数学理卷·2019届河北省衡水市安平中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届河北省衡水市安平中学高二上学期期中考试（2017-11）

河北安平中学2017—2018学年第一学期期中考试 ‎ 数学试题 （高二理科）‎ ‎ ‎ 一、 选择题：（每题只有一个正确选项。共12个小题，每题5分，共60分。）‎ ‎1.双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B． C． D．8‎ ‎2.以下四组向量中，互相平行的有（ ）组．‎ ‎（），．（），．‎ ‎（），．（），．‎ ‎ A．一 B．二 C．三 D．四 ‎3.已知椭圆C：的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知向量=（2，3，1），=（1，2，0），则|﹣|等于（　　）‎ A．1 B． C．3 D．9‎ ‎5.已知斜率为3的直线L与双曲线C： =1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若点P（6，2）是AB的中点，则双曲线C的离心率等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎6.已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，若|F1P|+|F1Q|=10，则|PQ|等于（　　）‎ A．8 B．‎6 ‎C．4 D．2‎ ‎8.若=（2，﹣3，1），=（2，0，3），=（0，2，2），则•（+）=（　　）‎ A．4 B．‎15 ‎ C．7 D．3‎ ‎9.已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎10．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎11.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线L交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=3|BF|，且|AF|=4，则p为（　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ 二.填空题（共4个小题，每题5分，共20分。）‎ 13． 若向量，(其中i、j、k是两两互相垂直的单位向量)则这两个向量的位置关系是___________。‎ 14. 若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线L的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则L与α所成角的正弦值为　　．‎ ‎15.给出下列命题：‎ ‎①直线L的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则L与m垂直；‎ ‎②直线L的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则L⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．‎ 其中真命题的是　　　　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎16.给出下列结论：‎ 动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；‎ ‎（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；‎ ‎（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；‎ ‎（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；‎ 其中正确命题的序号是：　　　　．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 三、 解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题10分）‎ 已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．‎ 18. ‎（本小题12分）‎ 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，‎ 侧棱底面，，，， ‎ 为的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，‎ 并求出点到和的距离.‎ 20. ‎（本小题12分）‎ 已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线L与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求L的方程．‎ 21． ‎（本小题12分）‎ 如图，在长方体，中，，点在棱 上移动.（1）证明：；‎ ‎ （2）当为的中点时，求点到面的距离；‎ ‎ （3）等于何值时，二面角的大小为.‎ 22. ‎（本小题12分）‎ 已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线L交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．‎ 高二理班数学答案 BBCBA DBDCC CC ‎ 13. 垂直 14. 15. ①④ 16. （1）（3）‎ ‎17.（本小题10分）解：设椭圆C的方程为+=1，‎ 由题意a=3，c=2，b==1．∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ 联立方程组，消y得10x2+36x+27=0，‎ 因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，‎ 故线段AB的中点坐标为（﹣，）．‎ ‎18.（本小题12分）解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，‎ ‎∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，‎ ‎∴+p=（+）2， ∴p=2 抛物线的方程为：y2=4x．‎ ‎（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=‎4m，y1y2=﹣24，‎ ‎∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0‎ 可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0 ∴（1+m2）y1y2+‎5m（y1+y2）+25=0‎ ‎∴﹣24（1+m2）+‎20m2‎+25=0， 解得：m=±．‎ ‎19．（本小题12分）解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则的坐标为、‎ ‎、、、‎ ‎、，‎ 从而 设的夹角为，则 ‎∴与所成角的余弦值为.‎ ‎ （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则 ‎，由面可得，‎ ‎ ∴‎ 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.‎ ‎21．解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 ‎（1）‎ ‎（2）因为为的中点，则，从而，‎ ‎，设平面的法向量为，则 也即，得，从而，所以点到平面的距离为 ‎（3）设平面的法向量，∴‎ 由 令，‎ ‎∴‎ 依题意 ‎∴（不合，舍去）， .‎ ‎∴时，二面角的大小为.‎ ‎20.解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…‎ ‎22.（本小题12分）解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，‎ 根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，即有a=2，c=2，b=2，则动点P的轨迹C的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设直线L的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则L的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，‎ 整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，‎ 由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，‎ 根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，‎ 那么|MN|==•‎ ‎=，‎ y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，‎ 线段MN中点H的坐标为（，），‎ 那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），‎ 令y=0，得D（，0），‎ ‎|DH|==，‎ 则=•=•，‎ 由k≠0，可得1+∈（1，+∞），‎ 于是∈（0，）．‎ ‎ ‎