2019-2020学年河南省许昌高级中学高二上学期尖子生期初考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省许昌高级中学高二上学期尖子生期初考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省许昌高级中学高二上学期尖子生期初考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知等差数列的通项公式为， 则它的公差为 （ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由可得，所以公差．故C正确．‎ ‎【考点】等差数列的定义．‎ ‎2．在△ABC中，若，则A与B的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．A、B的大小关系不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A.‎ ‎3．已知，则取最大值时的值为()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】配凑成和为定值，再利用均值不等式。‎ ‎【详解】‎ 当且仅当即时取等，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 法一：构造和为定值，再利用均值不等式。‎ 法二：根据函数的单调性求解。‎ ‎4．同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线 ‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 ‎【答案】D ‎【解析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，若笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，‎ 综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案．‎ ‎5．已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】所有的偶数项减所有的奇数项=10d ‎【详解】‎ ‎，选B.‎ ‎【点睛】‎ 每一个偶数项前面都有一个奇数项，他们的差值为d.‎ ‎6．设是由正数组成的等比数列，且，那么的值是().‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】同底对数相加，真数相乘。利用等比数列的性质计算 ‎【详解】‎ 又 所以 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查同底对数的运算，等差数列的性质，属于基础题。‎ ‎7．下列推理错误的是（）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】ABC正确，当c=0时D错误 ‎【详解】‎ A选项：在两边同时除以ab得到，正确 B选项:又所以有，正确。‎ C选项: 又，所以有即正确 D选项：当c=0时不成立，错误 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，属于基础题。‎ ‎8．已知非零向量，若，则与的夹角（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件容易求出t=4，从而得出，从而得出可设与的夹角为θ，这样根据 即可求出cosθ，进而得出θ的值．‎ ‎【详解】‎ 因 ‎∴t=4；‎ ‎∴，，‎ 设与的夹角为θ，则：，‎ ‎∴‎ 故答案为：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎9．在中，，则的形状为（）‎ A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】先用倍角公式降次，后化简，再利用 展开化简即得出答案 ‎【详解】‎ ‎，选D.‎ ‎【点睛】‎ 根据所给式子判断三角形的形状，利用正余弦定理将边化角或者角化边化简式子。‎ ‎10．如果的解集为{x|﹣2＜x＜4}，则对于函数应有 ‎ ‎ （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，可得：a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得：函数f（x）=ax2+bx+c=a（x2﹣2x﹣8）=a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．再利用二次函数的图象与性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，‎ ‎∴a＜0，﹣2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，‎ ‎∴﹣2+4=﹣，﹣2×4=．‎ 那么对于函数f（x）=ax2+bx+c=a（x2﹣2x﹣8）=a（x﹣1）2﹣9a，（a＜0）．‎ 此抛物线开口向下，其图象关系直线x=1对称，‎ ‎∴f（﹣1）=f（3），f（2）＞f（3）＞f（5），‎ ‎∴f（2）＞f（﹣1）＞f（5），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的图象与性质、“三个二次”的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这艘船航行的速度为（）‎ A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 在 中有 ‎ 海里/时，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的使用，属于简单题。‎ ‎12．设二次函数，若对任意的实数，都存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】写出问题条件的反面，转换成 在上的最大值与最小值之差小于2.‎ ‎【详解】‎ 问题条件的反面为“若存在实数，对任意实数使得不等式成立”即 只要 在上的最大值与最小值之差小于2即可.‎ 当 ， 得 。‎ 当 。‎ 当。‎ 所以 ，‎ 综上可得,所求实数的取值范围是，选D.‎ ‎【点睛】‎ 问题转换成只需 在 上的最大值与最小值之差小于2.即可，通过讨论b的范围，求出最大值和最小值的差，从而确定b的取值范围。‎ 二、填空题 ‎13．已知，，则二元函数的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用不等式： 化简即可。‎ ‎【详解】‎ 根据均值不等式： ‎ 所以有 ‎ ‎ 当且仅当 时取等号。‎ ‎【点睛】‎ 直接利用不等式：化简。属于中档题 ‎14．已知中，角的对边分别为，满足.若，则周长的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理边化角解出A角，在利用再利用正弦定理角化边求出周长最大值。‎ ‎【详解】‎ 利用正弦定理 有：‎ 所以， ,‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎【点睛】‎ 一般求周长或面积的最值，将其转化为求三角函数的最值问题。‎ ‎15．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.‎ ‎【考点】1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.‎ ‎【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式的解集是空集的问题，转化为不等式恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数的取值范围.‎ ‎16．数列满足，则的80项和为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为当为奇数时，所以，因此，此数列每四项构成首项为，公差为的等差数列，的项和为，故答案为.‎ ‎【考点】1、数列的递推公式；2、特殊数列求和.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查数列的递推公式及特殊数列求和，属于难题.递推公式是给出数列的一种常见形式，已知递推公式求数列通项及前 项和的题型，常见方法有三个：一是把递推公式进行变形，构造出为特殊数列求出通项；二是根据归纳推理归纳出通项进一步用数学归纳法证明；另外，对于选择填空题也直接用不完全归纳法求解.‎ 三、解答题 ‎17．已知在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；‎ ‎（2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式，计算面积．‎ 试题解析：（1）在△中，由正弦定理得，‎ 即，又角为三角形内角，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）在△中，由余弦定理得：‎ ‎，则 即，解得或，‎ 又，所以．‎ ‎【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式．‎ ‎18．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．‎ ‎（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?‎ ‎【答案】（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价为268800元.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，‎ 其容积为4 800立方米，深度为3米．‎ 可得底面积为1600，池壁面积s=.‎ ‎（2）同时池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．‎ 设池底长方形长为x米，‎ 则可知总造价s=,x=40时，‎ 则.‎ 故可知当x=40时，则有可使得总造价最低,‎ 最低造价是268800元.‎ ‎【考点】不等式求解最值 点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题.‎ ‎19．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（1）an=2n−1.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. ‎ ‎20．某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月2日 ‎4月3日 ‎4月4日 ‎4月5日 温差 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎12‎ 发芽数（颗）‎ ‎38‎ ‎30‎ ‎24‎ ‎41‎ ‎17‎ 利用散点图，可知线性相关。‎ ‎（1）求出关于的线性回归方程，若4月6日星夜温差，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；‎ ‎（2）若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.‎ ‎（公式：）‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】（1）先求出温差x和发芽数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到的值，得到线性回归方程；再令x＝5时，得y值；（2）利用列举法求出基本事件的个数，即可求出事件“这两组恰好是不相邻两天数据”的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，，‎ ‎．‎ ‎，，．‎ 由公式，求得，．‎ 所以y关于x的线性回归方程为,当， ‎ ‎（2）设五组数据为1,2,3,4,5则所有取值情况有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件总数为10．‎ 设“这两组恰好是不相邻两天数据”为事件A，则事件A包含的基本事件为（13），（14），（15），（24），（25），（35）所以P（A），故事件A的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求线性回归方程，考查古典概型概率的计算，准确计算是关键，属于中档题．‎ ‎21．已知集合P＝，函数的定义域为Q.‎ ‎（Ⅰ）若PQ ，求实数的范围；‎ ‎（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.‎ ‎【答案】 (1) （2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （Ⅱ）由题得在有解，即求的值域得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）P＝，PQ，不等式在上有解，由得，而， ‎ ‎（Ⅱ） 在有解，即求的值域，‎ 设 ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查集合的运算，考查不等式的有解问题和方程的有解问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2), ‎ ‎22．已知数列满足.‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求证：‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）要证数列是等差数列，即证为一个定值常数。‎ ‎（2）由（1）解出，表示出，再利用裂项相消求出其前n项和。‎ ‎【详解】‎ 证明 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ 数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎（2）即 由于，‎ ‎【点睛】‎ 要证数列是等差数列，定义法：从第二项起每一项与前一项的差为一个定值常数。‎ 等差中项：证明