广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

广东省湛江一中2011-2012学年高二数学上学期期末考试 理 新人教A版

广东省湛江一中 2011-2012 学年高二上学期期末考试（数学理） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.命题“若 3a b  ，则 1 2a b 或 ”的逆否命题为（ ） A. 若 3a b  ，则 1 2a b 且 B. 若 1 2a b 或 ，则 3a b  C. 若 1 2a b 或 ，则 3a b  D. 若 1 2a b 且 ，则 3a b  2.抛物线 y =4 2x 的焦点坐标是（ ） A. （1,0） B. (0,1) C. (0, 16 1 ) D. ( )0,16 1 3.已知 )5,2,3(a ， )1,,1(  xb ， 2 ba ，则 x 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.“ 13  m ”是方程 112 22  m y m x 表示双曲线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 以下四个命题中正确的是 ( ) A．若 1 1 2 3OP OA OB    ,则 P 、 A 、 B 三点共线; B．若{ , , }a b c    为空间的一个基底，则{ , , }a b b c c a        构成空间的另一个基底; C．| ( ) | | | | | | |a b c a b c         ; D． ABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC   ． 6. 在棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD  中， M 和 N 分别为 11BA 和 1BB 的中点，那么直 线 AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） A． 10 10 B． 5 2 C． 5 3 D． 5 2 7.设双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的一条渐近线与抛物线 12  xy 有公共点，则双曲线 的离心率 e 的取值范围是（ ） A.  ,5 B.  ,5 C.       ,2 5 D.      ,4 5 8.若椭圆或双曲线上存在点 P ，使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2:1，则称此椭圆或双曲 线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ） A. 11516 22  yx B. 12425 22  yx C. 115 2 2  yx D. 122  yx 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9.抛物线 xy 82  上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是 . 10.已知向量 ),2 15,,3(),5,3,2(  ba 且 a ∥b ，则  = . 11.点 )1,4(P 平分双曲线 44 22  yx 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是 12.过椭圆 2 2 15 4 x y  的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点， 则△OAB 的面积为______________ 13. 已 知 a (3cos ,3sin ,1)  ， (2cos ,2sin ,1)b   ， 则 b a  的 取 值 范 围 是 . 14.给出下列命题：①椭圆 123 22  yx 的离心率 3 5e ，长轴长为 32 ；②抛物线 22yx  的 准 线 方 程 为 ;8 1x ③ 双 曲 线 12549 22  xy 的 渐 近 线 方 程 为 xy 7 5 ； ④ 方 程 0252 2  xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率. 其中所有正确命题的序号是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. ( 本 小 题 满 分 12 分 ） 在 平 行 六 面 体 1111 DCBAABCD  中 ， N 是 1AD 的 中 点 ， MBAM 2 . (1)化简： 12 1 2 1 AAADBN  ; (2) 设 aAB  ， bAD  ， cAA 1 ， 若 czbyaxMN  ,求 zyx  . 16. (本小题满分 12 分）如图，设圆 C ： 1)1( 22  yx ，过原点 O 作圆的任意弦 OM ， 求所作弦 OM 的中点 P 的轨迹方程. 17．（本小题满分 14 分） 如图，正方体 1111 DCBAABCD  的棱长为 a ， E 为 1DD 的中点. （1）求证： 1BD //平面 EAC ； （2）求点 1D 到平面 EAC 的距离． 18．(本小题满分 14 分）设椭圆方程 125 2 22  b yx （ 05  b ）， F 为椭圆右焦点， P 为椭 圆在短轴上的一个顶点， POF 的面积为 6,（O 为坐标原点）； （1）求椭圆方程； （2）在椭圆上是否存在一点Q ，使QF 的中垂线过点O ？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在， 说明理由. 19.（本题满分 14 分） 如图，PA  平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形， 1PA AB  ，PD 与平面 ABCD 所成角 是30 ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在矩形 ABCD 的边 BC 上移动． （1）证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 PE AF ； （2）当CE 等于何值时，二面角 P DE A  的大小为 45 ． 20．（本题满分 14 分）已知椭圆 128 22  yx 经过点 )1,2(M ，O 为坐标原点，平行于OM 的 直线l 在 y 轴上的截距为 m )0( m . （1）当 3m 时，判断直线l 与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）； （2）当 3m 时， P 为椭圆上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最小值； （3）如图，当l 交椭圆于 A 、B 两个不同点时，求证：直线 MA 、MB 与 x 轴始终围成一个 等腰三角形. 湛江一中 2011——2012 学年度第一学期期末考试 高二级（理科）数学科试卷（参考）答案 一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B B D A D 二、填空题 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。） 9． )24,4( 或 )24,4(  10. 2 9 11. 03  yx 12. 3 5 13.  5,1 14. ②④ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. (本小题满分 12 分） 解 ： 设 ),( yxP ， -------------------------------------------------------------------------------- 2 分 ∵ 点 P 是 弦 OM 的 中 点 ， ∴ )2,2( yxM ---------------------------------------------------4 分 ∵点 M 在圆 C： 1)1( 22  yx 上， ∴ 1)2()12( 22  yx ， ----------------------------------------------------------------------8 分 即 4 1)2 1( 22  yx ， ----------------------------------------------------------------------10 分 由圆的范围知， 10  x . 故 点 M 的 轨 迹 方 程 为 4 1)2 1( 22  yx （ 10  x ） . -------------------------------12 分 （此题其它解法可酌情给分） 17．(本小题满分 14 分） 解 法 一 ： （ 1 ） 证 明 ： 连 接 BD 交 AC 于 F ， 连 EF . -------------------------------------2 分 因为 F 为正方形 ABCD 对角线的交点， （2）解：设 1D 到平面 EAC 的距离为 d . 在 EAC 中， ACEF  ，且 aAC 2 ， aEF 2 3 ， 所 以 2 4 6 2 1 aACEFS EAC  ， ----------------------------------------------------9 分 于 是 dadSV EACEACD 2 12 6 3 1 1   . ----------------------------------------------------10 分 因为 3 12 1 2 1 2 1 3 1 3 1 11 aaaaSADV CEDCEDA   . --------------------------12 分 又 CEDAEACD VV 11   ， 即 32 12 1 12 6 ada  ， --------------------------------------------13 分 解得 ad 6 6 ， 故 点 1D 到 平 面 EAC 的 距 离 为 a6 6 . ----------------------------------------------------14 分 即        02 02 zaay zaax ，令 2z ，则 1 yx ∴ )2,1,1(n -----------------------------4 分 ∵ 0)2,1,1(),,(1  aaanBD ，∴ nBD 1 ， ------------------------6 分 又∵ 1BD  平面 EAC ，所以 1BD //平面 EAC . ----------------------------7 分 （ 2 ） )2,0,0(1 aED  ， ---------------------------------------------------------------9 分 )2,1,1(n 是平面 EAC 的一个法向量. ∴ 点 1D 到 平 面 EAC 的 距 离 a n EDn d 6 61    .--------------------------------------14 分 18. (本小题满分 14 分） 解：（1）设 )0,(cF ∵ P 为椭圆在短轴上的一个顶点，且 POF 的面积为 6, ∴ 62 1 bc . ----------------------------------------------------------- 1 分 又 ∵ 2522  cb ----------------------------------------------------------2 分 ∴      4 3 c b 或      3 4 c b ---------------------------------------------------------4 分 ∴椭圆方程为 1925 22  yx 或 11625 22  yx ---------------------------------------6 分 （2）假设存在点Q ，使QF 的中垂线过点O . 若椭圆方程为 11625 22  yx ，则 )0,3(F ，由题意， 3 OFOQ ∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，以 3 为半径的圆. 设 ),( yxQ ， 则 其 轨 迹 方 程 为 922  yx -------------------------------------------8 分 显然与椭圆 11625 22  yx 无交点. 即 假 设 不 成 立 ， 点 Q 不 存 在 . -----------------------------------------------9 分 若椭圆方程为 1925 22  yx ， 则 )0,4(F ， 4 OFOQ ∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，以 4 为半径的圆. 则 其 轨 迹 方 程 为 1622  yx -----------------------------------------1 1 分 则      1925 16 22 22 yx yx ， ∴ 4 75x ， 4 9y -------------------------------------------- 13 分 故满足题意的 Q 点坐标分别为 )4 9,4 75( ， )4 9,4 75(  ， )4 9,4 75(  ， )4 9,4 75( ----------------------------------------------------- ----- 14 分 （2）过 A 作 AG DE 于G ，连 PG ，又∵ PADE  ， 则 DE 平面 PAG , 则 PGA 是二面角 P DE A  的平面角， ∴ 45PGA -------------------------------------------------------------------------- 9 分 ∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ，∴ 30PDA ，-------------------------------- 10 分 ∴ 3AD  ， 1PA AB  . ∴ 1AG  ， 2DG  ， -------------------------- 11 分 设 BE x ，则GE x ， 3CE x  ， 在 Rt DCE 中，   2 2 22 3 1x x    ， 得 3 2BE x   .故 2CE  。 ------------------ 14 分 法二:（1）建立如图所示空间直角坐标系，则  0,0,1P ， ∵ PD 与平面 ABCD 所成角是 30 ，∴ 30PDA ， ∴ 3AD  ，  0,1,0B ， 1 10, ,2 2F      ，  3,0,0D . -------------------------------- 3 分 P A F B E D Cx y z 设 BE x ，则  ,1,0E x 0)2 1,2 1,0()1,1,(  xAFPE AF PE  . --------------------------------6 分 而 平 面 ADE 的 法 向 量 为 )1,0,0(AP ,---------------------------------------------- 9 分 ∵二面角 P DE A  的大小是 45 , 所以 45cos = |||| || 2 2 APm APm  ， ∴ 2 1 1 21 1 13 3 x        ， ------------------- 11 分 得 3 2BE x   或 23  xBE （舍）. ∴ 3 2BE   ， 故 2CE  。 --------------------------------- 14 分 20. 解：（1）当 3m 时，直线l 与椭圆相离. ……2 分 （2）可知直线l 的斜率为 2 1 设直线 a 与直线l 平行，且直线 a 与椭圆相切， 设直线 a 的方程为 bxy  2 1 --------------------------------- 3 分 联立         128 2 1 22 yx bxy ，得 0422 22  bbxx --------------------------------- 4 分 0)42(4)2( 22  bb ，解得 2b --------------------------------- 5 分 直线 a 的方程为 22 1  xy . 所求点 P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线 22 1  xy 的距离 5 52 )2 1(1 23 22   d . ------------------------------ 7 分 而 )2)(2( )2)(1()2)(1( 2 1 2 1 21 1221 2 2 1 1 21     xx xyxy x y x ykk ----------- 10 分 )2)(2( )2)(12 1()2)(12 1( 21 1221    xx xmxxmx )2)(2( )1(4))(2( 21 2121   xx mxxmxx ----------- 12 分 )2)(2( )1(4)2)(2(42 21 2   xx mmmm 0)2)(2( 444242 21 22   xx mmmm ∴ 1k + 02 k 直 线 MA 、 MB 与 x 轴 始 终 围 成 一 个 等 腰 三 角 形 ---------------------------------------14 分