极值点，，‎ 即，，‎ 曲线在点处切线的斜率为 曲线在点处切线的斜率为，‎ 又这两条切线互相平行，则，所以.‎ ‎（II）由（I）知且，，，即 设在点处的切线方程为 在点处的切线方程为 令，则，‎ ‎ ‎ 令，‎ 在区间上递减，，即 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义的应用，以及导数在函数中的综合应用，，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，解答中通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎