北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 圆锥曲线 一、选择、填空题 ‎1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到轴的距离为_______．‎ ‎2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则 A. 1 B. 13 C. 17 D. 1或13‎ ‎3、（大兴区2019届高三上学期期末）抛物线的焦点到准线的距离等于 ．‎ ‎4、（东城区2019届高三上学期期末）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率_________.‎ ‎5、（房山区2019届高三上学期期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数 .‎ ‎6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为 ‎（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ ‎7、（海淀2019届高三上学期期末）双曲线的左焦点的坐标为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8、（石景山区2019届高三上学期期末）已知抛物线的准线为，与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则线段的长度为_____________．‎ ‎9、（通州区2019届高三上学期期末）若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则______ ．‎ ‎10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知点在抛物线 上，则 ；点到抛物线的焦点的距离是 .‎ ‎11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））双曲线的渐近线方程为 . ‎ ‎12、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为 ‎ (A)1 (B)2‎ ‎ (C)3 (D)4‎ ‎13、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））已知双曲线，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为_________________.‎ ‎14、（海淀区2019届高三一模）抛物线的焦点为，点在抛物线形上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为 ‎ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ‎ ‎15、（门头沟区2019届高三一模）双曲线的渐近线方程是 . ‎ ‎16、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））已知抛物线的焦点和双曲线的右焦点重合，则抛物线的标准方程为 ；为抛物线和双曲线的一个公共点，到双曲线左焦点的距离为 ．‎ ‎17、（西城区2019届高三一模）设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．‎ ‎18、（大兴区2019届高三一模）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是 .‎ 参考答案：‎ ‎1、4 2、B 3、 4、 5、‎ ‎6、D 7、A 8、1 9、 10、2；2‎ ‎11、 12、B 13、 ‎ ‎14、B　　　　15、　　16、 ，‎ ‎17、2　　18、‎ 二、解答题 ‎1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知椭圆过点 ，且离心率为.设为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于的一点，直线分别与直线相交于两点，且直线与椭圆交于另一点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线与的斜率之积为定值；‎ ‎（Ⅲ）判断三点是否共线，并证明你的结论.‎ ‎2、（朝阳区2019届高三上学期期末）过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合. 过作轴的垂线分别交直线，于,.‎ ‎（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎3、（大兴区2019届高三上学期期末）已知椭圆的离心率为，左顶点为，过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线和，分别交直线于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最小值；‎ ‎（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，椭圆的右顶点为，求证：，，三点共线．‎ ‎4、（东城区2019届高三上学期期末）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点，直线与椭圆的另一个交点为.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）当时，求的面积；‎ ‎（III）证明：直线与轴垂直.‎ ‎5、（房山区2019届高三上学期期末）已知椭圆：（）过点，且一个焦点坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点且与x轴不垂直的直线与椭圆C交于两点，若在线段上存在 点，使得以MP, MQ为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围.‎ ‎6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知椭圆C:的右焦点为，离心率为，直线与椭圆C交于不同两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线的倾斜角与直线的倾斜角互补.‎ ‎7、（海淀2019届高三上学期期末）已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的离心率；‎ ‎(Ⅱ) 当时，求的面积；‎ ‎（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .‎ ‎8、（石景山区2019届高三上学期期末） 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线交椭圆于、两点. 若，求证： 为定值.‎ ‎9、（通州区2019届高三上学期期末）已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若在直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．‎ ‎10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知椭圆的离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.‎ ‎11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆的一个焦点为，离心率为.为椭圆的左顶点，为椭圆上异于的两个动点，直线与直线分别交于两点.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若与的面积之比为，求的坐标；‎ ‎（III）设直线与轴交于点，若三点共线，求证：.‎ ‎12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎13、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模））已知椭圆的左顶点 与上顶点的距离为．‎ ‎ (I)求椭圆的方程和焦点的坐标；‎ ‎(Ⅱ)点在椭圆上，线段的垂直平分线分别与线段、轴、轴相交于不同的三点.‎ ‎(ⅰ)求证：点关于点对称；‎ ‎(ⅱ)若为直角三角形，求点的横坐标．‎ ‎14、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））已知椭圆的离心率为，经过点.设椭圆的右顶点为，过原点的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），且与线段交于点. ‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）是否存在直线，使得的面积是的面积的倍？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎15、（东城区2019届高三一模）已知为椭圆上两点，过点且斜率为的两条直线与椭圆的交点分别为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）若四边形为平行四边形，求的值．‎ ‎16、（海淀区2019届高三一模） 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点．‎ ‎ (I)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)当与垂直时，求的长；‎ ‎(Ⅲ)若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点．‎ ‎17、（石景山区2019届高三一模）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．‎ ‎18、（西城区2019届高三一模）已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最大值；‎ ‎ （Ⅲ）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）‎ 参考答案：‎ ‎1、解：（Ⅰ）根据题意可知解得 ‎ 所以椭圆的方程. ……4分 ‎（Ⅱ）根据题意，直线的斜率都存在且不为零.‎ 设，则.‎ 则.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ 所以直线与的斜率之积为定值. ……8分 ‎(III) 三点共线.证明如下：‎ 设直线的方程为，则直线的方程为.‎ 所以，,.‎ 设直线， ‎ 联立方程组消去整理得，.‎ 设，则所以, .‎ ‎ 所以.‎ 因为，,‎ ‎,.‎ 所以，所以三点共线. ……14分 ‎2、解：（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由 可求. ……………4分 ‎（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.‎ ‎ 当不与轴垂直时，‎ 设，，的方程为（）.‎ ‎ 由消去，整理得.‎ ‎ 则，.‎ 由已知，，‎ 则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.‎ 由已知，，则直线的方程为,令，得点 的纵坐标.把代入得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 把，代入到中，‎ ‎=.‎ 即，即. .…………14分 ‎ ‎3、解：（Ⅰ）由题意， ……1分 ‎ 离心率，所以． ……2分 ‎ 所以． ……3分 ‎ 所以椭圆的方程为． ……4分 ‎ （Ⅱ），由题意，设，， ……1分 ‎ 令得：，， ……2分 ‎ 所以. ‎ ‎ 设d为点F到直线l的距离，则的面积为 ‎ ……3分 ‎． ……4分 ‎ 当且仅当，‎ 即时，的面积的最小值为． ……5分 ‎ （Ⅲ）直线的方程为， ……1分 ‎ 由消元，得 ‎ ， ……2分 即， ‎ 设，则，‎ 所以．‎ 所以． ……3分 又，，‎ 所以 ……4分 所以，所以三点共线． ……5分 ‎4、解：（I） 由已知有解得 所以椭圆的方程为. ……………………………………5分 ‎（II）由消去，整理得.‎ 由已知，，解得.‎ 设，则 直线的方程为，到直线的距离.‎ 所以的面积为. …………………………………10分 ‎（III）当时，.‎ 此时直线的斜率为，由（II）知不符合题意，所以.‎ 设直线的斜率为.‎ 则直线的方程为.‎ 由消去，整理得.‎ 设，则有.‎ 由得，代入上式整理得，‎ 解得.‎ 因为，‎ 将，代入，整理得，‎ 所以. 所以直线与轴垂直. ……………………………………14分 ‎5、‎ ‎6、解：（Ⅰ）由题意得解得 ‎ 所以椭圆C的方程为 …………………5分 ‎（Ⅱ）设.‎ 由 得 ‎ 依题意，即.‎ 则 …………………8分 当或时，得，不符合题意. ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补. …………………14分 ‎7、解：（Ⅰ）‎ 因为，所以 ‎ 所以离心率 ‎ ‎（Ⅱ）设 ‎ 若，则直线的方程为 ‎ 由，得 ‎ 解得 ‎ 设，则 ‎ ‎（Ⅲ）法一：‎ 设点，‎ 因为，，所以 ‎ 又点，都在椭圆上，‎ 所以 ‎ 解得或 ‎ 所以 或 ‎ 法二：‎ 设 显然直线有斜率，设直线的方程为 ‎ 由， 得 ‎ 所以 ‎ ‎ 又 ‎ 解得 或 ‎ 所以 或 ‎ 所以 或 ‎ ‎8、解：（Ⅰ）依题意，. ‎ 由，得. ‎ ‎∴椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，‎ 则. ‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，‎ 设直线的斜率为，依题意，‎ 则直线的方程为，直线的方程为.‎ 设，，，，‎ 由得，‎ 则，， ‎ ‎. ‎ 由整理得，则.‎ ‎. ‎ ‎∴.‎ 综合（1）（2），为定值. ‎ ‎9、解：（Ⅰ）由题意得 …………………………………………3分 解得．　　　　　　 ‎ ‎ 所以椭圆的方程为． 　…………………………………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，．　　　　 ………………………………5分 由得.　　　………………………………7分 ‎ 令，得． ………………………………8分 ‎，． …………………………………………9分 因为是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 所以平行于轴． …………………………………………10分 过做于，则为线段的中点．‎ 设点的坐标为，则．　 ………………………12分 由方程组得，即． ……………13分 而， ‎ 所以直线的方程为． ………………………………………………14分 ‎10、（Ⅰ）由题意可得 解得 ‎ 所以椭圆的方程为. ………….4分 ‎（Ⅱ）直线恒过轴上的定点.证明如下 （1） 当直线斜率不存在时，直线的方程为,‎ 不妨设，，.‎ 此时，直线的方程为：，所以直线过点.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设，,.‎ 由得.‎ 所以.‎ 直线，令，得，‎ 所以 ‎.‎ 由于，所以.‎ 故直线过点.‎ 综上所述，直线恒过轴上的定点. ………….14分 ‎ ‎11、解：（I）由题意得解得 因为，所以.‎ 所以椭圆的方程为. ………………………………4分 ‎（II）因为与的面积之比为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 设，则，‎ 解得.‎ 将其代入，解得.‎ 所以的坐标为或. ……………………………… 8分 ‎（III）设，‎ 若，则为椭圆的右顶点，由三点共线知，为椭圆的左顶点，‎ 不符合题意.‎ 所以.同理.‎ 直线的方程为.‎ 由消去，整理得.‎ 成立.‎ 由，解得.‎ 所以.‎ 所以.‎ 当时，，，即直线轴. ‎ 由椭圆的对称性可得.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 当时，，‎ 直线的斜率.‎ 同理.‎ 因为三点共线，‎ 所以.‎ 所以.‎ 在和中，‎ ‎，，‎ 所以.‎ 因为均为锐角，‎ 所以.‎ 综上，若三点共线，则. ………………………………14分 ‎12、解：（Ⅰ）由题知解得 …………………3分 ‎ 所以求椭圆的方程为． …………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 当直线的斜率不存在时，直线的方程为．‎ ‎ 由解得或 ‎ 得或；均有．‎ 猜测存在． …………………6分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．‎ ‎ 由得．‎ 则 …………………8分 故 …………………9分 ‎ ‎ ‎ …………………13分 所以存在常数使得恒成立 …………………14分 ‎13、解：(Ⅰ) 依题意，有 ‎ 所以 ‎ 椭圆方程为 ‎ 焦点坐标分别为 ‎ ‎（Ⅱ）(i)方法1：‎ 设，则 ‎ 依题意，‎ 所以 ‎ 所以直线的斜率 ‎ 因为，所以 ‎ 所以直线的斜率 ‎ 所以直线的方程为 ‎ 令，得到 ‎ 因为 ‎ 所以 ， 所以 ‎ 所以是的中点，所以点关于点对称 ‎ 方法2：‎ 设，直线的方程为 联立方程 消元得 ‎ 所以 所以 ‎ 所以 所以，‎ 所以 ‎ 因为，所以 ‎ 所以直线的方程为 令，得到 ‎ 所以 ‎ 所以是的中点，所以点关于点对称 ‎ 方法3：‎ 设，直线的方程为 ‎ 联立方程 ‎ ‎ 消元得， ‎ ‎ 因为，所以 ‎ 所以， ‎ 所以 ‎ 因为，所以 ‎ 所以直线的方程为 ‎ 令，得到 ，所以 ‎ 所以是的中点，所以点关于点对称 ‎ ‎（ii）方法1：‎ 因为为直角三角形， 且，所以为等腰直角三角形 所以 ‎ 因为，‎ 即 ‎ 化简，得到，解得（舍）‎ 即点的横坐标为 ‎ 方法2： ‎ 因为为直角三角形， 且，所以，‎ 所以 因为，，‎ 所以， ‎ 所以 即 ‎ 因为 ‎ 化简，得到，解得（舍）‎ 即点的横坐标为 ‎ 方法3：‎ 因为为直角三角形，且，所以 所以 ‎ 因为，，‎ 所以 ‎ 化简得到 因为 ‎ 化简，得到，解得（舍）‎ 即点的横坐标为 ‎ 方法4：‎ 因为为直角三角形，所以 所以点都在以为直径的圆上，‎ 因为，，‎ 所以有 ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 化简，得到，解得（舍）‎ 即点的横坐标为 ‎ ‎14、解：（I）由题意可知：，解得. ‎ 所以椭圆的标准方程为. ….5分 ‎（Ⅱ）设，则，易知，.‎ 若使的面积是的面积的倍，只需使得，‎ 即，即.‎ 由，，所以直线的方程为.‎ 点在线段上，所以，整理得，①‎ 因为点在椭圆上，所以，② ‎ 把①式代入②式可得，因为判别式小于零，该方程无解.‎ 所以，不存在直线，使得的面积是的面积的倍. ….13分 ‎15、解：（I）由题意得解得 所以椭圆的方程为. ‎ 又， ‎ 所以离心率. ………………………..5分 ‎（II）设直线的方程为，‎ 由消去，整理得.‎ 当时，设，‎ 则，即.‎ 将代入，整理得，所以.‎ 所以.所以.‎ 同理.‎ 所以直线的斜率.‎ 又直线的斜率，所以.‎ 因为四边形为平行四边形，所以.‎ 所以，解得或.‎ 时，与重合，不符合题意，舍去.‎ 所以四边形为平行四边形时，. ………………………………13分 ‎16、解：（Ⅰ）因为，所以 ‎ 因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，‎ 所以 ‎ 又 ‎ ‎ 所以 ， ‎ ‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎ （Ⅱ）方法一：‎ ‎ 设 ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，（舍） ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 方法二：‎ ‎ 设，‎ ‎ 因为与垂直，‎ ‎ 所以点在以为直径的圆上， ‎ ‎ 又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为 ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎，（舍） ‎ 所以 ‎ 方法三：‎ 设直线的斜率为， ，其中 ‎ ‎ ‎ 化简得 ‎ 当时， ‎ 得 ， ‎ 显然直线存在斜率且斜率不为0.‎ ‎ 因为与垂直，‎ 所以 ‎ 得，， ‎ 所以 ‎ ‎（Ⅲ）直线恒过定点 ‎ ‎ 设，，‎ 由题意，设直线的方程为，‎ ‎ 由 得，‎ ‎ 显然，，则，，‎ ‎ 因为直线与平行，所以，‎ 则的直线方程为，‎ 令，则，即 ‎ ‎，‎ 直线的方程为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，得 ‎ 因为，故，‎ 所以直线恒过定点. ‎ ‎17、解：（Ⅰ）依题可知， ‎ ‎ 因为 ，‎ 所以 ‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切． ‎ 证明如下：由题意可设直线的方程为．‎ 则点坐标为，中点的坐标为， ‎ 由得 ‎． ‎ 设点的坐标为，则．‎ 所以，． ‎ 因为点坐标为，‎ ① 当时，点的坐标为，直线的方程为，‎ 点的坐标 为．‎ 此时以为直径的圆与直线相切． ‎ ② 当时，直线的斜率．‎ 所以直线的方程为,即． ‎ 故点到直线的距离 ‎ ‎ ‎（或直线的方程为,‎ 故点到直线的距离 ‎）‎ 又因为 ，故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切． ‎ 解法二:‎ ‎（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切． ‎ 证明如下: 设点,则 ① 当时,点的坐标为，直线的方程为， ‎ 点的坐标为， ‎ 此时以为直径的圆与直线相切， ‎ ② 当时直线的方程为， ‎ 点D的坐标为,中点的坐标为,故 ‎ 直线的斜率为, ‎ 故直线的方程为,即, ‎ 所以点到直线的距离 ‎ 故以为直径的圆与直线相切．‎ 综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切． ‎ ‎18、解：（Ⅰ）由题意，得 , 解得. ……………… 1分 所以椭圆方程为. ……………… 2分 故，，.‎ 所以椭圆的离心率. ……………… 4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，‎ ‎ 代入椭圆的方程，得，，‎ ‎ 又因为，，‎ ‎ 所以四边形的面积. ……………… 6分 ‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，，，‎ ‎ 联立方程 消去，得. …… 7分 ‎ 由题意，可知恒成立，则，. ………… 8分 ‎ 四边形的面积 ……… 9分 ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 设，则四边形的面积，，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 综上，四边形面积的最大值为. ……………… 11分 ‎ （Ⅲ）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为. ……………… 14分