数学卷·2019届北京市东城区第27中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

数学卷·2019届北京市东城区第27中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

北京市第27中学2017—2018学年第一学期期中考试试卷 高二数学（文科）‎ 第一部分 一、选择题：（每小题3分，共36分）‎ ‎1. 直线的倾斜角是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线为，‎ 倾斜角，，‎ 故选．‎ ‎2. 在平面直角坐标系中，过点且斜率为的直线不经过（ ）．‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知条件可知直线方程为，图像不过第三象限 考点：直线方程 ‎3. 直线必过定点（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 当时，，‎ 直线过定点，‎ 故选．‎ ‎4. 若直线与直线平行，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】两直线平行，则．‎ 即．‎ 故选．‎ ‎5. 已知，，，则的边上的中线所在的直线方程为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知AB的中点坐标为（0,3），又点C（5,2）所以中线的直线方程根据两点式可得：x+5y-15=0‎ ‎6. 若轴的正半轴上的到原点与点到原点的距离相等，则的坐标是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎7. 圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 ‎【答案】D ‎【解析】圆为，‎ 圆为，‎ 两圆心分别为和，‎ 圆心距为 ‎，‎ 即两圆相交．‎ 故选．‎ ‎8. 已知、为椭圆上的两点，，为其两焦点，直线经过点，则 的周长为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】椭圆为，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 故选．‎ 点睛：本题重点考查了椭圆的定义，把的周长理解为A，B两点分别到两个焦点的距离之和，处理椭圆问题定义是其最根本的性质.‎ ‎9. 已知点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 整理得．‎ ‎10. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题知，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）．‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：直线与直线平行，设直线的方程为；直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即，得，所以直线的方程为或.故选D.‎ 考点：两直线的位置关系；直线与圆的位置关系；点到直线的距离.‎ ‎12. 已知直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），那么的值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】O为圆的圆心，所以易知，则圆心O到直线的距离等于，根据点到直线距离公式有，所以，故选择B.‎ 方法点睛：直线与圆相交时，通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形，利用勾股定理来解题.本题根据等腰三角形顶角为，底角为，弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形，根据几何图形，转化为圆心到直线的距离等于半径的一半来求解，考查数形结合思想方法在解题中的应用.‎ 第二部分 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎13. 若斜率为的直线经过点，，则实数__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】，‎ 解得．‎ ‎14. 圆的圆心坐标是__________；半径为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 圆心，半径为．‎ 故答案为：‎ ‎15. 已知，且，那么直线不通过第__________象限．‎ ‎【答案】三 ‎【解析】直线化为，‎ ‎∵，，设，．‎ ‎∴图像不经过第三象限．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】到的距离为，‎ ‎∴．‎ ‎17. 直线与直线间的距离是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两直线可化为与，‎ 直线间距离．‎ 点睛：利用两平行直线距离公式求距离时，注意系数的关系，当系数不一致时，先要统一系数，然后再利用公式求距离.‎ ‎18. 已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆C的圆心(a,b),因为圆C的圆心与圆O:x2+y2=1的圆心关于直线l:x+y−2=0对称，‎ 所以，解得a=2，b=2；‎ 又圆的半径为1，则所求圆的方程为：(x−2)2+(y−2)2=1.‎ ‎19. 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则__________；__________．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 2‎ ‎【解析】试题分析：依题意有,结合,解得.‎ ‎【考点】双曲线的基本概念 ‎【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.‎ ‎ ‎ ‎20. 由动点向圆引两条切线、切点分别为、，若，则动点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴是等边三角形，‎ 为定值，‎ ‎∴点轨迹方程为．‎ 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ 三、解答题（共40分）‎ ‎21. 已知三角形三顶点，，，求：‎ ‎（）过点且平行于的直线方程．‎ ‎（）边上的高所在的直线方程．‎ ‎【答案】（）（）‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.‎ 试题解析：（1）设所求直线的方程为，由题意得：，所以所求方程：，即.‎ ‎（2）设直线的方程为，由题意得：，所以所求方程：即.‎ ‎22. 求圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据圆中的弦的垂直平分线过圆心求出弦AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可求出圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆的半径，即可写出圆的标准方程．‎ 试题解析：‎ ‎∵，‎ 中点，‎ ‎∴中垂线为，‎ 整理得，‎ 联立，‎ 解出，，‎ ‎∴圆心为，‎ 半径为，圆为．‎ ‎23. 已知圆与直线，证明不论取何值，直线和圆总有两个不同的交点．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：）将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，要证直线与圆有两个不同的公共点得到直线与圆相交，即d小于r，即证，配方后即可得证.‎ 试题解析：‎ 证明：将圆化成标准方程，‎ 圆心为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 即无论取何值，直线与圆总相交，有两个不同的交点．‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系方法有二：方法一（代数方法）联立方程转化成关于x的二次方程，利用判断位置关系；方法二（几何方法）利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断.‎ ‎24. 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：求直线与椭圆相交的中点弦问题可采用点差法，设出两交点坐标A ‎（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，两式相减，借助于中点坐标公式可得到直线的斜率，进而求得直线方程 试题解析：设直线与椭圆的交点为 A（x1，y1）、B（x2，y2），M（2,1）为AB的中点．‎ ‎∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．又A、B两点在椭圆上，‎ 则．‎ 两式相减得 于是（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0．‎ ‎，即kAB＝－．‎ 故所求直线方程为x＋2y－4＝0．‎ 考点：直线与椭圆相交的中点弦问题 ‎ ‎ ‎ ‎