数学（理）卷·2018届安徽省黄山市高二下学期期末考试（2017-07）

数学（理）卷·2018届安徽省黄山市高二下学期期末考试（2017-07）

黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测 高二（理科）数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（ ）‎ A．2‎ B．－1‎ C．5‎ D．‎ ‎2．下列命题正确的是（ ）‎ A．命题“，使得x2－1＜0”的否定是：，均有x2－1＜0．‎ B．命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2－2x－3≠0．‎ C．“（k∈Z）”是“”的必要而不充分条件．‎ D．命题“cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题是真命题．‎ ‎3．下列说法：‎ ‎①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；‎ ‎②设有一个回归方程 ‎，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；‎ ‎③线性回归方程必经过点（，）；‎ ‎④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．‎ 其中错误的个数是（ ）‎ A．0‎ B．1‎ C．2‎ D．3‎ ‎4．已知，，且，则x的值是（ ）‎ A．6‎ B．5‎ C．4‎ D．3‎ ‎5．过点O（1，0）作函数f（x）＝ex的切线，则切线方程为（ ）‎ A．y＝e2（x－1）‎ B．y＝e（x－1）‎ C．y＝e2（x－1）或y＝e（x－1）‎ D．y＝x－1‎ ‎6．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，P），且E（ξ）＝300，D（ξ）＝200，则等于（ ）‎ A．3200‎ B．2700‎ C．1350‎ D．1200‎ ‎7．直线y＝－x与函数f（x）＝－x3围成封闭图形的面积为（ ）‎ A．1‎ B．‎ C．‎ D．0‎ ‎8．如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是（ ）‎ A．双曲线的一支 B．抛物线的一部分 C．圆 D．椭圆 ‎9．双曲线（mn≠0）离心率为，其中一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则mn的值为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．18‎ D．27‎ ‎10．我市某学校组织学生前往南京研学旅行，途中4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是（ ）‎ A．964‎ B，1080‎ C．1296‎ D．1152‎ ‎11．设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（ ）‎ A．‎ B．2‎ C．1‎ D．条件不够，不能确定 ‎12．已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数的单调递减区间是（ ）‎ A．（－∞，－2）‎ B．（－∞，1）‎ C．（－2，4）‎ D．（1，＋∞）‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题．把答案直接填在题中的相应横线上．）‎ ‎13．已知（1－x）n展开式中x2项的系数等于28，则n的值为________．‎ ‎14．连续掷一枚质地均匀的骰子4次，设事件A＝“恰有2次正面朝上的点数为3的倍数”，则P（A）＝________．‎ ‎15．在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝90°，若直线AB1与直线A1C的夹角的余弦值是，则棱AB的长度是________．‎ ‎16．设F1，F2分别是椭圆的两个焦点， P是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数m的值为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；‎ ‎（Ⅱ）设集合A＝{y|}，B＝{x|m＋x2≤1，m＜1}．命题p：x∈A；命题q：x∈B．若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．随着络的发展，人们可以在络上购物、玩游戏、聊天、导航等，所以人们对上流量的需求越来越大．某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐．为了调查不同年龄的人是否愿意选择此款“流量包”套餐，随机抽取50个用户，按年龄分组进行访谈，统计结果如表．‎ 组号 年龄 访谈人数 愿意使用 ‎1‎ ‎[18，28）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎[28，38）‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎[38，48）‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎4‎ ‎[48，58）‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎[58，68）‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，则各组应分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）‎ 若从第5组的被调查者访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．‎ ‎（Ⅲ）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以48岁为分界点，能否在犯错误不超过1％的前提下认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关？‎ 年龄不低于48岁的人数 年龄低于48岁的人数 合计 愿意使用的人数 不愿意使用的人数 合计 参考公式：，其中：n＝a＋b＋c＋d．‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．‎ ‎（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写出结果，不写过程）；‎ ‎（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列和期望；‎ ‎（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．‎ ‎20．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）若底面ABCD为正方形，，求二面角C—AF—D大小．‎ ‎21．设点O为坐标原点，椭圆E：（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；‎ ‎（Ⅱ）PQ是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．‎ ‎22．已知函数（a＜0）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝－3时，求f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；‎ 黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测 高二（理科）数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D A A B C D C D C A 二、填空题（本大题共4小题．）‎ ‎13．8‎ ‎14．‎ ‎15．2‎ ‎16．4或 三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为，所以 所以原式 ‎（Ⅱ）由题可知，‎ 由于p是q的必要条件，所以，‎ 所以，解得．‎ 综上所述：．‎ ‎18．解：（Ⅰ）因为，，，所以第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取12人，各组分别为3人，5人，4人．‎ ‎（Ⅱ）第5组的6人中，不愿意选择此款“流量包”套餐的4人分别记作：A、B、C、D，愿意选择此款“流量包”套餐2人分别记作x、y．‎ 由题可知．‎ ‎（Ⅲ）2×2列联表：‎ 年龄不低于48岁的人数 年龄低于48岁的人数 合计 愿意使用的人数 ‎14‎ ‎28‎ ‎42‎ 不愿意使用的人数 ‎7‎ ‎1‎ ‎8‎ 合计 ‎21‎ ‎29‎ ‎50‎ ‎∴．‎ ‎∴在犯错误不超过1％的前提下可以认为，是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由茎叶图可得．‎ ‎（Ⅱ）由题可知X取值为0，1，2．，，，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P（X）‎ 所以．‎ ‎（Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．设事件A＝“从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，事件B＝“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”．‎ 则．‎ ‎20．解：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD＝O，连结OE，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴O是BD的中点，‎ ‎∵点E是棱PD的中点，∴PB∥EO，‎ 又PB平面AEC，EO平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC．‎ ‎（Ⅱ）由题可知AB，AD，AP两两垂直，则分别以、、的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系．‎ 设由可得AP＝AB，‎ 于是可令AP＝AB＝AD＝2，则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）‎ 设平面CAF的一个法向量为．由于，‎ 所以，解得x＝－1，所以．‎ 因为y轴平面DAF，所以可设平面DAF的一个法向量为．‎ 由于，所以，解得z＝－1，‎ 所以．‎ 故．所以二面角C—AF—D的大小为60°．‎ ‎21．解：（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），，所以M（，）．‎ ‎∴，解得a＝2b，‎ 于是，∴椭圆E的离心率e为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x2＋4y2＝4b2（1）‎ 依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．‎ 由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：‎ ‎（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，‎ 由得，解得．‎ 从而x1x2＝8－2b2．于是 ‎．‎ 解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．‎ ‎22．解：（Ⅰ）∵a＝－3，∴，故 令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，‎ 即所求的单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞）‎ ‎（Ⅱ）∵（x＞a）‎ 令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1‎ ‎（1）当a＋1＞0，即－1＜a＜0时，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋‎ ‎∞）上为减函数，在（0，a＋1）上为增函数．‎ 由于f（0）＝aln（－a）＞0，当x→a时，f（x）→＋∞．‎ 当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，‎ 此时函数f（x）有且仅有一个零点．‎ 即当－1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点；‎ ‎（2）当a＝－1时，，‎ ‎∵，∴f（x）在（a，＋∞）单调递减，‎ 又当x→－1时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞，‎ 故函数f（x）有且仅有一个零点；‎ ‎（3）当a＋1＜0即a＜－1时，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上为减函数，在（a＋1，0）上为增函数．又f（0）＝aln（－a）＜0，当x→a时，f（x）→＋∞，当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点；‎ 综上所述，所求的范围是a＜0．‎