数学A卷·2018届福建省莆田第六中学高二下学期第一次月考（2017-03）

数学A卷·2018届福建省莆田第六中学高二下学期第一次月考（2017-03）

莆田第六中2016—2017学年（下）高二 ‎3月份月考试卷(A)‎ 数学试卷(A) 命题人：高二数学备课组 ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．‎ ‎1．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( )‎ ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎2．设R，则“”是“直线与直线平行”的( )‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝（　　）‎ A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84‎ 开始 否 n＝3n+1‎ n为偶数 k＝k＋1‎ 结束 n＝5，k＝0‎ 是 输出k ‎ n =1?‎ 否 是 ‎4.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是 （ ）‎ A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法 B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法 C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法 D.（1）（2）都用分层抽样法 ‎5.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6 ．从四棱锥S—ABCD的八条棱中任取两条,其中抽到两条棱成异面直线的概率为 ( ) （　C　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．设，若函数有大于零的极值点，则 （ ）‎ 第9题图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如下图所示，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D. 16‎ ‎11．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为( )‎ 分数 ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ A. B. ‎ C. 3 D. ‎ ‎12．将号码分别为1,2，···，9的大小均匀的九个小球放入一个袋中，甲从中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从中再摸出一个球，其号码为，则使不等式 成立的事件发生的概率等于( ) A. B. C. D. ‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是______和______． ‎ ‎ 甲 乙 ‎8 ‎ ‎9 1 ‎ ‎2 5 ‎ ‎7 8 5 ‎ ‎ 6‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎4 5‎ ‎8 2 6‎ ‎3 5‎ ‎7‎ ‎14．已知= {(x,y)|x+ y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y>0,x-y2≥0},若向区域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率是________.‎ ‎15．设不含项的系数和是____________. ‎ ‎16．将正整数排成下表： 1 ‎ ‎2 3 4 ‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16‎ ‎…… ……‎ 其中第i行，第j列的那个数记为，则数表中的2017应记为 ． ‎ ‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2+4x–2y+m=0与直线x–y+–2=0相切．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2，求直线MN的方程．‎ ‎18．（本小题满分14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定 摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．‎ ‎（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本小题满分14分）已知函数，，其中．‎ 若是函数的极值点，求实数的值；‎ 若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎20.（本小题满分15分）2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示．‎ ‎（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；‎ ‎（2）本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；‎ ‎（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率．‎ ‎21．（本小题满分15分）已知函数，（）‎ ‎（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．‎ ‎2016-2017学年（下）高二数学3月月考试卷(A)答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B 9．A 10．B　11．B． 12. D 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．45 和46 14． 15．161 16． ‎ 三．解答题：本大题共5小题，共70分．‎ ‎17． （本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆C的标准方程为(x+2)2+(y–1)2=5–m， …………1分 圆C的半径r等于圆心C到直线x–y+–2=0的距离，‎ 即r==2，∴ 5–m=4， …………4分 ‎∴m=1，圆C的方程x2+y2+4x–2y+1=0． …………6分 ‎（Ⅱ）由题意，可设直线MN的方程为2x–y+a=0， …………7分 则圆心C到直线MN的距离d=， …………8分 由d2+()2=r2，即+()2=22，‎ 解得a=5±． …………11分 ‎∴直线MN的方程为2x–y+5+=0或2x–y+5–=0． …………12分 ‎18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件， ‎ 则 ，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为． ………6分 ‎（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为． ………………7分 ‎， ，‎ ‎， ， ‎ ‎． ………………11分 所以，随机变量的分布列为: ‎ ‎ ………11分 ‎． ………………14分 ‎19．（本小题满分14分） (Ⅰ)解法1：∵，其定义域为， ‎ ‎∴． ∵是函数的极值点，∴，即．∵，∴． 经检验当时，是函数的极值点，∴．　 ‎ 解法2：∵，其定义域为，‎ ‎∴． 令，即，整理，得．‎ ‎∵，‎ ‎∴的两个实根（舍去），，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎＋‎ 减函数 极小值 增函数 依题意，，即，∵，∴． ‎ ‎(Ⅱ)对任意的都有≥成立等价于对任意的都有 ‎≥． 当［1，］时，．‎ ‎∴函数在上是增函数．∴． ‎ ‎∵，且，．‎ ‎①当且［1，］时，，‎ ‎∴函数在［1，］上是增函数，‎ ‎∴.由≥，得≥，又，∴不合题意． ‎ ‎②当1≤≤时，‎ 若1≤＜，则，若＜≤，则．‎ ‎∴函数在上是减函数，在上是增函数．‎ ‎∴.‎ 由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤． ‎ ‎③当且［1，］时，，‎ ‎∴函数在上是减函数．‎ ‎∴.由≥，得≥，‎ 又，∴．‎ 综上所述，的取值范围为． ‎ ‎20. （本小题满分15分）解：（1）从左数第一组数据的频率为0.005×20=0.1，‎ 第二组数据的频率为0.015×20=0.3，‎ 第三组数据的频率为0.020×20═0.4，‎ ‎∴中位数在第三组，设中位数为150+x，则0.1+0.3+0.020×x=0.5⇒x=5，‎ ‎∴中位数为155，‎ 平均数为120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；‎ ‎（2）第一类每户的频率为0.1+0.3+0.4=0.8，∴第一类每户共有800户；‎ 第二类每户的频率为0.1+0.06+0.04=0.2，∴第二类每户共有200户，‎ ‎∴每户居民获得奖励的平均值为=17（元）；‎ ‎（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，则抽取比例为=，‎ ‎∴第一、二类分别应抽取4户，1户，‎ 从5户居民代表中任选两户居民共有10种选法；‎ 其中居民用电资费属于不同类型有4种选法，‎ ‎∴居民用电资费属于不同类型的概率为．‎ ‎21．（本小题满分15分）解：（Ⅰ），若存在极值点，则有两个不相等实数根．所以， 解得 ……………3分 ‎(Ⅱ) ……………4分 当时，，函数的单调递增区间为；……………5分 当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎……………7分 ‎（Ⅲ） 当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且．……………8分 不妨设．故，则．‎ ‎，该方程有解 ……………………………………9分 当时，则，代入方程得 即，而此方程无实数解； …………………………10分 当时，则； …………11分 当时，则，代入方程得 即， …………………………………12分 设，则在上恒成立．‎ 在上单调递增，从而，则值域为．‎ 当时，方程有解，即方程有解．…………13分 综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．………………………………14分