数学理卷·2018届河北省衡水中学高三上学期二调考试（2017

数学理卷·2018届河北省衡水中学高三上学期二调考试（2017

‎2017—2018学年度上学期高三年级二调考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）‎ A．63或120 B．256 C．120 D．63 ‎ ‎4.的展开式中的系数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．12 ‎ ‎5.已知中，，则为（ ）‎ A．等腰三角形 B．的三角形 C．等腰三角形或的三角形 D．等腰直角三角形 ‎6.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（ ）‎ A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于点 对称 D．关于直线对称 ‎ ‎9.设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为（ ）‎ A．5 B．3 C．1或3 D．1 ‎ ‎12.已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则 ．‎ ‎14.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为 ．‎ ‎15.数列满足，则数列的前100项和为 ．‎ ‎16.函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：‎ ‎①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；‎ ‎②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；‎ ‎③设点，是抛物线上不同的两点，则；‎ ‎④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．‎ 其中真命题的序号为 ．（将所有真命题的序号都填上）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎18.如图所示，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），点坐标为，平行四边形的面积为．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎19.已知数列满足对任意的都有，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．‎ ‎21.已知函数（其中，为自然对数的底数，…）．‎ ‎（1）若函数仅有一个极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：当时，函数有两个零点，，且．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求的取值范围．‎ ‎2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15.5100 16.②③‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，在中，由余弦定理得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ 所以，‎ 所以．‎ 因为点在边上，所以，‎ 而，‎ 所以只能为钝角，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎18.解：（1）由已知得，，的坐标分别为，，，因为四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为平行四边形的面积为，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以当时，的最大值为．‎ ‎（2）由题意知，，，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以．‎ 由，，‎ 得，，‎ 所以，，‎ 所以．‎ ‎19.解：（1）由于，①‎ 则有，②‎ ‎②—①，得，‎ 由于，所以，③‎ 同样有，④‎ ‎③—④，得，‎ 所以（）．‎ 由，，得，．‎ 由于，即当时都有，‎ 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则，‎ 所以 ‎．‎ 因为，‎ 所以数列单调递增，所以．‎ 要使不等式对任意正整数恒成立，只要．‎ 因为，所以，‎ 所以，即．‎ 所以，实数的取值范围是．‎ ‎20.解：（1），‎ 函数的定义域为．‎ 当时，，则在区间内单调递增；‎ 当时，令，则或（舍去负值），‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数．‎ 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）由，得，‎ 因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．‎ 令，则，‎ 令，则在区间内单调递增，‎ 由，，‎ 所以存在唯一，使，即，‎ 所以当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 所以时，，所以，‎ 又，则,‎ 因为，所以，‎ 故整数的最小值为2．‎ ‎21.解：（1），‎ 由，得或（）．‎ 由于仅有一个极值点，‎ 所以关于的方程（）必无解．‎ ‎①当时，（）无解，符合题意；‎ ‎②当时，由（）得，‎ 故由，得．‎ 由于这两种情况都有当时，，于是为减函数，当时，，于是为增函数，所以仅为的极值点．‎ 综上可得的取值范围是．‎ ‎（2）证明：由（1）得，当时，为的极小值点，‎ 又因为对于恒成立，‎ 对于恒成立，‎ 对于恒成立，‎ 所以当时，有一个零点，‎ 当时，有另一个零点，‎ 即，且，‎ ‎（），‎ 所以．‎ 下面再证明，即证，‎ 由，得，‎ 由于时，为减函数，‎ 于是只需证明，也就是证明，‎ ‎，‎ 借助（）式代换可得，‎ 令，‎ 则，‎ 因为在区间内为减函数，且，‎ 所以在区间内恒成立，于是在区间内为减函数，‎ 即，‎ 所以，这就证明了．‎ 综上所述，．‎ ‎22.解：（1）设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有 因为（为参数），所以（为参数），所以．‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的普通方程化为极坐标方程得．‎ 设，，则，，‎ 则．‎ ‎23.解：（1）当时，．‎ 由，得．‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；‎ 当时，不等式等价于，解得，所以．　‎ 故原不等式的解集为．　‎ ‎（2），‎ 因为原命题等价于，‎ 所以，所以．‎