数学理卷·2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上学期第二次联考（2018

数学理卷·2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上学期第二次联考（2018

‎2018届高三年毕业班第二次联合考试试卷（数学理科）‎ ‎ 永春一中 培元中学 ‎ ‎ 季延中学 石光中学 ‎ 组卷学校：永春一中 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.若集合，集合，全集为，则等于 A． B． C． D． ‎ ‎2.已知是的共轭复数，若（其中为虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎3.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 A. B． C. D. ‎ ‎4.在等差数列中，若，则 A. B. C. D.‎ ‎5.四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则侧面中直角三角形的个数为 A. B. C. D.‎ ‎6.学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜盘才最后获胜，小杰必须再胜盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜盘并最后获胜的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎7.函数的定义域是，且满足，当时，，则图象大致是 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.某同学想求斐波那契数列，，，，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是 A．； B．； C．； D．；‎ ‎9.已知曲线：，曲线：，则下面结论正确的是 A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移得到 B．把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移得到 C．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移得到 D．把上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移得到 ‎10. 展开式中项的系数为 A． B． C． D． ‎ ‎11.已知抛物线，点，在该抛物线上且位于轴的两侧， (其中为坐标原点)，若的面积记为,的面积记为,则的最小值是 A． B． C. D. ‎ ‎12.已知，，若，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。‎ ‎13.已知向量与的夹角为，，，则 ．‎ ‎14.某商场在今年情人节的促销活动中，对2月14日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示,后面三组成等差数列，已知9时至10时的销售额为2万元，则12时至13时的销售额为 万元．‎ ‎15.实数， 满足，则的取值范围是 ． ‎ ‎16.四边形中，是边长为6的正三角形，为等腰直角三角形，,沿将翻折成三棱锥，，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积是为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 请在答题卡各自题目的答题区域内作答。‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知数列的前项和，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在中，内角对边的边长分别是，已知． ‎ ‎（Ⅰ）求； ‎ ‎（Ⅱ）若，过作在,在线段上，且,.求 的面积的最大值． ‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ，，。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面面；‎ ‎（Ⅱ）若,若二面角余弦值为，求直线与面所成角的正切值．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 某工厂改造一废弃的流水线，为评估流水线的性能，连续两天从流水线生产零件上随机各抽取件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为 第一天，‎ 直径/ ‎ ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 第二天 直径/ ‎ ‎58‎ ‎60‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎21‎ ‎34‎ ‎21‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，第一天样本的平均值，标准差；第二天样本的平均值，标准差 ‎（Ⅰ）现以两天抽取的零件来评判流水线的性能. ‎ ‎(i) 计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差（精确到0.01）；‎ ‎(ii)现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率），‎ ‎①；②；③‎ ‎ ‎ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线的性能等级.‎ ‎（Ⅱ）将直径在范围内的零件认定为一等品，在范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从件样本除一等品外的零件中抽取个，设为抽到次品的件数，求的分布列及其期望．‎ 附注：参考数据：,,；‎ 参考公式：标准差.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知椭圆的长轴长为，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点，直线过点且垂直于，交轴于点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断以为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 已知函数，其中为自然对数的底数，．‎ ‎（Ⅰ）若，判断函数的单调性，并说明理由；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）当，时，若函数有两个零点，，‎ (i) 求实数的取值范围；‎ (ii) 求证：．‎ ‎‎ 永春一中 培元中学 季延中学 石光中学 ‎ 2018届高三年毕业班第二次联合考试数学（理）科试卷 参考答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.D 11.C 12.D 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. ，或 16.‎ 三、解答题：（17题10分，18-22题各12分，共70分）‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；…………1分 ‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.…………3分 ‎ a1也满足an＝n，…………4分 ‎ 故数列{an}的通项公式为an＝n.…………5分 ‎ ‎(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.‎ 记数列{bn}的前2n项和为T2n，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．…………6分 ‎ 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，‎ 则A＝＝22n＋1－2，…………8分 ‎ B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.…………9分 ‎ 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.…………10分 ‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 解：（1）‎ 由正弦定理可得…………2分 化简得，…………4分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎…………6分 ‎（2）设，则…………7分 ‎,…………8分 ‎…………9分 又…………11分 当且仅当时取等号. …………12分 ‎19. （本题满分12分）‎ 解析：（1），为直角梯形，，‎ ‎.…………………………………………………………………………………………………1分 即. ………………………………………………………………………………2分 又和为面的两条交线,…………………………………………………………………………3分 面. ……………………………………………………………………………………………4分 又, ……………………………………………………………………………………………5分 ‎. ……………………………………………………………………………………6分 ‎（2）设，易得为等腰直角三角形.‎ 取中点,中点，连接,,以，，分别为，，轴.‎ 则,,,. …………………………………………………7分 设，‎ 易得面的法向量. …………………8分 设面的法向量，‎ 又，,‎ 由，得 令则 . …………………………………………………………………10分 因为二面角余弦值为，，解得, ………………………………11分 则直线与面所成角的正切值为. ………………………………………………………12分 ‎20. （本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）（i）依题意： 200个零件 的直径平均值为. 1分 由标准差公式得：‎ 第一天：，‎ 第二天:，‎ 则 故……………………………………………………………………4分 ‎（注如果写出不给分）‎ ‎(ii)由（1）可知：，‎ ‎，‎ 仅满足一个不等式，判断流水线M的等级为合格. ………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）可知200件零件中合格品7个，次品4个，‎ 的可能取值为0,1,2，则 ‎, ‎ ‎,‎ ‎， …………………………………………………………………10分 的分布列 ‎ ‎ 则.……………………………………………………………………12分 ‎21. （本题满分12分）‎ 解：(1)∵2a＝4，＝，‎ ‎∴a＝2，c＝1，b＝.…………3分 ‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.…………4分 ‎ (2) 设点P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，‎ 直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入＋＝1，‎ 整理，得 (3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.…………5分 ‎ ‎∵x＝x0是方程的两个相等实根，‎ ‎∴2x0＝－，…………6分 ‎ 解得k＝－.…………7分 ‎ ‎∴直线l的方程为y－y0＝－(x－x0)．…………8分 ‎ 令x＝0，得点A的坐标为．‎ 又∵＋＝1，‎ ‎∴4y＋3x0＝12. ‎ ‎∴点A的坐标为(0，)．…………9分 ‎ 又直线l′的方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 令x＝0，得点B的坐标为(0，－)．…………10分 ‎ ‎∴以AB为直径的圆的方程为x·x＋(y－)·(y＋)＝0.‎ 整理得x2＋y2＋(－)y－1＝0.‎ 令y＝0，得x＝±1，‎ ‎∴以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．…………12分 ‎22. （本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）.………………………………………………1分 (i) 当时，由可得；由可得；‎ ‎……………………………2分 (i) 当时，由可得，.‎ ① 若即，则对于恒成立；…………………………………………………3分 ② 若即，则 由可得，或；由可得；……4分 ③ 若即，则 由可得，或；由可得. ‎ 综上：当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎ 当时，函数在上单调递增；‎ ‎ 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎ 当时，在上单调递减；在上单调递增.………………………5分 ‎（Ⅱ）解：当，时，.‎ ‎ 记，则.‎ (i) ‎ 函数有两个零点，，即方程有两个根.‎ ‎ 也就是直线与曲线有两个不同的交点. …………………………………………6分 ‎ 记，则，‎ ‎ 所以函数在在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎ 又，，当时，且. …………………………………7分 ‎ 所以，‎ ‎ 因此. …………………………………………………………………………………………8分 (ii) ‎ 证明： ……9分 ‎ 由（i）可知，，‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 构造函数，.…………………………………………10分 ‎ ‎ ‎ 所以函数在上单调递增.‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 因为，‎ ‎ 所以 ………………………11分 又因为函数在上单调递增，‎ 所以 …………………………………………………………………12分 ‎ 命题得证.‎