数学文卷·2019届广西南宁市第二中学高二上学期末期考试（2018-01）

数学文卷·2019届广西南宁市第二中学高二上学期末期考试（2018-01）

南宁二中2017-2018学年上学期高二数学（文科）期考试题 ‎ ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。‎ ‎1．已知， 为虚数单位，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，则，选A．‎ ‎2．命题“若，则中至少有一个大于”的否命题为（ ）‎ A．若都不大于，则． B．若，则中至多有一个大于．‎ C．若，则都不大于． D．若，则都不大于． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】“中至少有一个大于”表示“中只有一个大于”或“中两个都大于”；故其否定为“没有一个大于”，所以所给命题的否命题为“若，则都不大于”，选C．‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D．‎ ‎4．2014年5月，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．‎ ‎ ‎ 根据以上统计图来判断以下说法错误的是（ ）‎ A．2013年农民工人均月收入的增长率是．‎ B．2011年农民工人均月收入是元．‎ C．小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”．‎ D．2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高．‎ ‎【答案】C ‎【解析】A．由折现统计图可得出：2013年农民工人均月收入的增长率是：10%，故正确；‎ B．由条形统计图可得出：2011年农民工人均月收入是：2205元，故正确；‎ C．因为2012年农民工人均月收入是：2205×(1+20%)=2646(元)，大于2205元；‎ 所以农民工2012年的人均月收入比2011年的少了，是错误的；‎ D．由条形统计图可得出，2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高；‎ 本题选择C选项．‎ ‎ ‎ ‎5．如图所给的程序运行结果为，‎ 那么判断框中应填入的关于的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知输出结果为 第1次循环，； 第2次循环，； 第3次循环，；‎ 第4次循环， 第5次循环，；‎ 此时满足输出结果,退出循环，所以判断框中的条件为，故选B．‎ ‎ ‎ ‎6．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导函数在上是增函数，由导数的几何意义可知，曲线在区间上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．‎ ‎ ‎ ‎7．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如右表，则下列说法正确的是（ ）‎ 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ A．有99.9%的把握认为使用智能手机 对学习有影响．‎ B．有99.9%的把握认为使用智能手机 对学习无影响．‎ C．在犯错误的概率不超过0.005的前 提下认为使用智能手机对学习有影响．‎ D．在犯错误的概率不超过0.005的前 提下认为使用智能手机对学习无影响．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】C ‎【解析】经计算，，，‎ 对照数表知，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响，故选 C．‎ ‎8．已知，若任取满足，则事件“使不等式成立”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆心为，设直线交圆于两点，圆心到直线的距离，所以,,扇形的面积为，弓形面积，因为所表示的区域面积为，所表示区域的面积即为弓形面积，所以概率，故选B．‎ ‎9．已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线右焦点为 ， ‎ 周长 要使周长最小，只需 最小，如右图；‎ 当三点共线时取到,故，故选B ‎10．已知函数，则“函数有两个零点”成立的充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题设欲使“函数有两个零点”须满足一个根大于1，另一个根不大于1；即且；且；即应满足，则C为充分不必要条件．‎ ‎11．若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎①当时，，所以在上单调递增，在内无极值，所以符合题意；‎ ‎②当时，令，即，解得；‎ 当时，；当时，；‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 则当时原函数取得极大值，当时，原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足，解得．综合①②得，的取值范围为，故选D．‎ ‎12．已知双曲线：，双曲线：（‎ ‎）的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长是（ ）‎ A．16 B．32 C．4 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为双曲线：与双曲线：的离心率相同，经计算，的离心率为，所以在曲线中，，即双曲线的一条渐近线方程为，即，又因为，的面积为16，所以，因为到渐近线的距离，，所以，解得，由，解得，故双曲线的实轴长为，故选A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知椭圆的左右焦点为，，，点为椭圆上一点，若周长为，则椭圆的离心率为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆的半焦距为，由题意得， ，所以．‎ ‎14．已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ，则复数的实部是．‎ ‎ ‎ ‎15．在一个袋子中装有分别标注数字，，，，的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为或的概率是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从袋子中取出两个小球，其号码的所有情况有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共10种；其中取出的小球上标注的数字之和为5或7有：(1,4),(2,3)，(2,5), (3,4)，共4种；由古典概型概率公式得所求概率为．‎ ‎16．已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点，记为函数的导数，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数，所以；‎ 则曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：，‎ 联立得：，即，‎ 所以，则．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图所示，在中，是的中点，，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意得，‎ 所以 ……………2分 在中，由正弦定理得； ……………3分 所以，； ……………5分 ‎（2）在；所以； ……………7分 在中，由余弦定理得：，‎ 且由为中点可知，；‎ 所以，即 ‎． ……………10分 ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线；‎ ‎（1）求，的表达式；‎ ‎（2）设，求在上的最值．‎ ‎【答案】（1），；‎ ‎【解析】（1）∵的图象过点；所以；‎ 即； ……………2分 由可得；‎ 所以； ……………4分 又因为过点，所以 则； ……………6分 综上，，；‎ ‎（2），所以；‎ ‎，或； ……………8分 极大值 极小值 所以，；． ……………12分 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在原点，短轴长为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，为弦中点，求点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）依题意，，则设椭圆方程为；‎ 因为椭圆过，所以，即， ‎ 所以椭圆方程为． ……………4分 ‎（2）依题意，设斜率为的弦所在直线的方程为，弦的中点坐标为，‎ 则 消去，得， ……………6分 ‎∴，即，， ‎ 两式消掉，得； ……………10分 又弦的中点在椭圆内部，所以；‎ 故平行弦中点轨迹方程为：． ……………12分 ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：‎ 井号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 坐标（）‎ 钻探深度（）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 出油量（）‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎160‎ ‎205‎ ‎（参考公式和计算结果：， ， ， ）‎ ‎（1）号旧井位置线性分布，借助前组数据求得回归直线方程为；求，并估计的预报值；‎ ‎（2）现准备勘探新井，若通过1，3，5，7号并计算出的，的值（，精确到）相比于（1）中的，，且，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）， 的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井；‎ ‎【解析】（1）因为， . ……………2分 回归直线必过样本中心点，则. ……………4分 故回归直线方程为，当时， ，即的预报值为24. ……5分 ‎（2）因为， ， ， ， ……………7分 所以 ， ……………9分 ‎，即， ， ， ………10分 所以，且，因此使用位置最接近的已有旧井． ………12分 ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若在函数定义域内，恒成立，试求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）（）， ………2分 ‎① 当时， ， 函数在 单调递增． ……………3分 ‎② 当时，由，得；‎ 由，得或 所以，函数在上单调递减，在上单调递增. ……………5分 ‎③ 当时，同理，得函数在上单调递减，在上单调递增． ………6分 ‎（2）在时恒成立；‎ 设，则； ……………8分 因为，；所以；；‎ 即在上单调递增，在上单调递减； ……………10分 则；‎ 因为，所以． ……………12分 ‎ ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，已知抛物线:，抛物线的准线与交于点．‎ ‎（1）过作曲线的切线，设切点为，，证明：以为直径的圆经过点；‎ ‎（2）过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、两点，线段，的中点分别为、，试讨论直线是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）过定点；坐标为．‎ ‎【解析】（1）依题意有；由切线斜率必存在且不等于零，设切线方程为 ‎；‎ ‎； ……………2分 ‎，所以切线方程为和； ……………3分 所以直线，的倾斜角分别为和，则；‎ 所以，点在以为直径的圆上； ……………5分 ‎（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，‎ 则直线：，，‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴． ……………8分 同理得． ……………9分 当或时，直线的方程为； ……………10分 当且时，直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，即，‎ ‎∴直线过定点，其坐标为． ……………12分