数学卷·2018届河北省保定市定兴三中高二上学期第一次月考数学试卷 （理科）（解析版）

数学卷·2018届河北省保定市定兴三中高二上学期第一次月考数学试卷 （理科）（解析版）

‎2016-2017学年河北省保定市定兴三中高二（上）第一次月考数学试卷 （理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）‎ ‎2．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎3．数列{an}满足an+1（1﹣an）=1，a8=2，则a1=（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎4．设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=，则=（　　）‎ A． B． C． D．30‎ ‎5．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（　　）‎ A． m B．200m C．100m D．数据不够，无法计算 ‎6．下列说法错误的是（　　）‎ A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v ‎7．以下四个命题中：‎ ‎（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1；‎ ‎（3）若统计数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2；‎ ‎（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0来说，k0越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．‎ 其中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．下列程序图的输出结果为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（　　）‎ A．85.2，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86‎ ‎10．如图所示程序框图中，输出S=（　　）‎ A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66‎ ‎11．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（　　）‎ A．1 B．‎ C． D．与M点的位置有关 ‎12．一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 ‎13．把38化为二进位制数为　　．‎ ‎14．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为　　．‎ ‎15．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回归直线方程是　　‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎16．已知一组数据按从小到大顺序排列，得到﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，求这组数据的方差为　　．‎ ‎17．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　　．‎ ‎18．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x﹣b），如果不等式f（x）＞‎ ‎0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎19．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．‎ ‎（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=2时的值．‎ ‎20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．‎ ‎（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；‎ ‎（2）是否有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系？‎ ‎21．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．‎ ‎（1）求证：AB∥平面CDE；‎ ‎（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．‎ ‎22．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2‎ ‎（1）求sin∠A的值；‎ ‎（2）求sin∠ADC的值．‎ ‎23．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方 ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省保定市定兴三中高二（上）第一次月考数学试卷 （理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（1，1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1）‎ ‎【考点】中点坐标公式．‎ ‎【分析】利用两点的中点坐标公式，直接求解即可．‎ ‎【解答】解：由中点坐标公式可得，点A（﹣1，2），B（3，0），‎ 那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．‎ ‎【解答】解：x2+y2=50，①；x2+y2﹣12x﹣6y+40=0②；‎ ‎②﹣①得：2x+y﹣15=0为公共弦所在直线的方程，‎ 原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．数列{an}满足an+1（1﹣an）=1，a8=2，则a1=（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由an+1=，a8=2，利用递推思想分别求得a7，a7，…，a2，即可求得a1=．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足an+1=，a8=2，‎ ‎∴2=，解得a7=，‎ a7=，‎ 解得a6=﹣1，‎ a6=，‎ 解得：a5=2，‎ a5=，解得a4=，‎ a4=，解得a3=﹣1，‎ a3=，解得a2=2，‎ a2=，解得a1=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=，则=（　　）‎ A． B． C． D．30‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】a5=S5﹣S4，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（　　）‎ A． m B．200m C．100m D．数据不够，无法计算 ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由题意可得AC⊥BD．设AC∩BD=O，可得△OCD为等腰直角三角形，求得OC=OD的值，△BCO中，由直角三角形中的边角关系求得 OB的值，同理求得OA的值，再利用勾股定理求得AB的值．‎ ‎【解答】解：如图所示，∵∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，∴AC⊥BD．‎ 设AC∩BD=O，则△AOD∽△BOC，∴OC=OD，△OCD为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ODC=∠OCS=45°．‎ 设OA=x，OB=y，则AD=2x，BC=2y，∴OD=x，OC=y．‎ ‎△COD中，由勾股定理可得3x2+3y2=40000，求得 x2+y2=，‎ 故AB==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．下列说法错误的是（　　）‎ A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线b B．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β C．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，‎ B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，‎ C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，‎ D．根据面面垂直的性质进行判断．‎ ‎【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，‎ B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，‎ C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，‎ D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．以下四个命题中：‎ ‎（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；‎ ‎（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1；‎ ‎（3）若统计数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2；‎ ‎（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0来说，k0越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．‎ 其中真命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）根据相关指数R2的值的性质进行判断，‎ ‎（2）根据线性相关性与r的关系进行判断，‎ ‎（3）根据方差关系进行判断，‎ ‎（4）根据分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0的关系进行判断．‎ ‎【解答】解：（1）用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；‎ ‎（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故（2）错误；‎ ‎（3）若统计数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为4，故（3）错误；‎ ‎（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k0来说，k0越大，判断“x与y有关系”的把握程度越大．错误；‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．下列程序图的输出结果为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分别判断各个选项的输出结果，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：选项A的程序框图输出的结果为S=2+3+4+5+6+7+8+9+10，‎ 选项B的程序框图输出的结果为S=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11，‎ 选项C的程序框图输出的结果为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9，‎ 选项D的程序框图输出的结果为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（　　）‎ A．85.2，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据茎叶图中的数据，求出平均数与众数即可．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图知，这组数据为79，84，84，86，93；‎ 所以这组数据的平均数为×（79+84+84+86+93）=85.2，‎ 众数为84．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示程序框图中，输出S=（　　）‎ A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；‎ 第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；‎ 第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；‎ ‎…‎ 直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，‎ S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（　　）‎ A．1 B．‎ C． D．与M点的位置有关 ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1， =1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接BC1，取=，‎ 则PN∥D1C1，，PN=1，‎ ‎∵D1C1⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴PN⊥平面BCC1B1，‎ 即PN是三棱锥P﹣BCM的高．‎ ‎∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图，得到几何体是加工一个球割去八分之一的部分，剩下的几何体；由此求体积即可．‎ ‎【解答】解：由题意，几何体是直径为2的球切去八分之一剩下的部分，‎ 所以其体积为；‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 ‎13．把38化为二进位制数为　100110（2）　．‎ ‎【考点】进位制．‎ ‎【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．‎ ‎【解答】解：38÷2=19…0‎ ‎19÷2=9…1‎ ‎9÷2=4…1‎ ‎4÷2=2…0‎ ‎2÷2=1…0‎ ‎1÷2=0…1‎ 故38（10）=100110（2）‎ 故答案为：100110（2）．‎ ‎　‎ ‎14．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为　13　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+4y的最大值．‎ ‎【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，‎ 三个顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（，）‎ 将三个代入得z的值分别为10，12，13‎ 直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；‎ 故答案为：13‎ ‎　‎ ‎15．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回归直线方程是　y=6.5x+17.5　‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】‎ 先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎【解答】解： =5， =50， =145， xiyi=1380‎ ‎∴b=÷=6.5‎ a=50﹣6.5×5=17.5‎ 故回归方程为y=6.5x+17.5．‎ 故答案为：y=6.5x+17.5．‎ ‎　‎ ‎16．已知一组数据按从小到大顺序排列，得到﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，求这组数据的方差为　　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】由题意知先做出x的值，根据﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，求出x是6，这组数据都是已知数据，可以代入平均数公式，做出平均数，代入方差公式，得到方差．‎ ‎【解答】解：由题意知先做出x的值，‎ ‎∵﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，‎ ‎∴=5，‎ ‎∴x=6，‎ ‎∴这组数据的平均数是=5‎ 这组数据的方差是（36+25+1+1+4+81）=，‎ 故这组数据的平均数和方差为．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎17．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　　．‎ ‎【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2‎ 的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ 的值，再计算tan2θ．‎ ‎【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，‎ 且点A与圆心O之间的距离为OA=，‎ 圆的半径为r=，‎ ‎∴sinθ=，‎ ‎∴cosθ=，tanθ=，‎ ‎∴tan2θ==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x﹣b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是　（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】根据题意和一元二次不等式是解法，求出对应方程的根，再求出a和b的值，代入不等式f（﹣x）＜0化简后，求出f（﹣x）＜0的解集．‎ ‎【解答】解：∵不等式f（x）=（ax﹣1）（x﹣b）＞0的解集是（﹣1，3），‎ ‎∴方程（ax﹣1）（x﹣b）=0的两个根是﹣1和3，且a＜0，‎ 则、b=3，即a=﹣1，‎ 代入f（﹣x）＜0得，（x﹣1）（﹣x﹣3）＜0，‎ ‎∴（x﹣1）（x+3）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，‎ ‎∴不等式f（﹣x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎19．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．‎ ‎（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=2时的值．‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎【分析】（1）用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数；‎ ‎（2）首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出函数的值．‎ ‎【解答】（1）解：1995=228×8+171，‎ ‎228=171×1+57，‎ ‎171=57×3‎ 因此57是1995与228的最大公约数．﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）解：f（x）=3x5+2x3﹣8x+5=（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5﹣﹣﹣ ‎ 当x=2时，‎ v0=3，‎ v1=3×2=6，‎ v2=6×2+2=14，‎ v3=14×2=28，‎ v4=28×2﹣8=48，‎ v5=48×2+5=101﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以，当x=2时，多项式的值是101．﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．‎ ‎（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；‎ ‎（2）是否有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系？‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件建立一个2×2的列联表；‎ ‎（2）利用独立检验公式求出k，判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）2×2的列联表 性别 休闲方式 看电视 运动 总计 女 ‎43‎ ‎27‎ ‎70‎ 男 ‎21‎ ‎33‎ ‎54‎ 总计 ‎64‎ ‎60‎ ‎124‎ ‎（2）假设“休闲方式与性别无关”‎ 计算K=≈6.201‎ 因为K≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，‎ 即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”‎ ‎　‎ ‎21．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．‎ ‎（1）求证：AB∥平面CDE；‎ ‎（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；‎ ‎（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE ‎【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，‎ 又AB⊄平面CDE，‎ CD⊂平面CDE，‎ 所以AB∥平面CDE．‎ ‎（2）因为AE⊥平面CDE，‎ 且CD⊂平面CDE，‎ 所以AE⊥CD，‎ 又正方形ABCD中，CD⊥AD 且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，‎ 所以CD⊥平面ADE，‎ 又CD⊂平面ABCD，‎ 所以平面ABCD⊥平面ADE．‎ ‎　‎ ‎22．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2‎ ‎（1）求sin∠A的值；‎ ‎（2）求sin∠ADC的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据二倍角公式求出cosA，从而求出sinA即可；（2）设CD=m，AC=n，由余弦定理求出m，n的关系，结合正弦定理求出∠ADC的正弦值即可．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，∵cos2A=2cos2A﹣1，‎ ‎∴由cos2A+5cosA=2得：cosA=或cosA=﹣3（舍），‎ ‎∴sinA=；‎ ‎（2）∵=，∴=，‎ ‎∵AD是△ABC中∠A的角平分线，‎ ‎∴=，‎ 设CD=m，AC=n，‎ 由余弦定理得：CB2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos60°，‎ 即得：n=m，‎ 由正弦定理得： =，‎ ‎∴sin∠ADC=．‎ ‎　‎ ‎23．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方 ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；‎ ‎（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），‎ ‎∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，‎ ‎∴d=r，即 =2，‎ 解得：a=0或a=﹣5（舍去），‎ 则圆C方程为x2+y2=4；‎ ‎（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，‎ 若x轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，即+=0，‎ 整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，‎ 解得：t=4，‎ 当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．‎ ‎　‎ ‎2017年1月18日