重庆市巴蜀中学2019届高三上学期第六次月考（一模）数学（理）试卷（解析版）
2018届重庆市巴蜀中学高三上学期
第六次月考（一模）数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．若z=25i3+4i，则z的共轭复数z对应的点在
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．设集合M=x|x2-32x+12=0，N=x|3x>3，则M∩N=
A． 1,12 B． ∅ C． 1 D． 34
3．在双曲线C:x29-y216=1中，F1,F2分别为C的左、右焦点，P为双曲线C上一点且满足|PF1|+|PF2|=14，则|PF1|2+|PF2|2=
A． 108 B． 112 C． 116 D． 120
4．由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有个
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
5．已知正实数x，y满足ax<ay（0
0 B． x5y2<x4y3
C． |x-1|>|y-1| D． log(x2+1)e0>b，并求c的最小值（用a，b的代数式表示）．
22．在直角坐标系xOy中，直线l：x=3+tcosα,y=tsinα（t为参数，其中α为直线的倾斜角）与曲线C：x=2cosθ,y=sinθ（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）当α=π4时，求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若|MA|⋅|MB|=|OM|2-52，其中M(3,0)，求直线l的斜率．
23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|，若f(x)≤3的解集为C．
（1）求解集C；
（2）已知非零实数a，b，c满足1a2+14b2+1c2=2，求证：a2+4b2+9c2≥252
2018届重庆市巴蜀中学高三上学期
第六次月考（一模）数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．D
【解析】
由题意可得：z=25i3+4i=25i3-4i3+4i3-4i=53i+4=20+15i，
则z=20-15i，据此可得：z对应的点在第四象限.
本题选择D选项.
2．C
【解析】
求解一元二次方程可得：M=1,12，求解指数不等式可得：N=x|x>12，
结合交集的定义可得：M∩N=1.
本题选择C选项.
3．C
【解析】
由双曲线的定义可得：PF1-PF2=2a=6，
结合题意有：|PF1|+|PF2|=14，
两式平方相加可得：|PF1|2+|PF2|2=116 .
本题选择C选项.
4．B
【解析】
千位数字为3时满足题意的数字个数为：3!=6，
千位数字为2时，只有2013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3!-1=5，
综上可得：2018大的有6+5=11个.
本题选择B选项.
5．D
【解析】
利用排除法：
由指数函数的单调性可得：x>y>0，
由反比例函数的单调性可得：1x<1y,∴1x-1y<0，选项A错误；
x5y2-x4y3=x4y2x-y>0,∴x5y2>x4y3，选项B错误；
当x=12,y=13时，x-1<y-1，选项C错误；
本题选择D选项.
6．B
【解析】
结合流程图，若输出的数字为3，则经过循环结构之后的b=a+3=27，
由于27MOD5=2，
结合循环结构的特点可得：输入的数字除以5的余数为2，
结合选项可得：b有可能为12.
本题选择B选项.
7．C
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数边上坐标原点与可行域内点距离的平方，
据此可得，目标函数在点A-23,-43处取得最小值：49+169=209.
本题选择C选项.
点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
8．C
【解析】
由题意可得：sinα+116π=sinα-π6=13，
∵α∈0,π2,∴α-π6∈-π6,π3，据此可得：cosα+116π=1-sin2α+116π=223，
结合两角和差正余弦公式有：
sinα=sinα-π6+π6=sinα-π6cosπ6+cosα-π6sinπ6=3+226.
本题选择C选项.
9．B
【解析】
由题意结合正弦定理有：3a=b+c，结合余弦定理可得：
cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-b+c322bc=89b2+89c2-29bc2bc=89b2+89c22bc-19≥2×89b×89c2bc-19=79.
当且仅当b=c时等号成立.
综上可得：cosA的最小值是79.
本题选择B选项.
10．D
【解析】
由于可知，所有可能的放置方法为：
ABABA,ABABC,ABACA,ABACB,ABCAB,ABCAC,ABCBA,ABCBC,ACABA,ACABC,ACACA,ACACB,ACBAB,ACBAC,ACBCA,ACBCB,
共有16种可能的放置方法，其中满足题意的方法有6种，
由古典概型计算公式可得：小球仍在A点的概率为p=nN=616=38.
本题选择D选项.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
11．A
【解析】
结合函数的解析式有：f'x=2x+1x≥22x×1x=22，
当且仅当x=22时等号成立，据此可得：a2+2a-8a-2≥22恒成立，
即：a2+2a-8a-2-22≥0，整理可得：a-22a+2a-2≥0，
求解分式不等式可得a的取值范围为[-2,2)∪[22,+∞).
本题选择A选项.
12．A
【解析】
由焦点弦的性质有：1AF+1BF=2p=1，结合AF=2BF可得：AF=3,BF=32，
设A,B两点的坐标为：Ax1,y1,Bx2,y2，结合y'=12x有直线方程：
l1:y-y1=x12x-x1,l2:y-y2=x22x-x2，
联立直线方程可得交点坐标为Px1+x22,-1，
则AB⋅PF=x2-x1,y2-y1⋅-x1+x22,2=0,∴AB⊥PF，
结合焦点弦的性质可知：直线l1l2的斜率：x12×x22=-p24=-1，即l1⊥l2，
结合射影定理有：PF2=AF×BF=92，
据此可得：|PF|=322.
本题选择A选项.
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
13．17
【解析】
由题意可得：a+2b=a+2b2=a2+4a⋅b+4b2=1+4×0+4×22=17.
14．-80
【解析】
由题意结合二项式展开式的通项公式有：Tr+1=C5rx5-r-2xr=-2rC5rx5-2r，
满足题意时：5-2r=-1,∴r=3，其系数为：-23C53=-80.
15．3+2
【解析】
由题意结合三角函数的性质有：
fx=3sin2x+sinxcosx+3sinxcosx+3cos2x=3+2sin2x，
∵x∈-π2,π2,∴2x∈-π,π，
据此可得，当2x=π2,x=π4时，函数取得最大值：3+2.
16．-4034
【解析】
由递推关系可得：an+1-2=-nan-2，
则：an+1-2=-n×-n+1×⋯×-1×a1-2=-1n+1×n!，
即列的通项公式为：an+1=-1n+1×n!+2，
则：a2017-2016a2016=2016!-2-2016!+4032=-4034.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
17．(1)an=3n，Sn=3n(n+1)2．(2)bn=23(1-1n+1),1bn<1927.
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合数列的通项公式可得关于公差的方程，解方程有d=3，则数列的通项公式为an=3n，前n项和Sn=3n(n+1)2．
(2)结合(1)的结论有1Sn=23⋅1n(n+1)=23(1n-1n+1)，据此裂项求和可得bn=23(1-1n+1)，据此有1bn<23<1927．
试题解析：
（1）设a1=a，公差为d，则a(a+3d)=(a+d)2，解得d=a=3，
所以an=3n，Sn=3n(n+1)2．
（2）1Sn=23⋅1n(n+1)=23(1n-1n+1)，
从而bn=1S1+1S2+…+1Sn=23(1-12+12-13+…+1n-1n+1) =23(1-1n+1)，
故1bn<23<1927．
18．(1)证明见解析；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合面积公式有：12acsinB=acsinAsinC2sinB，则sin2B=sinAsinC，角化边可得ab=bc，故a，b，c成等比数列．
(2)由题意结合余弦定理和(1)的结论有：cosB=a2+c2-b22ac≥12，则sinB=1-cos2B≤32，由均值不等式的结论可得当ΔABC为等边三角形时等号成立．
试题解析：
（1）证明：SΔABC=12acsinB=acsinAsinC2sinB，即sin2B=sinAsinC，
由正弦定理可得ab=bc，故a，b，c成等比数列．
（2）解：依题意得cosB=a2+c2-b22ac=12(ca+ac-1)≥12，
又B为ΔABC的一个内角，从而sinB=1-cos2B≤32，
当且仅当ΔABC为等边三角形时等号成立．
19．(1)79144；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：
(1) 设A为巴黎总进球数，由题意可得PA≥2=PA=2+PA=3+PA=4=79144．
(2)由题意首先求得A,H的分布列，然后结合分布列计算数学期望可得E(A)=E(H)=53．
试题解析：
（1）设A为巴黎总进球数，则P(A≥2)=P(A=2)+P(A=3)+P(A=4)
=(512×14+13×13+14×512)+(13×14+14×13)+14×14=2372+16+116=79144．
（2）A和H的分布列如下：
A
0
1
2
3
4
P
25144
518
2372
16
116
H
0
1
2
3
4
P
19
13
1336
16
136
则E(A)=E(H)=53．
20．(1)证明见解析；(2)3.
【解析】
试题分析：
(1)设直线l的斜率为k（k≠0），联立直线方程与椭圆方程可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0．结合韦达定理可得线段AB中点C的坐标为(6k23k2+1,-2k3k2+1)．据此计算可得直线DF2的斜率为kDF2=-1k，则AB⊥DF2.
(2)考查t=(|AB||DF2|)2=(x1-x2)2+(y1-y2)21+1k2=k2(x1-x2)2=24k2(k2+1)(3k2+1)2．换元令u=3k2+1，则t=-163(1u-14)2-916．结合二次函数的性质可得k=±1时，t取最大值3，此时|AB||DF2|取最大值3．
试题解析：
（1）证明：设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k(x-2)，
联立方程组x26+y22=1,y=k(x-2),消去y可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=12k23k2+1,x1x2=12k2-63k2+1,于是有y1+y2=k(x1+x2)-4k=-4k3k2+1，
所以线段AB中点C的坐标为(6k23k2+1,-2k3k2+1)．
又直线OC的斜率kOC=-13k，因此直线OC的方程为y=-13kx，它与直线x=3的交点D(3,-1k)，故直线DF2的斜率为kDF2=-1k，于是kDF2⋅k=-1．
因此AB⊥DF2.
（2）解：记t=(|AB||DF2|)2=(x1-x2)2+(y1-y2)21+1k2=(x1-x2)+k2(x1-x2)21+1k2=k2(x1-x2)2
=k2(x1+x2)2-4x1x2 =k2(12k23k2+1)2-4(12k2-63k2+1)=24k2(k2+1)(3k2+1)2．
令u=3k2+1，则t=8⋅(u-1)(u+2)3u2=-163(1u2-12u-12)=-163(1u-14)2-916．
因为u=3k2+1>1，所以0<1u<1．
故当u=4时，即k=±1时，t取最大值3．
从而当k=±1时，|AB||DF2|取最大值3．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：
(1)函数f(x)的定义域为R，求导可得f'(x)=aex+c．据此分类讨论：
若a>0，c>0，f(x)在R上单调递增；
若a<0，c<0，f(x)在R上单调递减；
若a>0，c<0，fx在-∞,ln-ca上单调递减，在ln-ca,+∞上单调递增；
若a<0，c>0，fx在-∞,ln-ca上单调递增，在ln-ca,+∞上单调递减；
(2)函数f(x)在R上单调递增，则f'(x)=aex+2bx+c≥0对任意实数x均成立，
取实数x1>0，-x1<0，有a(ex1+e-x1)+2c≥0，据此讨论可得a>0>b．
证明问题c≥-2b(ln(-2ba)-1)来说明c的最小值为-2b(ln(-2ba)-1)：
构造函数g(x)=aex，h(x)=-2bx-c，可证明g(x)=aex≥-2bx+2bln(-2ba)-2b，则g(x)≥h(x)恒成立，据此可得c≥-2b(ln(-2ba)-1)成立．
试题解析：
（1）解：依题意得f(x)的定义域为R，当b=0时，f'(x)=aex+c．
若a>0，c>0，则f'(x)>c>0，从而f(x)在R上单调递增；
若a<0，c<0，则f'(x)<0，从而f(x)在R上单调递减；
若a>0，c<0，令f'(x)=0，得x=ln(-ca)，列表如下：
x
(-∞,ln(-ca))
ln(-ca)
(ln(-ca),+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
极小值
若a<0，c>0，令f'(x)=0得x=ln(-ca)，列表如下：
x
(-∞,ln(-ca))
ln(-ca)
(ln(-ca),+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
极大值
（2）证明：函数f(x)在R上单调递增，则f'(x)=aex+2bx+c≥0对任意实数x均成立，
取实数x1>0，-x1<0，则aex1+2bx1+c≥0,ae-x1-2bx1+c≥0,两式相加得：a(ex1+e-x1)+2c≥0，
令x1→+∞，则ex1+e-x1→+∞，从而a>0．
又由ae-x1-2bx1+c≥0，当x1→+∞时，ae-x1→0，若b>0，则ae-x1-2bx1+c≥0不恒成立，又b≠0，从而b<0，从而a>0>b．
下证c≥-2b(ln(-2ba)-1)．
记g(x)=aex，h(x)=-2bx-c，x2=ln(-2ba)，由于g'(x)=aex，
g(x)在点(x2,g(x2))处的切线方程为：y=-2b(x-x2)+g(x2)=-2bx+2bln(-2ba)-2b．
接下来，我们证明g(x)=aex≥-2bx+2bln(-2ba)-2b，
构造函数H(x)=aex+2bx-2bln(-2ba)+2b，H'(x)=aex+2b．
当x∈(-∞,x2)时，H'(x)<0，H(x)单调递减；
当x∈(x2,+∞)时，H'(x)>0，H(x)单调递增；
从而H(x)≥H(x)min=H(x2)=0，故g(x)=aex≥-2bx+2bln(-2ba)-2b成立．
考虑到直线y=-2bx+2bln(-2ba)-2b与直线y=h(x)斜率相等，即它们平行，
又由于g(x)≥h(x)恒成立，从而-2bx+2bln(-2ba)-2b≥h(x)恒成立，
即-c≤2b(ln(-2ba)-1)，即c≥-2b(ln(-2ba)-1)．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22．(1)直线l的普通方程为y=x-3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．(2)±22.
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合参数方程可得直线l的普通方程为y=x-3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．
(2) 联立直线的参数方程与椭圆方程可得(4sin2α+cos2α)t2+(23cosα)t-1=0，结合参数的几何意义可得sin2α=13，则直线的斜率k=±22．
试题解析：
（1）当α=π4时，直线l的普通方程为y=x-3，曲线C的普通方程为x24+y2=1．
（2）把x=3+tcosα,y=tsinα代入x24+y2=1，得(4sin2α+cos2α)t2+(23cosα)t-1=0，
|MA|⋅|MB|=|t1t2|=14sin2α+cos2α=|OM|2-52=12，得sin2α=13，
∴tan2α=12，∴斜率k=±22．
23．(1)0,3；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：
(1)由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集C=0,3；
(2)由题意结合柯西不等式有a2+4b2+9c2=12(a2+4b2+9c2)(1a2+14b2+1c2) ≥12(a⋅1a+2b⋅12b+3c⋅1c)2≥252，当且仅当a2=4b2=3c2=52时取等号．则题中的不等式得证.
试题解析：
（1）解：f(x)=|x-1|+|x-2|≤3，即x<1,-x+1-x+2≤3或1≤x≤2,x-1-x+2≤3或x>2,x-1+x-2≤3,
即0≤x<1或1≤x≤2或2
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