2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练67 几何概型

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2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练67 几何概型

课时分层训练(六十七) 几何概型 ‎(对应学生用书第269页)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在区间[0,π]上随机取一个实数x,使得sin x∈的概率为(  )‎ A.   B.   C.   D. C [由0≤sin x≤,且x∈[0,π],‎ 解得x∈∪.‎ 故所求事件的概率P==.]‎ ‎2.若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(  )‎ 图1066‎ A.    B. C. D. B [设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A,则P(A)===.]‎ ‎3.(2018·深圳二调)设实数a∈(0,1),则函数f(x)=x2-(2a+1)x+a2+1有零点的概率为(  ) 【导学号:97190368】‎ A. B. C. D. D [由函数f(x)=x2-(2a+1)x+a2+1有零点,可得Δ=(2a+1)2-4(a2+1)=4a-3≥0,解得a≥,即有≤a<1,结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P==,故选D.]‎ ‎4.(2018·湖北调考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x,则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为(  )‎ A. B. C. D. D [如图所示,设与y=x平行的两直线AD,BF交圆C于点A,D,B,F,且它们到直线y=x的距离相等,过点A作AE垂直于直线y=x,垂足为E,当点A到直线y=x的距离为1时,AE=1,又CA=2,则∠ACE=,所以∠ACB=∠FCD=,所以所求概率P==,故选D.]‎ ‎5.已知正三棱锥SABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得VPABC<VSABC的概率是(  )‎ A. B. C. D. A [当点P到底面ABC的距离小于时,‎ VPABC<VSABC.‎ 由几何概型知,所求概率为P=1-=.]‎ ‎6.(2018·西宁检测(一))已知平面区域D1={(x,y)||x|<2,|y|<2},D2={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2<4},在区域D1内随机选取一点P,则点P恰好取自区域D2的概率是(  )‎ A. B. C. D. C [平面区域D1是边长为4的正方形,面积是16,其中区域D1与D2的公共部分是半径为2的圆,其面积为×π×22=π,则所求概率为,故选C.]‎ ‎7.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(  )‎ A. B. C. D. C [因为x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn都在区间[0,1]内随机抽取,所以构成的n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)都在正方形OABC内(包括边界),如图所示.若两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得=,即=,所以π=.]‎ 二、填空题 ‎8.如图1067所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为________.‎ 图1067‎  [如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,则OA落在∠yOT内的概率为=.]‎ ‎9.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.‎  [由已知条件,可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型,可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P==.]‎ ‎10.正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D ‎(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图1068所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是________. 【导学号:97190369】‎ 图1068‎  [由对称性,S阴影=4(1-x2)dx ‎=4=.‎ 又S正方形ABCD=2×2=4,‎ 由几何概型,质点落在阴影区域的概率P==.]‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎11.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为(  )‎ A.+π B.+ C.- D.- D [|z|=≤1,即(x-1)2+y2≤1,表示的是圆及其内部,如图所示.当|z|≤1时,y≥x表示的是图中阴影部分.‎ ‎∵S圆=π×12=π,‎ S阴影=-×12=.‎ 故所求事件的概率P===-.]‎ ‎12.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则(  )‎ A.p1,则p1<
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