数学文卷·2018届福建省莆田第六中学高三10月月考（2017

数学文卷·2018届福建省莆田第六中学高三10月月考（2017

莆田六中2017－2018学年高三上第一次月考（10月份）文科数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1． ( 　) A． B． C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】2． 【来源：全,品…中&高*考+网】若向量，，且与共线，则 (　　) ‎ A． B． C． D．或 ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3．甲、乙两名篮球运动员在场比赛中的得分情况如茎叶所示，甲、‎ 乙分别表示甲、乙两人的平均得分，则下列判断正确的是（ ）‎ A．甲＞乙 甲比乙得分稳定 B． 甲＞乙，乙比甲得分稳定 C．甲＜乙 ，甲比乙得分稳定 D．甲＜乙，乙比甲得分稳定 ‎[‎ ‎4．某厂在输出产品的过程中，采集并记录了产量（吨）‎ 与生产能耗（吨）的右表对应数据，根据右表数据，‎ 用最小二乘法得回归直线方程，则据此回归 模型，可预测当产量为吨时，生产能耗为 (　 ) ‎ A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 ‎5．若,则 (　 ) A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量与满足，且，则向量与的夹角为 (　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．若函数的图象关于直线对称，则 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为，则直线的倾斜角大于的概率为 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，如果，且满足，，‎ 则 (　 ) A． B． C． D．‎ ‎10．“上医医国”出自《国语 晋语八》，比喻高贤能治理好国家，把这四个字分别写在四张卡片上，‎ 某幼童把这四张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 (　 ) ‎ ‎ A． B． C． D． 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎11．设四边形为平行四边形，， 若点满足，‎ ‎,则（ ） A． B． C． D．‎ ‎12．在中，的角平分线交于，若，，则面积的 最大值为 (　　) A． B． C． D．‎ ‎【附加】：若函数，则关于的不等式 的解集是 (　 ) A． B． C． D． 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性 相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ；‎ ‎14．已知，且，则____ ___；‎ ‎15．采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，‎ ‎，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为，抽到的人中，编号落入 区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，编号落入区间 的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为___ ____；‎ ‎16． 设的内角所对边的长分别为，若，，，‎ 则角的大小是 ； ‎ ‎【附加】：若三点不共线，且，则 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分） 某单位名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在岁至岁之间，按年龄分组：第组，第组，第期，第组，第组，得到频数表如下表，及频率分布直方图如右图所示.‎ ‎（1）求正整数的值；‎ ‎（2）现要从年龄低于岁的员工用分层抽样的方法抽取人，则年龄在第组的员工人数 分别是多少？‎ ‎（3）为了估计该单位员工的阅读习惯，对这人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果 如下所示：（单位：人）[‎ 喜欢阅读国学类 不喜欢阅读国学类 总计 男 女 ‎ ‎ ‎ ‎ 总计 ‎ 根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为单位员工“是否喜欢阅读国学书籍和性别有关系”？‎ 附表： ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎18．（本小题满分12分）已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，且，‎ 若对任意满足条件的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）设函数 ()，已知函数的 图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若的内角所对的边分别为 (其中)，且，的 面积为，，求的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：‎ 第一阶梯，每户居民月用水量不超过吨，价格为元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量 超过吨，超过部分的价格为元/吨．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样 获得了户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，‎ 分成组，‎ 制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(图1) (图2)‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；‎ ‎（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；‎ ‎（Ⅲ）如图是该市居民张某年～月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回 归方程是. 若张某年～月份水费总支出为元，试估计张某月份的用水吨数.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（，），在和处取得极值，‎ 且，曲线在处的切线与直线垂直． ‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）证明：关于的方程至多只有两个实数根（其中是 的导函数，是自然对数的底数）．‎ 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线 的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲 已知函数，．（Ⅰ）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．‎ 莆田六中2017－2018学年高三上第一次月考（10月份）文科数学试卷答案 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1． ( B　) A． B． C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】2． 【来源：全,品…中&高*考+网】若向量，，且与共线，则 (　A　) ‎ A． B． C． D．或 ‎ 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎3．甲、乙两名篮球运动员在场比赛中的得分情况如茎叶所示，甲、‎ 乙分别表示甲、乙两人的平均得分，则下列判断正确的是（ B ）‎ A．甲＞乙 甲比乙得分稳定 B． 甲＞乙，乙比甲得分稳定 C．甲＜乙 ，甲比乙得分稳定 D．甲＜乙，乙比甲得分稳定 ‎[‎ ‎4．某厂在输出产品的过程中，采集并记录了产量（吨）‎ 与生产能耗（吨）的右表对应数据，根据右表数据，‎ 用最小二乘法得回归直线方程，则据此回归 模型，可预测当产量为吨时，生产能耗为 （ C ）‎ A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 ‎5．若,则 (　 C ) A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量与满足，且，则向量与的夹角为 (　C )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．若函数的图象关于直线对称，则(　C )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为，则直线的倾斜角大于的概率为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，如果，且满足，，‎ 则 (　B ) A． B． C． D．‎ ‎10．“上医医国”出自《国语 晋语八》，比喻高贤能治理好国家，把这四个字分别写在四张卡片上，某幼童把这四张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 (　D ) ‎ ‎ A． B． C． D． 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎11．设四边形为平行四边形，， 若点满足，‎ ‎,则（ C ） A． B． C． D．‎ ‎12．在中，的角平分线交于，若，，则面积的 最大值为 (　B　) A． B． C． D．‎ ‎【附加】：若函数，则关于的不等式 的解集是 (　D ) A． B． C． D． ‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性 相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ；‎ ‎14．已知，且，则_______；‎ ‎15．采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，‎ ‎，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为，抽到的人中，编号落入 区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，编号落入区间 的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为_______；‎ ‎16． 设的内角所对边的长分别为，若，，，‎ 则角的大小是 ； ‎ ‎【附加】：若三点不共线，且，则 ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分） 某单位名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在岁至岁之间，按年龄分组：第组，第组，第期，第组，第组，得到频数表如下表，及频率分布直方图如右图所示.‎ ‎（1）求正整数的值；‎ ‎（2）现要从年龄低于岁的员工用分层抽样的方法抽取人，则年龄在第组的员工人数 分别是多少？‎ ‎（3）为了估计该单位员工的阅读习惯，对这人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果 如下所示：（单位：人）[‎ 喜欢阅读国学类 不喜欢阅读国学类 总计 男 女 ‎ ‎ ‎ ‎ 总计 ‎ 根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为单位员工“是否喜欢阅读国学书籍和性别有关系”？‎ 附表： ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 解：（1）依题意得：总人数，，第组的频率是：，‎ ‎∴ …3分 ‎（2）∵年龄低于岁的员工在第组，共有（人），利用分层抽样在人 中抽取人，每组抽取的人数分别为：第组抽取的人数为（人），第组抽取的 人数为（人），第组抽取的人数为（人），∴第1，2，3组分别 应抽取人、人、人；……6分 ‎（3）提出假设：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得的观测值 ‎，…10分，查表得：，从而能在犯错误 的概率不超过的前提下，认为该单位的员工“是否喜欢看国学类书籍和性别有关系”…12分 ‎18．（本小题满分12分）已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，且，‎ 若对任意满足条件的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）∵，，∴---1分 ‎ ---2分 ---3分 ‎ 令，则，，---5分 ‎∴的单调递增区间为，；---6分 ‎（Ⅱ）∵，则由正弦定理得：---7分 ‎∴，又，∴，又，∴，‎ ‎∴，又，∴ ，---9分，∴，∴，‎ ‎∴，∴，--11分，又对任意满足条件的，‎ 不等式恒成立，∴实数的取值范围为．---12分，‎ ‎19．（本小题满分12分）设函数 ()，已知函数的 图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若的内角所对的边分别为 (其中)，且，的 面积为，，求的值．‎ 解：(1)∵‎ ‎；---3分，又∵函数的图象的相邻两对称轴间的距离为，∴函数的周期 为，---4分，∴，---5分，∴函数的解析式为；---6分 ‎(2)又∵，∴，又∵，∴，---7分，又∵，‎ ‎∴，∴，---8分，又，则由余弦定理，得：‎ ‎，∴（取正），---10分 又∵，，∴，．---12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：‎ 第一阶梯，每户居民月用水量不超过吨，价格为元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量 超过吨，超过部分的价格为元/吨．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样 获得了户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成组，‎ 制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(图1) (图2)‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；‎ ‎（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；‎ ‎（Ⅲ）如图是该市居民张某年～月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是. 若张某年～月份水费总支出为元，试估计张某月份的用水吨数.‎ 解：（Ⅰ）∵∴ …2分 第四组的频率为： …4分 ‎（Ⅱ）∵…6分，∴． ‎ 故可估计该市居民每月的用水量的中位数的值为；…8分 ‎（Ⅲ）∵，且∴∴张某月份的 用水费为……10分，设张某月份的用水吨数吨，∵，‎ ‎∴，.则张某月份的用水吨数吨.……12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（，），在和处取得极值，‎ 且，曲线在处的切线与直线垂直． ‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）证明：关于的方程至多只有两个实数根（其中是 的导函数，是自然对数的底数）．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，又∵在和处 取得极值，∴和是方程的两个根，则，，‎ 又，则，∴，……3分，又∵曲线 在处的切线与直线垂直，∴可得，∴，即，‎ ‎∴，又，∴，∴，∴，∴…5分 ‎（Ⅱ）又∵，‎ ‎（1）当时，得，故此方程无实数根； ……6分 ‎（2）当时，得，令，则，‎ ‎∴当时，；当或时，；当时，‎ ‎．∴的单调递减区间是和，单调递增区间是，函数 在和处分别取得极小值和极大值．…8分，∴，‎ ‎，又对于，由于恒成立，且是 与轴有两个交点、开口向上的抛物线，∴曲线与轴有且只有两个交点，从而 无最大值，．‎ ‎①若时，则，直线与曲线至多有两个交点；‎ ‎②若，则，直线与曲线只有一个交点；‎ 综上所述，无论取何实数，关于的方程至多只有两实数根．…12分 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．‎ 解：（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，∴，又，‎ ‎，∴，∴曲线的直角坐标方程为，……2分，又将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得曲线，再将所得曲线向右平移一个单位得到曲线：，∴曲线的直角坐标方程为. …5分，‎ ‎（Ⅱ）∵直线的极坐标方程，∴，∴直线的 直角坐标方程为，又点在直线上，∴直线的参数方程为：‎ ‎，‎ ‎（为参数），代入的直角坐标方程，得：，……8分，设 对应的参数分别为，，则，，，∴，，异号，‎ ‎∴．…………10分 ‎ ‎ ‎23．（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲 已知函数，．（Ⅰ）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．‎ 解：（I）当时，不等式为，∴‎ 或或，∴或或，∴，‎ ‎∴综上所述，关于的不等式的解集为. ……5分 ‎（II）∵，（当且仅当时，等号成立）‎ ‎∴，又当时，，∴，∴，‎ ‎∴或，∴或，∴或 ‎，∴ ，∴的取值范围为. …10分 ‎ ‎