数学文卷·2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（五）（2017

数学文卷·2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（五）（2017

云南省师范大学附属中学2017届高三高考适应性月考（五）‎ 文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1-60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A．28 B．23 C．18 D．13 ‎ ‎4.已知满足，则目标函数的最小值是（ ）‎ A．4 B．6 C. 8 D．10‎ ‎5.下列说法正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 ‎ B．命题“，”的否定是“”‎ C.命题“若，则”的逆命题为真命题 D．命题“若，则或”为真命题 ‎6.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（ ）‎ A．248 B．258 C.268 D．278‎ ‎7.已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．的图象关于直线对称 ‎ B．的周期为 C.若，则 ‎ D．在区间上单调递减 ‎8.在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．8 B． C. D．4‎ ‎10.已知函数的两个极值点分别为，且 ‎，点表示的平面区域为，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.椭圆，为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.四面体的四个顶点都在球的球面上，，且平面平面，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.点是圆上的动点，点，为坐标原点，则面积的最小值是 ．‎ ‎15.已知数列满足，，，则该数列的前20项和为 ．‎ ‎16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）证明：为钝角三角形；‎ ‎（2）若的面积为，求的值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？‎ ‎（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率.‎ 附：.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，三棱锥中，平面，，，是 的中点，是的中点，点在上，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线，圆，圆心到抛物线准线的距离为3，点是抛物线在第一象限上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求面积的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求的图象与轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）设，若对恒有成立，求实数的取值范围.‎ 云南师大附中2017届高考适应性月考卷（五）‎ 文科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10[‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C B D B D A A C D B ‎【解析】‎ ‎1．当时，集合，满足题意；当时，，若，则，∴，所以，故选B．‎ ‎2．∵，其共轭复数为，对应点为在第三象限，故选C．‎ ‎3．抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，故选C．‎ 图1‎ ‎4．画出可行域如图1所示，当目标函数经过点A(1，3)时，z的值为6；当目标函数经过点B(2，2)时，z的值为8，故选B．‎ ‎5．选项A：，所以“”是其必要不充分条件；选项B：命题“”的否定是“”；选项C：命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当c=0时，不成立；选项D：其逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题为真，故选D．‎ ‎6．该程序框图是计算多项式当x=2时的值，故选B．‎ ‎7．作出函数在区间上的图象，由已知，函数在区间上的解析式为 且是偶函数，画出图象可知，故选D．‎ ‎8．以AB为直径作球，球在正方体内部的区域体积为，正方体的体积为8，所以，故选A．‎ ‎9．由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，所以剩余部分体积为，故选A．‎ ‎10．由，故的两根分别为，由二次方程根的分布得即画出该不等式组所表示的平面区域D，当函数的图象经过点(1，1)时，m=3，因此当时函数图象经过区域D，故选C.‎ ‎11．设，则，由椭圆定义，‎ ‎，又∵成等比数列，∴‎ ‎，∴，∴，整理得，即，故选D．‎ 图3‎ ‎12．如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心O点在线段DE上，因为PB=PC=AB=AC，则．又∵平面平面，平面平面=BC，∴平面ABC，∴，∴．因为E点是PA的中点，∴，且DE=EA=PE=4．设球O的半径为R，OE=x，则OD=4−x，在中，有，在中，有，解得，所以，故选B．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13[‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ ‎1033‎ ‎【解析】‎ ‎13．因为，所以函数f(x)为增函数，所以不等式等价于，即，故．‎ ‎14．因为，直线OQ的方程为y=x，圆心到直线OQ的距离为，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，所以面积的最小值为．‎ ‎15．当n为奇数时，，故奇数项是以为首项，公比为2的等比数列，所以前20项中的奇数项和为；当n为偶数时，，前20项中的偶数项和为，所以．‎ ‎16．因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图4，∴．设点（为参数），则，‎ ‎∴．‎ 图4‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：由正弦定理：，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又∵∴，即a+b=2c，a=2b，‎ 所以，所以，‎ 所以A为钝角，故为钝角三角形． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：因为∴．‎ 又∴∴．‎ 又，所以∴． ……………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由茎叶图可得：‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20~40岁 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 大于40岁 ‎10‎ ‎12‎ ‎22‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由列联表可得：．‎ 所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． ……………（6分）‎ ‎（Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，‎ 所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为a，b，‎ 年龄大于40岁的抽取了3人，记为A，B，C，‎ 从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，‎ 其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，所以概率为． ………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM//PA交AB于点M，‎ 取AC的中点N，连接MN，EN．‎ ‎∵点E为CD的中点，∴ ．‎ 又∴ ，∴ ，‎ 所以四边形MFEN为平行四边形，‎ ‎∴，∵平面ABC，平面ABC，‎ ‎∴平面ABC． ………………（6分）‎ 法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE//AC，GF//AB，‎ 因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，‎ 所以EF//平面ABC． ……………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：∵平面ABC，∴．‎ 又 ‎∴平面PAB．‎ 又∴，‎ ‎∴．‎ 记点P到平面BCD的距离为d，则∴，‎ ‎∴，‎ 所以，点P到平面BCD的距离为． ……………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题知，‎ 所以抛物线方程为：． …………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设切线方程为：，令y=0，解得，‎ 所以切线与x轴的交点为，‎ 圆心(2，0)到切线的距离为，‎ ‎∴，‎ 整理得：．‎ 设两条切线的斜率分别为，‎ 则，‎ ‎∴‎ 记，则．‎ ‎∵，∴在上单增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴面积的最小值为． …………………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵∴∴，‎ ‎∴，记∴，‎ 当x<0时， 单减；‎ 当x>0时，单增，‎ ‎∴，‎ 故恒成立，所以在上单调递增． …………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）∵，令∴，‎ 当时，∴在上单增，∴．‎ i）当即时，恒成立，即∴在上单增，‎ ‎∴，所以．‎ ii）当即时，∵在上单增，且，‎ 当时，，‎ ‎∴使，即．‎ 当时，，即单减；‎ 当时，，即单增．‎ ‎∴，‎ ‎∴，由∴．‎ 记，‎ ‎∴∴在上单调递增，‎ ‎∴∴．‎ 综上，． …………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）由题意知，曲线的参数方程为(为参数)，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为． ……………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）设点，的极坐标分别为，，‎ 则由可得的极坐标为．‎ 由可得的极坐标为．‎ ‎∵，∴，‎ 又到直线的距离为，‎ ‎∴． ……………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的图象与轴围成的三角形面积是． ……………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）∵，，‎ ‎∴当且仅当时，有最小值．‎ 又由（Ⅰ）可知，对，．‎ 恒有成立，‎ 等价于，，‎ 等价于，即，‎ ‎∴实数的取值范围是． ………………………………（10分）‎