数学理卷·2019届宁夏育才中学勤行校区高二12月月考（2017-12）

数学理卷·2019届宁夏育才中学勤行校区高二12月月考（2017-12）

高二理科数学考试卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 5.0 分,共 60 分) 1.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为(　　) A ． y2 ＝ 8x B ． x2 ＝ y C ． y2 ＝ 8x 或 x2 ＝ y D．无法确定 2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 的位置关系为(　　) A ． 相 切 B ． 相 交 C ． 相 离 D．不确定 3.已知 A(－1,0)，B(1,0)，且＝0，则动点 M 的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝ 2(x≠± ) 4.抛物线 y2=12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是(　　) A．5　　　 　 B．4　　 　　C．3　　 　D．2 5.过椭圆 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长为(　　) A．5 B．6 C． D．7 6.下列命题中正确的是(　　) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb 7.已知双曲线方程为 x2－ ＝1，过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则 l 的条数为 (　　) A．4　 　 B．3 C．2 D．1 8.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 9.双曲线 x2－ ＝1 的离心率大于 的充分必要条件是(　　) A ． m> B ． m≥1 C ． m>1 D．m>2 10.方程(x2＋y2－4) ＝0 的曲线形状是(　　) 11.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 y 轴上， 一条渐近线的方 程为 x－2y＝0，则它的离心率为 (　　)． A ． B ． C ． D．2 12.如下图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是(　　) A．－ a＋ b＋c　 　B． a＋ b＋c C．－ a－ b＋c D． a－ b＋c 二、填空题(共 4 小题,每小题 5.0 分,共 20 分) 13.已知动圆 P 与定圆 C：(x＋2)2＋y2＝1 相外切，又与定直线 l：x＝1 相 切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是________． 14.如下图，椭圆的中心在坐标原点，当 ⊥ 时，此类椭圆称为“黄金 椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率 e＝________. 15.已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上，那么点 P 到点 Q(2，－1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为________． 16.如下图，在空间四边形 OABC 中， ＝a， ＝b， ＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝ 2MA，N 为 BC 的中点，则用向量 a，b，c 表示向量 ＝________. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 三、解答题(共 6 小题,每小题 12.0 分,共 72 分) 17.已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线，被抛物线所截 得的弦长为 6，求抛物线方程． 18.已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 19.经过点 M(2,2)作直线 l 交双曲线 x2－ ＝1 于 A，B 两点，且 M 为 AB 中点． (1)求直线 l 的方程； (2)求线段 AB 的长． 20.如下图所示，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分 别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PNM、N)为切点，使得|PM|＝ |PN|. 试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 21.如下图所示，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别在 B1B 和 D1D 上，且|BE|＝ |BB1|，|DF|＝ |DD1| (1)求证：A、E、C1、F 四点共面； (2)若 ＝x ＋y ＋z ，求 x＋y＋z 的值． 22.已知双曲线 C1:x2- =1. (1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P(4, )的双曲线 C2 的标准方程. (2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A,B 两点.当 · =3 时,求实数 m 的值. 高二数学考试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 分卷 I 一、选择题(共 12 小题,每小题 5.0 分,共 60 分) 1.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x 或 x2＝y D．无法确定 【答案】C 【解析】选 C.由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝2py(p ＞0)，将点(2,4)代入可得 p＝4 或 p＝ ，所以所求抛物线标准方程为 y2＝8x 或 x2＝y， 故选 C. 2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 的位置关系为( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】直线 y＝kx－k＋1 恒过定点(1,1)．又∵ <1，∴点(1,1)在椭圆 内部． ∴直线 y＝kx－k＋1 与椭圆相交．故选 B. 3.已知 A(－1,0)，B(1,0)，且＝0，则动点 M 的轨迹方程是( ) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝2(x≠± ) 【答案】A 【解析】设动点 M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)． 由＝0，得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，即 x2＋y2＝1.故选 A. 4.抛物线 y2=12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由题知抛物线的准线方程为 x=-3,设 P(x,y),则 x+3=8,∴x=5. 5.过椭圆 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长为( ) A．5 B．6 C． D．7 【答案】C 【解析】椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为 k＝1，∴直线 AB 的方程为 y＝x－4， 由 得 9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝ . 6.下列命题中正确的是( ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb 【答案】C 【解析】当 b＝0 时，a 与 c 不一定共线，所以 A 错．由共面向量的定义知，B 错．当 a 与 b 是非零向量时，D 正确．但命题中没有非零向量这个条件，所以 D 错． 7.已知双曲线方程为 x2－ ＝1，过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则 l 的条数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】数形结合知，过点 P(1,0)有一条直线 l 与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行， 这三条直线与双曲线只有一个公共点． 8.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，△BF1F2 是正三角形，∵在 Rt△OBF2 中，|OF2|＝c，|BF2|＝a， ∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，∴ ＝ ， 即椭圆的离心率 e＝ ，故选 A. 9.方程(x2＋y2－4) ＝0 的曲线形状是( ) A．答案 A B．答案 B C．答案 C D．答案 D 【答案】C 【解析】原方程可化为 或 x＋y＋1＝0. 显然方程表示直线 x＋y＋1＝0 和圆 x2＋y2－4＝0 在直线 x＋y＋1＝0 的右上方部分，故选 C. 10.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 y 轴上， 一条渐近线的方 程为 x－2y＝0，则它的离心率为 ( )． A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知，这条渐近线的斜率为 ，即 ＝ ，而 e＝ ＝ ＝ ＝ ，故选 A. 11.如下图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是( ) A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c C．－ a－ b＋c D． a－ b＋c 【答案】A 【解析】 ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝c＋ (b－a)＝－ a＋ b＋c. 12.双曲线 x2－ ＝1 的离心率大于 的充分必要条件是( ) A．m> B．m≥1 C．m>1 D．m>2 【答案】C 【解析】双曲线 x2－ ＝1 中，a＝1，b＝ ，则 c＝ ，离心率 e＝ ＝ > ， 解得 m>1. 分卷 II 二、填空题(共 4 小题,每小题 5.0 分,共 20 分) 13.已知动圆 P 与定圆 C：(x＋2)2＋y2＝1 相外切，又与定直线 l：x＝1 相切，那么动圆的圆 心 P 的轨迹方程是 ________． 【答案】y2＝－8x 【解析】设 P(x，y)，动圆 P 在直线 x＝1 的左侧，其半径等于 1－x，则|PC|＝1－x＋1， 即 ＝2－x，整理得 y2＝－8x. 14.如下图，椭圆的中心在坐标原点，当 ⊥ 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄 金椭圆”的离心率 e＝________. 【答案】 【解析】设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)．由题意得 ∵ ⊥ ，∴|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，∴(a＋c)2＝a2＋b2＋a2，∴c2＋ac－a2＝0. ∴e2＋e－1＝0，又 00)，则焦点 F ，直线 l 为 y＝x－ . 设直线 l 与抛物线的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，过 A、B 分别向抛物线的准线作垂线 AA1、 BB1，垂足分别为 A1、B1. 则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1| ＝ ＋ ＝x1＋x2＋p＝6， ∴x1＋x2＝6－p.① 由 消去 y，得 2＝2px， 即 x2－3px＋ ＝0. ∴x1＋x2＝3p，代入①式得：3p＝6－p，∴p＝ . ∴所求抛物线标准方程是 y2＝3x. 当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2＝－3x. 综上，抛物线方程为 y2＝±3x. 18.已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得 ，消 y 整理得：5x2＋2mx＋m2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0， ∴－ ≤m≤ . (2)设直线与椭圆交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由(1)得 ∴|AB|＝ |x1－x2|＝ · ＝ · ＝ . ∵－ ≤m≤ ，∴0≤m2≤ ， ∴当 m＝0 时，|AB|取得最大值，此时直线方程为 y＝x，即 x－y＝0. 19.经过点 M(2,2)作直线 l 交双曲线 x2－ ＝1 于 A，B 两点，且 M 为 AB 中点． (1)求直线 l 的方程； (2)求线段 AB 的长． 【答案】见解析 【解析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 . ①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－ ＝0. 又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴ ＝4＝k. ∴直线 l 的方程为 y－2＝4(x－2)，即 4x－y－6＝0. (2)由 得 3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝ . ∴|AB|＝ ＝ . 20.如下图所示，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的 切线 PM、PN(M、N)为切点，使得|PM|＝ |PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨 迹方程. 【答案】见解析 【解析】以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如下图所示的坐标系， 则 O1(－2,0)，O2(2,0).由已知|PM|＝ PN|，∴|PM|2＝2|PN|2. 又∵两圆的半径均为 1，∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设 P(x，y)， 则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点 P 的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33 . 21.如下图所示，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别在 B1B 和 D1D 上，且|BE|＝ |BB1|， |DF|＝ |DD1| (1)求证：A、E、C1、F 四点共面； (2)若 ＝x ＋y ＋z ，求 x＋y＋z 的值． 【答案】(1)证明：∵ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝( ＋ )＋( ＋ )＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋ . ∴A、E、C1、F 四点共面． (2)∵ ＝ － ＝ ＋ －( ＋ )＝ ＋ － － ＝－ ＋ ＋ ， ∴x＝－1，y＝1，z＝ ，∴x＋y＋z＝ . 【解析】 22.已知双曲线 C1:x2- =1. (1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P(4, )的双曲线 C2 的标准方程. (2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A,B 两点.当 · =3 时,求实数 m 的值. 【答案】见解析 【解析】(1)双曲线 C1 的焦点坐标为( ,0),(- ,0), 设双曲线 C2 的标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 解得 ∴双曲线 C2 的标准方程为 -y2=1. (2)双曲线 C1 的渐近线方程为 y=2x,y=-2x.设 A(x1,2x1),B(x2,-2x2). 由 消去 y 化简得 3x2-2mx-m2=0, 由 Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得 m≠0.∵x1x2=- , · =x1x2+(2x1) (-2x2)=-3x1x2,∴m2=3,即 m=± .