广东省梅州市2020届高三上学期9月第一次质量检测数学（文）试题

广东省梅州市2020届高三上学期9月第一次质量检测数学（文）试题

‎2019-2020学年高三级第一学期第一次质检试题 文科数学 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1.已知集合，则（）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合，根据并集的定义求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.‎ ‎2.设复数z满足，则（）．‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算求得，根据模长定义求得结果.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够利用复数的除法运算整理出复数.‎ ‎3.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：‎ 参加场数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 参加人数占调查人数的百分比 ‎8%‎ ‎10%‎ ‎20%‎ ‎26%‎ ‎18%‎ ‎12%‎ ‎4%‎ ‎2%‎ 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（）．‎ A. 参加活动次数是3场的学生约为360人 B. 参加活动次数是2场或4场的学生约为480人 C. 参加活动次数不高于2场的学生约为280人 D. 参加活动次数不低于4场的学生约为360人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本中的百分比代替总体中的百分比，从而可计算求得各选项中的学生数.‎ ‎【详解】参加活动场数为场学生约有：人，错误 参加活动场数为场或场的学生约有：人，错误 参加活动场数不高于场的学生约有：人，错误 参加活动场数不低于场的学生约有：人，正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用样本的数据特征估计总体的数据特征，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线，直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为坐标原点．若为直角三角形，则C的离心率为（）．‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到关系，进而求得关系，利用求得结果.‎ ‎【详解】为直角三角形，结合对称性可知，双曲线的渐近线为：‎ 即 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.‎ ‎5.已知数列中，，．若数列为等差数列，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 ‎【详解】依题意得：，因为数列为等差数列，‎ 所以，所以，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础 ‎6.已知，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：由题意求出的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果 ‎【详解】解法一：由，且得，，代入得，‎ ‎=，故选C．‎ 解法二：由，且得，，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础 ‎7.如图，线段MN是半径为2圆O的一条弦，且MN的长为2.在圆O内，将线段MN绕N点按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将线段绕点按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动……点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出阴影部分的面积，根据几何概型中面积型问题的求解方法求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：阴影部分的面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查几何概型中面积型问题的求解，关键是能够准确求解出阴影部分的面积，属于常考题型.‎ ‎8.在边长为等边中，点满足，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意线性表示向量，然后计算出结果 ‎【详解】依题意得：，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单 ‎9.若函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果 ‎【详解】依题意得：函数在上单调递减，‎ 因为，所以，即，在上恒成立，‎ 所以，即，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法 ‎10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（ ）、‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，所以时，；时，.‎ 所以时，；时，；时，.选C.‎ 考点：导数及其应用.‎ ‎11.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作于，作于，设，，根据抛物线定义和长度关系可求得，进而得到，利用求得梯形的上下底边长和高，利用梯形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】过作于，过作于 设，，则， ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线中四边形面积的求解问题，关键是能够灵活运用抛物线的定义，得到图形中的等量关系，进而求得所需的线段长度.‎ ‎12.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程化为，令，求出函数的值域，只需令属于所求值域的补集即可得结果.‎ ‎【详解】因为不满足方程，‎ 所以原方程化为化为， ‎ ‎，令，‎ 时，；‎ 时，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 递增 递减 当，‎ 即时，，‎ 综上可得，的值域为，‎ 要使无解，则，‎ 即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究方程的根，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：‎ ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若实数满足约束条件，则的最小值等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 ‎【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，‎ 目标函数化为：，则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值．通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最大．因为解得，‎ 所以的最小值．‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值 ‎14.已知长方体的外接球体积为，且，则直线与平面所成的角为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出外接球的半径，结合题意找出线面角的平面角，然后计算出结果 ‎【详解】设长方体的外接球半径为，因为长方体的外接球体积为，所以, 即，‎ 因为，所以.‎ 因为平面，所以与平面所成的角为，‎ 在中，因为，所以，所以．‎ ‎【点睛】本题考查了求线面角的平面角，通常要先找出线面角的平面角，然后结合题意解三角形求出角的大小，需要掌握解题方法 ‎15.将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.‎ ‎【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称 关于对称 ‎ 即： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.‎ ‎16.已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.‎ ‎【详解】当时， ，解得：‎ 当且时，‎ ‎，即：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ，解得：‎ 又 或 满足条件的的取值集合为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在中，角，，的对边分别是，，.已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ ‎，‎ 因为，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎18.为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 特色学校（百个）‎ ‎0.30‎ ‎0.60‎ ‎1.00‎ ‎1.40‎ ‎1.70‎ ‎（Ⅰ）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；‎ ‎（Ⅱ）求关于的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）．‎ 参考公式： ，，，，，．‎ ‎【答案】（I）相关性很强；（II），208个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得，，利用求出 的值，与临界值比较即可得结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； 代入线性回归方程求出对应的的值，可预测地区2019年足球特色学校的个数.‎ ‎【详解】（Ⅰ），， ，‎ ‎∴与线性相关性很强.‎ ‎（Ⅱ） ，‎ ‎，‎ ‎∴关于的线性回归方程是.‎ 当时，（百个），‎ 即地区2019年足球特色学校的个数为208个.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②求得公式中所需数据；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取的中点为，连结，可证明四边形为平行四边形，得，由等腰三角形的性质得，可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）由三棱台的底面是正三角形，且，可得，由此，.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）取的中点为，连结.‎ 由是三棱台得，平面平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵三棱台的底面是正三角形，且，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ 由（Ⅰ）知，平面.‎ ‎∵正的面积等于，∴，.‎ ‎∵直角梯形的面积等于，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎20.已知直线与焦点为F的抛物线相切.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）将与抛物线联立得：‎ 与相切 ，解得：‎ 抛物线的方程为：‎ ‎（Ⅱ）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：‎ 联立得：‎ 设，，则 ‎ 线段中点 设到直线距离分别为 则 ‎ 当时，‎ 两点到直线的距离之和的最小值为：‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）的定义域为.‎ ‎ .‎ ‎（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ ‎（2）当时，由解得，由解得.‎ ‎∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，‎ ‎∴恒成立，符合题意.‎ ‎②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需，且.‎ 而当时，‎ 且成立.‎ ‎∴符合题意.‎ ‎（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需即可，‎ 此时成立，‎ ‎∴符合题意.‎ ‎（iii）若，在上单调递增.‎ ‎∴对任意的实数，恒成立，只需，‎ 即，‎ ‎∴符合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于两点，直线与曲线相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将参数方程消去即可得到普通方程；由，根据极坐标和直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（Ⅱ）联立和射线的极坐标方程可得点极坐标，从而得到；将参数方程代入圆的直角坐标方程，利用的几何意义，结合韦达定理构造关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】（1）将直线的参数方程消去，化为普通方程得：‎ 由得： ‎ 整理可得曲线的直角坐标方程为：‎ ‎（2）由得： ‎ 将直线的参数方程代入得：‎ 由得：‎ 设两点对应的参数分别为，则：‎ 解得：或 所求的值为或 ‎【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意得，进而可得，求解，即可求出结果；‎ ‎（2）先由恒成立，得到恒成立，讨论与，分别求出的范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：（1）由得，‎ 所以，解得，‎ 所以，的解集为 ‎ ‎（2）恒成立，即恒成立.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因为（当且仅当，即时等号成立），‎ 所以，即最大值是.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记含绝对值不等式的解法即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎