2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练38 空间几何体的表面积与体积

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练38 空间几何体的表面积与体积

课时规范练38　空间几何体的表面积与体积 基础巩固组 ‎1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.12+4‎2‎ B.18+8‎2‎ C.28 D.20+8‎‎2‎ ‎2.(2017安徽黄山二模,理6)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如图所示,则原圆锥的体积为(　　)‎ A.1 B.‎2π‎3‎ C.‎4π‎3‎ D.‎‎8π‎3‎ ‎3.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为‎16π‎3‎,则此三棱柱的侧面积为(　　)‎ A.‎3‎ B.‎3‎‎2‎ ‎ C.8 D.6‎ ‎4.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎‎+‎‎2π‎3‎ B.‎‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎π‎3‎ C.‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎π‎6‎ D.1+‎‎2‎π‎6‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(　　)‎ A.2 B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎5‎‎3‎〚导学号21500743〛‎ ‎6.(2017宁夏银川二模,理9)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=‎6‎,∠ABC=90°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为(　　)‎ A.2π B.4π C.8π D.16π ‎7.‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.1 C.‎2‎ D.‎3‎〚导学号21500744〛‎ ‎8.‎ 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则四面体PBCE的体积为　　　　　. ‎ ‎9.(2017河北武邑中学一模,理13)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为　　　　　. ‎ ‎10.(2017天津河东区一模,理11)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为　　　　　. ‎ ‎11.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是　　　　　. ‎ ‎(第10题图)‎ ‎(第11题图)‎ ‎12.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎13.如图是某个几何体的三视图,其中主视图为正方形,左视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体外接球的直径为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ ‎ C.‎3‎ D.2‎‎3‎ ‎14.‎ 一个四面体的顶点都在球面上,它的主视图、左视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是(　　)‎ A.π B.3π C.4π D.6π〚导学号21500745〛‎ ‎15.已知正四棱锥O-ABCD的体积为‎3‎‎2‎‎2‎,底面边长为‎3‎,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为　　　　　. ‎ ‎16.(2017陕西咸阳二模,理16)已知一个三棱锥的所有棱长均为‎2‎,则该三棱锥的内切球的体积为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎17.(2017石家庄二中模拟,理15)半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是　　　　　. ‎ ‎18.(2017全国Ⅰ,理16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　　　. ‎ ‎〚导学号21500746〛‎ 参考答案 课时规范练38　空间几 何体的表面积与体积 ‎1.D　由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.‎ 则该几何体的表面积为S=2×‎1‎‎2‎×2×2+4×2×2+2‎2‎×4=20+8‎2‎,故选D.‎ ‎2.D　由三视图可得底面圆的半径为‎3+1‎=2,圆锥的高为‎5-1‎=2,‎ ‎∴原圆锥的体积为‎1‎‎3‎π×22×2=‎8π‎3‎,故选D.‎ ‎3.D　如图,根据球的表面积可得球的半径为r=‎4‎‎3‎,设三棱柱的底面边长为x,则‎4‎‎3‎‎2‎=x2+‎3‎‎3‎x‎2‎,解得x=1,故该三棱柱的侧面积为3×1×2=6.‎ ‎4.C　由三视图可知,上面是半径为‎2‎‎2‎的半球,体积V1=‎1‎‎2‎‎×‎‎4‎‎3‎π×‎2‎‎2‎‎3‎‎=‎‎2‎π‎6‎,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=‎1‎‎3‎×1×1=‎1‎‎3‎,所以该几何体的体积V=V1+V2=‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎π‎6‎.故选C.‎ ‎5.D　由已知中的三视图,可知该几何体是一个长方体,切去了一个边长为1,高也是1的正四棱锥(如图),‎ 长方体ABCD-A'B'C'D'切去正四棱锥S-ABCD.‎ 长方体的体积为V长方体=1×1×2=2,正四棱锥的体积为V正四棱锥=‎1‎‎3‎×1×1×1=‎1‎‎3‎,‎ 故该几何体的体积V=2-‎1‎‎3‎‎=‎‎5‎‎3‎.故选D.‎ ‎6.D　由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为‎1‎‎3‎S△ABC·DQ=3,‎ ‎∴DQ=3,‎ 如图,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,‎ OA2=AQ2+OQ2,即R2=(‎3‎)2+(3-R)2,∴R=2,‎ 则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D.‎ ‎7.‎ C　由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.‎ 设正方形BCC1B1的边长为x,‎ 在Rt△OMC1中,OM=x‎2‎,MC1=x‎2‎,OC1=R=1(R为球的半径),所以x‎2‎‎2‎‎+‎x‎2‎‎2‎=1,即x=‎2‎,则AB=AC=1.‎ 所以侧面ABB1A1的面积S=‎2‎×1=‎2‎.‎ ‎8.‎3‎‎3‎　显然PA⊥面BCE,底面BCE的面积为‎1‎‎2‎×1×2×sin 120°=‎3‎‎2‎,所以VP-BCE=‎1‎‎3‎×2×‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎3‎.‎ ‎9.‎3‎‎3‎π　由题意知圆锥的底面周长为2π,设圆锥的底面半径是r,则得到2πr=2π,解得r=1,‎ ‎∴圆锥的高为h=‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎.‎ ‎∴圆锥的体积为V=‎1‎‎3‎πr2h=‎3‎‎3‎π.‎ ‎10.‎5‎‎3‎　如图所示,该几何体为如下四棱锥P-ABCD,其中PA⊥底面ABCD,‎ 底面四边形由直角梯形ABED,Rt△DCE组成,AB∥DE,AB⊥BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.‎ ‎∴S底面ABCD=‎1+2‎‎2‎×1+‎1‎‎2‎×2×1=‎5‎‎2‎.V=‎1‎‎3‎‎×‎‎5‎‎2‎×2=‎5‎‎3‎.‎ ‎11.‎2‎‎6‎　易知该几何体是正四棱锥.连接BD,设正四棱锥P-ABCD,由PD=PB=1,BD=‎2‎,得PD⊥PB.设底面中心O,则四棱锥的高PO=‎2‎‎2‎,则其体积是V=‎1‎‎3‎Sh=‎1‎‎3‎×12×‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎‎6‎.‎ ‎12.‎9π‎2‎　如图,设球O的半径为R,则AH=‎2R‎3‎,OH=R‎3‎.‎ 又π·EH2=π,∴EH=1.‎ ‎∵在Rt△OEH中,R2=R‎3‎‎2‎+12,∴R2=‎9‎‎8‎.‎ ‎∴S球=4πR2=‎9π‎2‎.‎ ‎13.D　由题意可知三视图复原的几何体如图,四棱锥S-BCDE是正方体的一部分,正方体的棱长为2,所以几何体外接球为正方体外接球,该几何体外接球的直径为2‎3‎.‎ ‎14.B　由三视图可知,该四面体是正四面体.‎ ‎∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为‎3‎.‎ ‎∴此四面体的外接球的表面积为4π×‎3‎‎2‎‎2‎=3π,故选B.‎ ‎15.24π　如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=‎1‎‎3‎·S正方形ABCD·OO1=‎1‎‎3‎×(‎3‎)2×OO1=‎3‎‎2‎‎2‎,‎ ‎∴OO1=‎3‎‎2‎‎2‎,AO1=‎6‎‎2‎,‎ 在Rt△OO1A中,OA=OO‎1‎‎2‎+AO‎1‎‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎2‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎‎2‎=‎‎6‎,即R=‎6‎,‎ ‎∴S球=4πR2=24π.‎ ‎16.‎3‎‎54‎π　如图,O为正四面体ABCD的内切球的球心,正四面体的棱长为‎2‎,所以OE为内切球的半径,设OA=OB=R,‎ 在等边三角形BCD中,BE=‎3‎‎3‎‎×‎2‎=‎‎6‎‎3‎,AE=‎2-‎‎6‎‎9‎‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ 由OB2=OE2+BE2,即有R2=‎2‎‎3‎‎3‎‎-R‎2‎‎+‎‎2‎‎3‎,‎ 解得R=‎3‎‎2‎.OE=AE-R=‎3‎‎6‎,则其内切球的半径是‎3‎‎6‎,故内切球的体积为‎4‎‎3‎π×‎3‎‎6‎‎3‎‎=‎‎3‎‎54‎π.‎ ‎17.4π-3‎3‎　如图所示,设球心为O点,上下底面的中心分别为O1,O2,设正三棱柱的底面边长与高分别为x,h,则O2A=‎3‎‎3‎x,在Rt△OAO2中,h‎2‎‎4‎‎+‎‎1‎‎3‎x2=1,化为h2=4-‎4‎‎3‎x2,‎ ‎∵S侧=3xh,∴S侧‎2‎=9x2h2=12x2(3-x2)≤12x‎2‎‎+3-‎x‎2‎‎2‎‎2‎=27,当且仅当x=‎6‎‎2‎时取等号,S侧=3‎3‎,‎ ‎∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-3‎3‎,故答案为4π-3‎3‎.‎ ‎18.4‎15‎　如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=‎3‎‎6‎BC.‎ 设OG=x,则BC=2‎3‎x,DG=5-x,‎ 三棱锥的高h=DG‎2‎-OG‎2‎‎=‎25-10x+x‎2‎-‎x‎2‎=‎‎25-10x.‎ 因为S△ABC=‎1‎‎2‎×2‎3‎x×3x=3‎3‎x2,所以三棱锥的体积 V=‎1‎‎3‎S△ABC·h=‎3‎x2·‎25-10x‎=‎3‎·‎‎25x‎4‎-10‎x‎5‎.‎ 令f(x)=25x4-10x5,x∈‎0,‎‎5‎‎2‎,则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,‎ 则f(x)在(0,2)内是增加的,在‎2,‎‎5‎‎2‎内是减少的,‎ 所以f(x)max=f(2)=80.‎ 所以V≤‎3‎‎×‎‎80‎=4‎15‎,所以三棱锥体积的最大值为4‎15‎.‎