2018届高三数学一轮复习： 选修4-4 第1节 课时分层训练67

2018届高三数学一轮复习： 选修4-4 第1节 课时分层训练67

课时分层训练(六十七)　坐标系 ‎1．在极坐标系中，求点到直线ρsin＝1的距离．‎ ‎[解]　点化为直角坐标为(，1)，3分 直线ρsin＝1化为ρ＝1，‎ 得y－x＝1，‎ 即直线的方程为x－y＋2＝0，6分 故点(，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝1.10分 ‎2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝. ‎ ‎【导学号：01772438】‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，4分 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分 ‎(2)由得8分 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.10分 ‎3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1. ‎ ‎【导学号：01772439】‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎[解]　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，2分 OA＝ODcos或OA＝ODcos，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.4分 ‎(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分 ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，‎ 又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，‎ ‎∴直线l过圆C的圆心，8分 故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分 ‎4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．‎ 在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得 ‎|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，‎ 化简得ρ＝6cos .4分 ‎(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，‎ 由＝2，得＝，‎ ‎∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，8分 代入圆C的方程，得ρ＝6cos，‎ 即ρ＝9cos.10分 ‎5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，2分 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.4分 ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α).8分 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分 ‎6．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．‎ ‎[解]　(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.‎ ‎2分 ‎∵ρ0cos θ＝4，‎ ‎∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程. 4分 ‎(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，‎ 得x2＋y2＝3x，‎ 即2＋y2＝2. 8分 知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．‎ 直线l的直角坐标方程是x＝4.‎ 结合图形易得|RP|的最小值为1. 10分