2019届二轮复习双曲线及其标准方程课件（32张）

2019届二轮复习双曲线及其标准方程课件（32张）

双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟 生活中的双曲线 法拉利主题公园 巴西利亚大教堂 麦克唐奈天文馆 探究点 1 双曲线的定义 问题 1 ： 椭圆的定义？ 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距 离之和等于常数（大于｜ F 1 F 2 ｜）的点的轨迹叫做椭圆 . 问题 2 ： 如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之差等于非零常数的点的轨迹 ”是什么？ ① 如图 (A) ， |MF 1 |-|MF 2 |=|F 2 F| ② 如图 (B) ， |MF 2 |-|MF 1 |=2 a ， 由①②可得： ||MF 1 |-|MF 2 ||=2 a （非零常数） . 上面两条曲线合起来叫做 双曲线 , 每一条叫做双曲线 的一支 . 看图分析动点 M 满足的条件： =2a. 即 |MF 1 |-|MF 2 |=-2 a. 图 图 ① 两个定点 F 1 ， F 2 —— 双曲线的焦点 ; ②|F 1 F 2 |=2c—— 双曲线的焦距 . o F 2 F 1 M 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的 差 的 绝对值 等于常数 （小于 ︱F 1 F 2 ︱) 的点的轨迹叫做双曲线 . 双曲线定义 ||MF 1 |-|MF 2 ||=2a ( 0<2a<2c) 注意 1. 定义中为什么要强调差的绝对值？ 【 举一反三 】 若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支 . 2. 定义中的常数 2a 可否为 0 ， 2a=2c,2a>2c ？ 不能 . 若为 0 ，曲线就是 F 1 F 2 的垂直平分线了； 若为 2a=2c, 曲线应为以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线； 若为 2a>2c, 这样的曲线不存在 . 明确了双曲线的定义，你能根据定义求出其方程吗？ 探究点 2 双曲线的标准方程 1. 建系 . 如图建立直角坐标系 xOy ，使 x 轴经过两焦点 F 1 ， F 2 ， y 轴为线段 F 1 F 2 的垂直平分线 . F 2 F 1 M x O y 设 M(x, y) 为双曲线上任意一点 , 双曲线的焦距为 2c(c>0), 则 F 1 (-c,0),F 2 (c,0) ，又设点 M 与 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a. 2. 设点 . 3. 列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M || |MF 1 | - | MF 2 | | = 2a }, 4. 化简 代数式化简得： 由双曲线的定义知， 2c>2a>0, 即 c>a, 故 c 2 -a 2 >0, 令 c 2 -a 2 =b 2 , 其中 b>0, 代入上式，得： 上面方程是双曲线的方程 , 我们把它叫做双曲线的标准方程 . 它表示焦点在 x 轴上，焦点分别是 F 1 (-c,0),F 2 (c,0) 的双曲线，这里 c 2 =a 2 +b 2 . 想一想： 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？ 【 归纳总结 】 1. 对双曲线定义的三点说明 (1)a ， c 关系： 0<2a<2c ，可用双曲线焦点三角形 PF 1 F 2 的两边之差小于第三边来记忆，若点 P 刚好是双曲线与 F 1 ， F 2 所在直线的交点，此时构不成三角形，仍然很容易得到 2a<2c. (2) 关键词：“平面内”“距离差的绝对值”“常数 2a(a>0) 小于 |F 1 F 2 |”. (3) 左右支：当 M 满足 |MF 1 |-|MF 2 |=2a<|F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹是离点 F 2 较近的双曲线一支；当 M 满足 |MF 2 |-|MF 1 |=2a<|F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹是离点 F 1 较近的双曲线一支 . 2. 对双曲线标准方程的四点说明 (1) 双曲线的焦点在 x 轴上⇔标准方程中的 x 2 项的系数为正；双曲线的焦点在 y 轴上⇔标准方程中的 y 2 项的系数为正 . (2) 求双曲线的标准方程，首先要确定焦点的位置，选择好标准方程的形式，再根据条件求出 a 2 和 b 2 的值即可，也就是先定位再定型 . (3) 注意标准方程中字母参数 a ， b 与半焦距 c 的条件及关系： c 2 =a 2 +b 2 ， c>a>0 ， c>b>0 ， a 与 b 的大小不定 . (4) 当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准方程 . 定 义 方 程 焦 点 a,b,c 的关系 F （ ±c ， 0 ） F （ ±c ， 0 ） a>0 ， b>0 ，但 a 不一定大于 b ， c 2 =a 2 +b 2 a>b>0 ， a 2 =b 2 +c 2 ||MF 1 | － |MF 2 ||=2a,0<2a<|F 1 F 2 | |MF 1 |+|MF 2 |=2a ， 2a>|F 1 F 2 | 椭 圆 双曲线 F （ 0 ， ±c ） F （ 0 ， ±c ） 【 总结提升 】 例 1 题型一　利用双曲线的定义求轨迹问题 动圆 M 与圆 C 1 ： ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 外切，且与圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 【 名师点评 】 　利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点 ( 即双曲线的两个焦点 ) ；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差 ( 或差的绝对值 ) 是否为常数，这样确定 c 和 a 的值，再由 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 求 b 2 ，进而求双曲线的方程． 课本例 2 使 A 、 B 两点在 x 轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合 解 : 由声速及在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s , 可知 A 地与爆炸点的距离比 B 地与爆炸点的距离远 680 m . 因为 |AB|>680 m , 所以爆炸点的轨迹是以 A 、 B 为焦点的双曲线在靠近 B 处的一支上 . 例 3 .( 课本第 54 页例 ) 已知 A,B 两地相距 800 m , 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s , 且声速为 340 m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹方程 . 如图所示，建立直角坐标系 x O y , 设爆炸点 P 的坐标为 ( x , y ) ，则 即 2a=680 ， a=340 x y o P B A 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 答 : 再增设一个观测点 C ，利用 B 、 C （或 A 、 C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲线的一个重要应用 . 例 2 : 如果方程 表示双曲线，求 m 的取值范围 . 解 : 方程 可以表示哪些曲线？ _____________. 思考： 例 2 【 名师点评 】 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件 || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a (0<2 a <| F 1 F 2 |) 的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用． 跟踪训练 方法感悟 1 ．对双曲线定义的理解 双曲线定义中 || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 2 a (2 a <| F 1 F 2 |) ，不要漏了绝对值符号，当 2 a ＝ | F 1 F 2 | 时表示两条射线． 解题时，也要注意 “ 绝对值 ” 这一个条件，若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支． 2 ．双曲线方程的求法 求双曲线的标准方程包括 “ 定位 ” 和 “ 定量 ” ． “ 定位 ” 是指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使方程的右边为 1 时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负， “ 定量 ” 是指确定 a 2 ， b 2 的值，即根据条件列出关于 a 2 和 b 2 的方程组，解得 a 2 和 b 2 的具体数值后，再按位置特征写出标准方程． 双 曲 线 定 义 及 标 准 方 程 双曲线与椭圆之间的区别与联系 双曲线标准方程 双曲线定义 定位 定量