2019-2020学年山西省高二上学期10月联合考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年山西省高二上学期10月联合考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省高二上学期10月联合考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简集合，再利用交集的定义求解．‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 集合的基本运算是高考命题的热点内容，它常与不等式解法，函数的定义域、值域，及新定义运算问题交汇考查．‎ ‎2．给出下列命题．①若，则；②若，则；③若，则；.其中正确的是（）‎ A.①② B.①③ C.②③ D.①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】逐个选项推导，对①③可直接推理，若能逆推成立则原命题为真，反之②则可举反例证明原不等式错误。‎ ‎【详解】‎ 对于①由知，故①正确；对于②，不妨设．则，故②错误；‎ 对于③，因为．所以．‎ 又，所以，故③正确。‎ ‎【点睛】‎ 判断不等式是否正确的问题，可带入特殊值取反例判断，也可以直接根据不等式等量逆推，若能推导出正确的表达式则原表达式成立，反之则不成立。‎ ‎3．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设圆柱的底面半径为．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为．因为该圆柱的体积为，，解得，所以该圆柱的侧面积为．‎ ‎【点睛】‎ 设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积，体积.‎ ‎4．已知向量，，若，则（）‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先分别计算向量和，再根据平行公式计算即可。‎ ‎【详解】‎ 因为=(3λ＋4，4)，=(―λ―3，-3)，且()//()，‎ 所以(―3)·(3λ＋4)-4·(―λ―3)=0，λ=0．‎ ‎【点睛】‎ 根据平行公式设向量，则 ‎5．若各项均为正数的等比数列的前n项和为，，则（）‎ A.12l B.122 C.123 D.124‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意已知，可用等比数列性质算出，又由进而算出可算得首项和公比，再利用公式求解即可。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以．又，所以，，‎ ‎【点睛】‎ 若是等比数列，且，则，‎ 前项和公式。‎ ‎6．函数的定义域为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知对数括号里面的值应，求解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 令，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数中真数大于0，以及指数不等式的解法，通过图像单调性求解即可。‎ ‎7．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列判断正确的是()‎ A.若，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】选项A由线面垂直的性质定理可得；选项B，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D，找到反例即可.‎ ‎【详解】‎ A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得；B选项正确，若，则存在，在平面内存在，由，可得 ，由线面垂直的判定定理可得；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“在平面内或者平行于”这个条件，才能判定；D选项不正确，直线可能在平面上．‎ ‎【点睛】‎ 解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点 ‎(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．‎ ‎(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎8．已知函数，则的单调递减区间为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，故分和进行分类讨论写出对应的分段函数再求单调递减区间。‎ ‎【详解】‎ 由于，‎ 当时，.显然，在上单调递减；‎ 当时，，显然，在上单调递增。‎ 综上可知，的单调递减区间是。‎ ‎【点睛】‎ 带绝对值的表达式，一般可根据绝对值内的正负分情况进行去绝对值，将函数写成分段函数进行运用。‎ ‎9．设，y为实数，满足，，则（）‎ A.的取值范围是 B.的取值范围是 C.xy的取值范围是 D.的取值范围是 ‎【答案】C ‎【解析】因为无直接关系，故直接根据每个选项进行分析即可。A选项中分别代入的最小最大值求得的最值，B选项中取最大值，取最小值时取最大值，反之取最大值。C选项中同取最小最大值得出最小最大值，D选项中在取最小值，取最大值时取最小值。‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，的取值范围是，的取值范围是，xy的取值范围是。‎ 的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 对两未知数求之和之差之积之商求范围，若两未知数无直接关系，直接分别代入两数的最值即可求之和之差之积之商的最值。‎ ‎10．函数的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度后得函数的图像，则（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图像可知，代入点和则可计算出表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出表达式。‎ ‎【详解】‎ 由函数的部分图象知，即.‎ 因为，所以。所以.‎ 因为点在的图象上。所以.所以。‎ 因为，结合图象可知，所以.‎ 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象。则.‎ ‎【点睛】‎ 根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算。函数平移左加右减，注意平移的时候是整体变化，如果有系数记得加括号。‎ ‎11．已知，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过基本不等式的变形可得，再将表达式转化成关于整体的二次不等式，求出相应范围 ‎【详解】‎ ‎∵，∴，可得，当且仅当或时取等号. ∵，∴，化为，解得，则的取值范围是.‎ 答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查的是根据基本不等式求取值范围问题，代换中一定要注意等号是否成立，题中将这一步代换出来至关重要 ‎12．已知等差数列的公差不为0，中的部分项成等比数列．若，，，则（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意成等比数列，故，即可用基本量法算出与公差的关系，进而算出数列的公比与通项公式，最后再利用通项公式列出关于的表达式求解即可。‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d，则.‎ 由已知，所以，‎ 即，得.‎ 于是，在等比数列中，公比.‎ 由，为数列的第项，知；‎ 由为数列的第项，知，‎ 所以，故，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题在等差数列里面穿插等比，需要理清其中的关系，找关系列式求出等差等比的公差和公比，进而求出通项公式再进行分析，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．已知，，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据二倍角公式可求得，再用二倍角公式 带入即可。‎ ‎【详解】‎ 由．则，‎ 因为，故，所以.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数恒等变换的问题，首先看角度的关系再确定所用公式，本题明显用二倍角公式。‎ ‎14．如图，平面，为正方形，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作BD的平行线FG,即可证明 （或其补角）就是异面直线与所成的角，计算出EF,EG,FG的长度，在△EFG中，利用余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】‎ 如图，取的中点，连接，，,则，通过异面直线所成角的性质可知 （或其补角）就是异面直线与所成的角．‎ 设，则，同理可得．‎ 又，所以在中，，‎ 故异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 用平移法求异面直线所成角的3个步骤 ‎(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；‎ ‎(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；‎ ‎(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．‎ ‎15．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得 ‎【详解】‎ 由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑 ‎16．在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由△PAB为等边三角形，且平面可知，，即可找到球心所在的位置，列出等量关系即可求出半径.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，∴平面．设是外接球球心，是的中心， 平面，则，，则，故四面体外接球的表面积是．‎ ‎【点睛】‎ ‎“切”“接”问题处理的注意事项 ‎(1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．‎ ‎(2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．‎ ‎17．已知正方体，是底对角线的交点求证：‎ 面；‎ 面．‎ ‎【答案】见解析。‎ ‎【解析】试题分析：（1）取 的边的中线 ，由证四边形 是平行四边形，得，由线面平行的判定定理可得结论；（2）由 证得面 ，可得面 面 。‎ ‎(I)连结，设 连结，‎ 是正方体 ‎ 四边形是平行四边形 ． ‎ ‎ ∴A1C1∥AC且 ． ‎ 又分别是的中点，‎ ‎∴且,,,‎ 四边形是平行四边形 ． ‎ ‎,面，面,‎ ‎∴∥面 ． ‎ ‎（II）在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，‎ 平面A1B1C1D1， ． ‎ 在平面A1B1C1D1内，,‎ ‎，‎ ‎，,‎ ‎ ． ‎ ‎,‎ 面A1C⊥面AB1D1 ． ‎ 点睛：处理直线、平面平行问题时应注意的事项(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误。(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行。(3)两个平面平行，两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线、异面直线。‎ 三、解答题 ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）求解不等式；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）对x分类讨论解不等式得解；（2）由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，解得.‎ 当时，，解得.‎ 所以不等式解集为或.‎ ‎（2），‎ 当且仅当，即时取等号.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的图象与轴有两个交点，且两交点之间的距离不超过5，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】(1)将m=3代入转化为二次不等式求解即可；（2）由题意分析可得方程有两个不同实根，利用根与系数的关系及求解即可，注意.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，‎ 则等价于，‎ 解得或，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（2）设的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的两个根，由根与系数的关系得，．‎ 由题意可得即 解得或．‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 在求解含参二次方程的问题时，要注意判别式的情况.‎ ‎20．如图，在三棱柱中，，，，平面.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先根据平面得到，再根据为等腰直角三角形得到，从而平面.‎ ‎（2）利用可得所求距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以.‎ 因为，，所以，‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）设点到平面的距离为，‎ 因为平面，所以，.‎ 则，，又，所以是等边三角形，‎ 故.‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.点到平面的距离的计算可利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.‎ ‎21．某电子产品生产企业生产一种产品，原计划每天可以生产吨产品，每吨产品可以获得净利润万元，其中，由于受市场低迷的影响，该企业的净利润出现较大幅度下滑．为提升利润，该企业决定每天投入20万元作为奖金刺激生产．在此方案影响下预计每天可增产吨产品，但是受原材料数量限制，增产量不会超过原计划每天产量的四分之一．试求在每天投入20万元奖金的情况下，该企业每天至少可获得多少利润(假定每天生产出来的产品都能销售出去)．‎ ‎【答案】企业每天至少可获得2005万元的利润．‎ ‎【解析】根据题意，利用增产量不会超过原计划每天产量的四分之一列出表达式，再根据可算出，又，所以，再根据题意可设每天可获得利润为万元，列出的表达式，再根据则可利用不等式求范围问题求得的最小值，即每天至少获得的利润。‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得，每天投入20万元奖金后．每天增产产品吨数，‎ 因为．所以，‎ 因为，所以，即.‎ 又因为，所以．‎ 设每天投入20万元奖金后，该企业每天可获得利润为万元，则 ‎，‎ 整理得 令，可得在上为增函数，从而．‎ 又可转化为 所以 当且仅当，即时，有最小值2005，‎ 即有最小值2005万元，故该企业每天至少可获得2005万元的利润．‎ ‎【点睛】‎ 本题中的是未知量，但题目中给了关于的不等式，有意识地去讨论的范围，则可得为定值，此题便可迎刃而解。‎ ‎22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，是棱上一点．‎ ‎（1）证明：平面平面．‎ ‎（2）若，为点在平面上的投影，，，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面 ‎，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）取AB中点F，由平面的基本性质可得C,E,O,F确定一个平面，且点O在PF上，利用相似比可得，由，将四棱锥的体积转化为求解三棱锥D-AOP的体积，利用等体积转化法即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以．‎ 又，，所以平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）解：取的中点，所以，则．‎ 又，，所以平面，‎ 则，即点在线段上．‎ 又，所以，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎【点睛】‎ 空间几何体体积问题的3种类型及解题策略 ‎(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．‎ ‎(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．‎ ‎(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎