海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题

海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题

海南中学 2020 届高三年级摸底考试 数学试题 命题人：余书胜 审核人：文德良 （考试用时为 120 分钟，满分分值为 150 分.） 注息事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．集合  2| 4 3 0P x x x    ，  |2Q y y x   ，则 PQ （ ）. A．[1,3] B．[2,3] C．[0, ) D． 2．i 是虚数单位，则复数 2i iz  在复平面上对应的点位于（ ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点 在幂函数 图像上，设 ， ， ， 则 、 、c 的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 4．某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有 2400 人，中部丘陵地区的学生有 1600 人，西部山区的学生有 1000 人．计划从中选取 100 人调查学生的视力情况，现已了解到来 自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差 异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）. A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 系统抽样 D. 按地区分层抽样 5．已知等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，若 5 10S  ， 10 40S  ，则 15S （ ）. A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 6．函数 () 2ln xfx x 的图象大致是( ). A B C D 7．若 O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA    ，则△ABC 的形状为（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 8．从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生 物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面 体的体积V  ( ) . A． 21 6 B． 1 C． 6 2 D． 2 21 10．已知椭圆 22 :143 xyC 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 2F 且斜率为1的直线l 交椭 圆C 于 A 、 B 两点，则 1F AB 的面积为（ ）. A． 62 7 B． 43 7 C．12 2 7 D． 83 7 11． ( ) 2sin( )f x x（ 0  ， π 2  ），满足 2π( ) ( )3f x f x   ，且对任意 x R, 都有 π( ) ( )4f x f ．当 取最小值时，函数 )(xf 的单调递减区间为 （ ）. A． π π π π[ , ]12 3 4 3 kk， k Z B． π π[2π,2π]12 4kk， k Z C． π π π π[ , ]12 3 12 3 kk   ， k Z D． π π[2π,2π]12 12kk   ， k Z 12.设函数  fx是定义在 R 上的偶函数, 对任意 xR ,都有    4f x f x,且当  2,0x 时, 1)2 1()(  xxf , 若在区间 ( 2,6] 内关于 x 的方程      log 2 0 1af x x a    恰有三个不同的实数根, 则 a 的取值范围是（ ）. A． )3,0( B． )2,4(3 C． )2,4[3 D． ]2,4[3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知  1,3a ， b  1, t ，若 2a b a，则a 与b 的夹角为 ． 14．当  1,2x 时，不等式 2 20x mx   恒成立，则 m 的取值范围是 ． 15．已知        9 2 112 0 1 2 111 2 1 1 1x x a a x a x a x          ，则 1 2 11a a a   的值为 . 16 ． 若 直 线 y kx b是 曲 线 exy  的 切 线 ， 也 是 曲 线 ln( 2)yx的 切 线 ， 则 k  ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知 2(2sin ,cos ), ( 3cos ,2) ( ) .a x x b x f x a b   ， 求 的最小正周期及单调递减区间； 求函数 ()fx在区间[0, ]2  上的最大值和最小值． 18．（12 分）已知正数数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 2S  ， 4 16S  ，{ 1}na  是等 比数列 （1）求数列 }{ na 的通项公式； （2）设 2log (3 3)nnba，求数列 1 1{} nnbb 的前 n 项和． 19．（12 分） “中国人均读书 4.3 本（包括网络文学和教科书），比韩国的 11 本、法国的 20 本、日本的 40 本、犹太人的 64 本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被 各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国 民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提 高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不 同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随 机抽取了一天 40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段： [20,30）， [30,40）， [40,50）， [50,60）， [60,70），  70,80 后得到如图所示的频率分布直方图．问： （1）估计在 40 名读书者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求 40 名读书者年龄的平均数和中位数； （3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取 2 名， 求这两名读书者年龄在[30,40）的人数 X 的 分布列及数学期望． 20．（12 分）如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 点 为 的中点. （1）证明： ； （2）若点 为线段 的中点，平面 平面 ， 求二面角 的余弦值. 21．（12 分）已知椭圆 22 221( 0)xy abab    ， (2 0)A ， 为椭圆与 x 轴的一个交点，过原点O 的直线交椭圆于 ,BC两点，且 • 0AC BC  ， 2BC AC . （1）求此椭圆的方程； （2）若  ,P x y 为椭圆上的点且 P 的横坐标 1x  ，试判断 •PB PCkk是否为定值？若是定 值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 22．（12 分）己知 ; (1)讨论函数的单调性; (2)当 ， )时，函数有两个零点 ，证明: .