2020版高中数学 第二章 同步精选测试 数列的递推公式(选学)

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2020版高中数学 第二章 同步精选测试 数列的递推公式(选学)

同步精选测试 数列的递推公式(选学)‎ ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.已知数列{an}满足:a1=-,an=1-(n>1),则a4等于(  )‎ A.   B.   C.-   D. ‎【解析】 a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-.‎ ‎【答案】 C ‎2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(  )‎ A.an=an-1+2(n≥2)‎ B.an=2an-1(n≥2)‎ C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)‎ D.a1=2,an=2an-1(n≥2)‎ ‎【解析】 由条件可发现,n>2时,an-an-1=2,即an=an-1+2,又a1=2,所以C正确.‎ ‎【答案】 C ‎3.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(  )‎ A. B. C.4 D.0‎ ‎【解析】 ∵an=-32+,由二次函数性质得,当n=2或3时,an最大,最大为0.‎ ‎【答案】 D ‎4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an等于(  ) ‎ ‎【导学号:18082078】‎ A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n ‎【解析】 由题意可知:an+1=an+ln,∴an+1-an=ln(n+1)-ln n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=[ln n-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+(ln 2-ln 1)+2=2+ln n.‎ 5‎ ‎【答案】 A ‎5.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2 016=(  ) ‎ ‎【导学号:18082079】‎ A.3 B.-‎3 C.6 D.-6‎ ‎【解析】 由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,‎ a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,‎ a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,‎ a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,‎ ‎…‎ 故知{an}是周期为6的数列,‎ ‎∴a2 016=a6=-3.‎ ‎【答案】 B 二、填空题 ‎6.数列{an}中,若an+1-an-n=0,则a2 016-a2 015=_____________.‎ ‎【解析】 由已知得a2 016-a2 015-2 015=0,‎ ‎∴a2 016-a2 015=2 015.‎ ‎【答案】 2 015‎ ‎7.数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是________.‎ ‎【解析】 因为an=4an-1+3,所以a2=4×0+3=3,‎ a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.‎ ‎【答案】 255‎ ‎8.在数列{an}中,对任意n∈N+,有an+1=.若a1=1,则a10=________.‎ ‎【解析】 法一:由已知,得a2===,a3===,a4===,…,a10==.‎ 法二:由an+1=,得=+1,‎ 所以=+1,=+1,=+1,…,=+1,所以-=9.‎ 又因为a1=1,所以=10,‎ 5‎ 所以a10=.‎ ‎【答案】  三、解答题 ‎9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+),求通项an. ‎ ‎【导学号:18082080】‎ ‎【解】 将an+1=两边同时取倒数得:‎ =,‎ 则=+,即-=,‎ ‎∴-=,-=,…,-=,‎ 把以上这(n-1)个式子累加,‎ 得-=.‎ ‎∵a1=1,∴an=(n∈N+).‎ ‎10.已知数列{an}的通项公式an=(n+2)·,试求数列{an}的最大项. ‎ ‎【导学号:18082081】‎ ‎【解】 假设第n项an为最大项,则 即 解得即4≤n≤5,‎ 所以n=4或5,故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知数列{an}对任意的p,q∈N+满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(  )‎ A.-165 B.-33‎ C.-30 D.-21‎ ‎【解析】 由已知得a2=a1+a1=‎2a1=-6,∴a1=-3.‎ ‎∴a10=‎2a5=2(a2+a3)=‎2a2+2(a1+a2)‎ ‎=‎4a2+‎2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30.‎ ‎【答案】 C ‎2.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 014的值为(  )‎ 5‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意得,a1=,a2=,a3=,a4=,故数列{an}是以3为周期的周期数列,又2014=671×3+1,∴a2 014=a1=.‎ ‎【答案】 A ‎3.对于数列{an},若存在实数M,对任意的n∈N+,都有an>M,则称M为数列{an}的一个下界,数列{an}的最大下界称为下确界.已知数列{an}的通项公式为an=,按此定义,则数列{an}的下确界是________.‎ ‎【解析】 由题意,an==1+.∵>0,∴对任意n∈N+,都有an>1,易知1是数列{an}的最大下界,故数列{an}的下确界是1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎4.已知数列{an},满足a1=1,an=an-1+(n≥2),求数列的通项公式. ‎ ‎【导学号:18082082】‎ ‎【解】 法一:由an-an-1= ‎=-(n≥2),‎ 则an-1-an-2=-,‎ ‎…‎ a3-a2=-,‎ a2-a1=1-.‎ 将上式相加得an-a1=1-(n≥2),‎ 又a1=1,∴an=2-.a1=1也适合,‎ ‎∴an=2-(n∈N+).‎ 法二:由已知得an-an-1=-(n≥2),‎ 则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=-+-+-+…+1-+1=2-(n≥2).‎ 5‎ a1=1也适合,‎ ‎∴an=2-(n∈N+).‎ 5‎
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