数学理卷·2018届广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三上学期期中考试（2017

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三年级期中考试 理科数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．的值是（ ）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎2.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.下列四种说法正确的是（ ）‎ ‎①函数的定义域是，则“”是“函数为增函数”的充要条件；②命题“”的否定是“”；‎ ‎③命题“若x=2，则”的逆否命题是真命题；‎ ‎④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则为真命题．‎ A.①②③④ B. ②③ C.③④ D.③‎ ‎4、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为 (　　)．‎ A．0 B. C. D. ‎5．设函数f(x)=logax（a＞0且a≠1）的定义域为（，+∞），则在整个定义域上，f(x)＜2恒成立的充要条件充是（ ）‎ A．0＜a＜ B．0＜a ≤ C．a＞且a≠1 D．a≥且a≠1‎ ‎6．若等比数列的首项为，且，则公比等于(　　)‎ A．－3 B．2 C．3 D．－2‎ ‎7.在等比数列中，，则( )‎ A. 7 B. ‎5 C. -5 D. -7‎ ‎8．设f(n)=cos(+)，则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2006)=（ ）‎ ‎ A．- B．- C．0 D．‎ ‎9、下列命题中的真命题是 (　　)．‎ A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝ B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x ‎10.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（　 　）‎ A．（0，1] B . C．[1，2] D. ‎ ‎11.已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是( )‎ A.(－∞，－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1，＋∞) ‎ C.(－∞，－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1，＋∞)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13、已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.‎ ‎14. ．‎ ‎15．设平面上的动点P（1，y）的纵坐标y 等可能地取用ξ表示点P到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ= . ‎ ‎16.已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(cosA，sinA)，n=(1，0)，且向量m+n为单位向量，求： ‎ ‎ （Ⅰ）角A；‎ ‎ （Ⅱ）.‎ ‎18. （本小题满分12分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC． ‎ ‎（I）求a的值； ‎ ‎（Ⅱ）若A=，求△ABC周长的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎20. (本小题满分12分) ‎ 已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，证明：‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设函数，试确定的单调区间及最大最小值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有成立.‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的值；‎ ‎（3）若时，有不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案：‎ ‎1.A2.D3.D4.B5.B6.C7.D8.A9.B10.B11.A12.A ‎13、－1 14. 15． ；16、‎ ‎17.解：（Ⅰ）∵ m+n=(cosA+1，sinA) 为单位向量，‎ ‎ ∴ (cosA+1)2+sin‎2A=1 ，即2 cosA+1=0，‎ 得cosA=-，∴ A= . ……………………………… 4分 ‎（Ⅱ）∵ A=，∴ B+C= ，即B=-C，结合正弦定理得：‎ ‎==‎ ‎ ==‎ ‎ ==2.‎ ‎18.解：（I）∵3sinAcosB+bsin‎2A=3sinC，‎ ‎∴3sinAcosB+bsin‎2A=3sinAcosB+3cosAsinB，.…………3分 ‎∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；.…………5分 ‎（Ⅱ）由正弦定理可得，∴b=sinB，c=sinC………7分 ‎∴C△ABC=3+（sinB+sinC）=3+[sin（﹣C）+sinC]=3+sin（+C）…8分 ‎∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，.…………10分 ‎∴△ABC周长的最大值为3+．‎ ‎19. 解　(1)由已知，得b7＝2，b8＝2＝4b7，‎ 有2＝4×2＝2.‎ 解得d＝a8－a7＝2.‎ 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. （6分）‎ ‎(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2＝(2ln2)(x－a2)，‎ 它在x轴上的截距为a2－.‎ 由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.‎ 所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n.‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ ‎2Tn＝＋＋＋…＋.‎ 因此2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－ ‎＝2－－＝.‎ 所以Tn＝. ‎ ‎20. （1）时， ————————1分 时，，又，‎ 两式相减得 ‎，∴为是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 即. ……………………6分 ‎（2）‎ ‎，‎ ‎——————10分 ‎ 又，‎ 综上成立. ‎ ‎21.解：（Ⅰ）； ………… 3分 ‎ （Ⅱ）∵ ，‎ ‎ ∴ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ∵ a>0，∴ 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎ 函数的最小值为，函数无最大值； ……………… 7分 ‎ （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，，‎ ‎ ∴ ，即 ，亦即 ，……… 10分 ‎ 分别取 得 ‎ ，，，…，，‎ ‎ 将以上各式相乘，得： ‎ ‎22.（1）易知定义域为，，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数. ————————3分 ‎（2）∵，，，‎ ‎①若，则，从而在上是增函数，‎ ‎∴，不合题意.‎ ‎②若，则由，即，‎ 若，在上是增函数，由①知不合题意.‎ 由，即.‎ 从而在上是增函数，在为减函数，‎ ‎∴= - 3，‎ ‎∵，∴所求的. ————————8分 ‎（3）∵时，恒成立，‎ ‎∴，‎ 令，‎ ‎∴恒大于0，∴在为增函数，‎ ‎∴，∴ ‎