2017-2018学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二上学期开学考试数学（文）试题（解析版）
广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017-2018学年高二上学期开学考试数学（文）试题
评卷人
得分
一、选择题
1．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设集合， ，
所以若“”推不出“”；
若“”，则“”，
所以“”是“”的必要而不充分条件，
故B．
2．设两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，则l1∥l2是m＜﹣4的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，解得.
时，两条直线重合，舍去。
∴
∴是的充分不必要条件。
故选：A.
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A. 83% B. 72% C. 67% D. 66%
【答案】A
【解析】试题分析：由题意可知，当居民人均消费水平为千元时，则，解答，即职工人均工资水平为千元，所以人均消费额占人均工资收入的百分比为，故选A.
【考点】回归直线方程.
4．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A. ∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 B. ∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
C. ∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 D. ∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
【答案】A
【解析】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”
的否定是： .
故选：A.
5．函数f（x）=2sin（3x+φ）的图象向右平移动个单位，得到的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得 关于轴对称，所以因此时， 取最小值，选B.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
6．函数y=x2﹣2lnx的单调增区间为（ ）
A. （﹣∞，﹣1）∪（0，1） B. （1，+∞）
C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （0，1）
【答案】B
【解析】函数的定义域为(0,+∞)，
求函数的导数,得,y′=2x−,令y′>0,解得x<−1(舍)或x>1，
∴函数的单调增区间为(1,+∞)
故选：B.
7．设抛物线C：y2=4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】试题分析：抛物线的准线方程为，设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知： （为点到抛物线的准线的距离），而，所以，故选B．
【考点】抛物线的定义．
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1
所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连结，设，连结，
则⊥平面， ，
∴OM⊥平面，
∴∠MCO为MC与平面所成的角，
设正方体棱长为1，则MC==，OM=B1D=，
∴sin∠MCO=．
故选C．
9．函数f（x）=，若f（a）=0，则a的所有可能值组成的集合为（ ）
A. {0} B. {0， } C. {0， } D. {， }
【答案】C
【解析】∵f(x)= ,f(a)=0，
∴当−1
0)的，
，
即有
故选A.
14．曲线y=xlnx+1在点（1，1）处的切线方程是__．
【答案】y=x
【解析】的导数为，
曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=1，
可得曲线在点(1,1)处的切线方程为，
即为.
故答案为：
15．若函数f（x）=lnx﹣x﹣mx在区间[1，e2]内有唯一的零点，则实数m的取值范围是__．
【答案】[﹣1， ﹣1）∪{﹣1}
【解析】函数在区间[1, ]内有唯一的零点，
得又x>0,所以，
要使方程在区间[1, ]上有唯一实数解，
只需有唯一实数解，
令g(x)= ,(x>0),∴，
由,得; 得，
∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e, ]上是减函数。
，
故或
故答案为：[−1, )∪{}.
点睛：方程的解问题就是函数零点的问题，可参变分离，转化为求函数的图像交点问题，也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
16．下列4个命题：
①“若a、G、b成等比数列，则G2=ab”的逆命题；
②“如果x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“若A＞B”则“sinA＞sinB”的逆否命题；
④当0≤α≤π时，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对∀x∈R恒成立，则α的取值范围是0≤α≤．
其中真命题的序号是________．
【答案】②③
【解析】 “若a、G、b成等比数列，则G2=ab”的逆命题为“若G2=ab，则a、G、b成等比数列”当时G2=ab，但a、G、b不成等比数列，故①错；
②“如果，则x＞2”的否命题与逆命题真假相同，“如果，则x＞2”的逆命题为“如果x＞2，则”，是真命题，故②对
③“若”则“”的逆否命题的真假与原命题的真假相同， 则,由正弦定理得，故③对
④当时，若x2对恒成立，即有，即有≤0，即为，可得解得，故④错．
点睛：本题考查命题的真假判断，主要考查等比数列中项的定义和性质，四种命题的判断和二次不等式恒成立问题的解法
评卷人
得分
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=≤a，求2a﹣b的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析: （1）利用正弦定理以及余弦定理，转化求解即可．（2）利用正弦定理化简2a-b的表达式，通过两角和与差的三角函数化简，结合角的范围求解最值即可．
试题解析：（1）由已知和正弦定理得：（a﹣c）（a+c）=b（a﹣b）
故，故，
得，所以．
（2）因为，
由正弦定理，
得a=2sinA，b=2sinB，
cosA=
因为c≤a，所以，
所以
点睛：正余弦定理的综合应用，题干给出边角的式子要求角使用了正弦定理，找到了边的关系利用余弦就求出了角；找边的范围往往用角来体现.
18．已知函数f（x）=x3﹣3x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有3个实根，求实数k的取值范围．
【答案】（I）当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；当x=1时，有极小值f（1）=﹣2（II）（﹣2，2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为和有3个交点，根据f（x）的极大值和极小值求出k的范围即可．
试题解析：
（I）∵，∴，
令，解得或，列表如下：
x
（﹣∞，﹣1）
﹣1
（﹣1，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增
极大值
减
极小值
增
当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；
当x=1时，有极小值f（1）=﹣2．
（II）要有3个实根，
由（I）知： ，
即，
∴k的取值范围是（﹣2，2）．
19．在某城市气象部门的数据中，随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表：
空气质量指数t
（0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
（200，300]
质量等级
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
严重污染
天数K
5
23
22
25
15
10
（1）在该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t（t取整数）存在如下关系y=，且当t＞300时，y＞500估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；
（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合于曲线，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10），且，求拟合曲线方程．
（附：线性回归方程=a+bx中，b=，a=﹣b）
【答案】（1）（2）y=50lnt+250
【解析】试题分析：（1）令解出t的取值范围，根据频数分布表计算此范围内的频率，则此频率近似等于所求的概率；
（2）令，利用回归系数公式求出y关于x的回归方程，再得出y关于t的拟合曲线．
试题解析：
（1）令y＞200得2t﹣100＞200，解得t＞150，
∴当t＞150时，病人数超过200人．
由频数分布表可知100天内空气指数t＞150的天数为25+15+10=50．
∴病人数超过200人的概率．
（2）令x=lnt，则y与x线性相关， =7， =600，
∴=50，a=600﹣50×7=250．
∴拟合曲线方程为y=50x+250=50lnt+250．
20．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．
【答案】（Ⅰ）{x|x≠±1}（Ⅱ）f（x）为偶函数（III）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数成立的条件进行求解即可．（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明．
（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明．
试题解析：
（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}；
（Ⅱ）f（x）为偶函数．
∵f（x）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；…
（III）证明：
设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==2()
，
∵1＜x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形，写成因式乘积的形式（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
21．已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．
（I）求曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．
【答案】（1）；（2）直线的方程或
.
【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的第一定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何意义、直线的方程、向量垂直的充要条件等基础知识，考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用圆外一点到圆的两条切线段长相等，转化边，得到，所以判断出曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），利用已知求出椭圆标准方程中的基本量；第二问，根据已知设出直线的方程，直线与曲线联立，消参得关于的方程，求出方程的2个根，并且写出两根之和两根之积，因为点在以为直径的圆上，所以只需使，解出参数从而得到直线的方程.
试题解析：⑴解：由题知
所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），
设曲线： ，
则，
所以曲线： 为所求. 4分
⑵解：注意到直线的斜率不为，且过定点，
设，
由
消得，所以，
所以8分
因为,所以
注意到点在以为直径的圆上,所以,即, 11分
所以直线的方程或为所求. 12分
【考点】1.椭圆的第一定义；2.椭圆的标准方程；3.直线与椭圆的位置关系；4.韦达定理；5.向量垂直的充要条件.
