四川省崇庆中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

四川省崇庆中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

崇庆中学高2015级高二上期半期考试试题 理科 一．选择题 ‎1. 集合，,,则等于 （B）‎ ‎ （A） (B) (C) (D) ‎ ‎2. 已知是第二象限角,（　A　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　B　）‎ A．若,,则 B．若,,则 ‎ C．若,,则 D．若,,则 ‎4. 设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则( D ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为( C )‎ 输入x If x≤50 Then y=0.5 * x Else ‎ ‎ y=25+0.6*(x-50)‎ End If 输出y ‎ ‎ ‎ A．25 B．‎30 ‎C．31 D．61‎ ‎ 6. 某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( B )‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎7. 已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ B ） ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5 ‎ ‎8. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，‎ 则△BCD是 （ C）‎ ‎ A．钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 ‎9. 已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（　C　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 已知函数的周期为2 ,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（ D ）‎ ‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ 二．填空题 ‎11. 定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有___4____个 ‎ ‎12. 在中,角所对边长分别为,若,则的最小值 为________. ‎ ‎13. 已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝___ _____‎ ‎14. 直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成角的大小是__ 45°______.‎ ‎15. 已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________. ‎ 三．题解答 ‎16. 等差数列中,‎ ‎(I)求的通项公式;‎ ‎(II)设 ‎【答案】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,则 ‎ 因为,所以. 解得,. ‎ 所以的通项公式为. ‎ ‎,‎ ‎ 所以. ‎ ‎17.在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△的面积,,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由,得, ‎ 即,解得 或(舍去). ‎ 因为,所以. ‎ ‎(Ⅱ)由得. 又,知. ‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎18. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎【答案】证明　(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，‎ 故在△CPA中，EF∥PA，‎ ‎∴EF∥平面PAD.‎ ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PA.‎ 又PA＝PD＝AD，‎ ‎∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.‎ 又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.‎ 又∵PA⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎19.如图，在△ABC中，∠ABC=，∠BAC，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，‎ 使∠BDC．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；‎ ‎（Ⅱ）设E为BC的中点，求异面直线AE与BD夹角的余弦值．‎ 解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，‎ ‎∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB，‎ 又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC．‎ ‎（Ⅱ）由∠BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，，所在直线为轴建立如图 所示的空间直角坐标系，易得：‎ D(0,0,0),B(1,0,0),由△ABD∽△CBA得CD=3，AC=,‎ ‎∴C (0,3,0),A(0,0,),E(,,0)，‎ 所以，，‎ ‎∴‎ 所以AE与BD夹角的余弦值是．‎ ‎20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明：PA⊥BD；‎ ‎(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ 解：（Ⅰ）因为, 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故 PABD ‎（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴射线DB为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-，‎ z x P C B A D y 则,,,.‎ 设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则,‎ 即 因此可取=‎ 设平面PBC的法向量为，则 可取=（0，-1，）， ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 .‎ ‎21. 若圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值；‎ ‎(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补．O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．‎ ‎【答案】.解：(1)设圆心C(a，b)，则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2.‎ 将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，‎ 且·＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，‎ 所以·的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．‎ ‎ (3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，‎ 故可设PA：y－1＝k(x－1)，‎ PB：y－1＝－k(x－1)，‎ 由 得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，‎ 因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，‎ 故可得xA＝.‎ 同理，xB＝，‎ 所以kAB＝＝ ‎＝＝1＝kOP，‎ 所以，直线AB和OP一定平行．‎