新疆乌鲁木齐地区2017届高三年级第一次诊断性测验理科数学试题（含解析）

新疆乌鲁木齐地区2017届高三年级第一次诊断性测验理科数学试题（含解析）

乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验理科试卷 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.复数（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.如图所示，程序框图输出的结果是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.已知等差数列中，公差，，且成 等比数列，则数列 前项和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎5.函数的零点所在的一个区间为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎7.在某次结对子活动中，有八位同学组成了四对“互助对子”，他们排成一排合影留念，则 使得每对“互助对子”中的两位同学都相邻的排列方法种数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎8.若，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎9.设函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知球外接于正四面体，小球与球内切于点,与平面相切，球的表面积为，则小球的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎11.设椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，若，则直线的斜率可以是（ ）‎ ‎ ‎ ‎12.设函数与函数的图象在区间上交点的横坐标依次分别为，则（ ）‎ ‎ ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.设实数满足，则的最小值为______‎ ‎14.已知单位向量与的夹角为，则______‎ ‎15.在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为 ‎，过双曲线上的一点作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点，若△的面积为，则其离心率为_______‎ ‎16. 已知数列满足，，则_____‎ 三、解答题：第17--21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．‎ A D B C ‎17.如图，在△中，，是边上的中线 ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若，求的长 ‎18.如图，边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△，△分别沿折起，使两点重合于点 ‎（I）求证：‎ ‎（II）求直线与平面所成角的正弦值 E F B A1‎ D E B C A D F ‎19.某地十余万考生的成绩近似地服从于正态分布，现从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组，第二组，…，第六组，作出频率分布直方图，如图所示 ‎（I）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）‎ ‎（II）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过分的为“优”，现在从总体中随机抽取名考生，记其中“优”的人数为，试估算的期望 附：若，则， ‎ ‎0.03‎ ‎0.025‎ ‎0.005‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ 分数 频率/组距 ‎20.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于两点，且 ‎（I）求直线的斜率；‎ ‎（II）若△的面积为，求抛物线的方程 ‎21.已知函数 ‎（I）求的单调区间 ‎（II）若函数的图象在处的切线与其只有一个公共点，求的值 第22--23题每题10分，在这两题中任选一题作答，如果多选则按第一题计分 ‎22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，，射线与曲线交于三点（异于点）‎ ‎（I）求证：‎ ‎（II）当时，直线经过两点，求与的值 ‎23.设 ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）当时，求的取值范围 ‎ ‎ 乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验 理科数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分．‎ 选择题答案：BACA CBBD DADC ‎1．选B.【解析】∵，∴．故选B．‎ ‎2．选A.【解析】∵.故选A．‎ ‎3．选C.【解析】由题意知，第一次循环；第二次循环；第三次循环；…；第十次循环，结束循环，输出的值为．故选C．‎ ‎4．选A．【解析】设数列的公差为，则，，，由成等比数列，得，即，得（舍）或，则，所以．故选A．‎ ‎5．选C．【解析】∵，，∴零点在上，故选C．‎ ‎6．选B．【解析】由三视图知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，四棱柱的高为，，∴.故选B．‎ ‎7．选B．【解析】依题意，所求种数为，故选B．‎ ‎8．选D．【解析】‎ ‎，∴,故选D．‎ ‎9．选D．【解析】作图，数形结合，选D．‎ ‎10．选A．【解析】设小球的半径为，球的半径为，正四面体的高为，则由题意得，，即，又球的表面积为，即，则，所以，则小球的体积．故选A．‎ ‎11．选D．【解析】设由题意得，，∵，，即，由，得，‎ 所以直线的斜率．故选D．‎ ‎12．选C．【解析】如图，与的图像 ‎ 有公共的对称中心，由图像知它们在区间上有八个交 点，分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为，故所有的横 坐标之和为．故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．填．【解析】设，不等式组表示的平面区域如图 所示，平移直线，可知当经过点时，‎ 取最小值.‎ ‎14．填．【解析】．‎ ‎15．填．【解析】设，直线为，与另一条渐近线的交点满足得即 ‎∴，，易知，‎ ‎∴，而在双曲线上 ‎∴，∴，故，又，∴，而，即，∴，∴．‎ ‎16．填．【解析】由已知得：， ‎ 又，故，，．‎ 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤．‎ ‎17.（12分）‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得：，，‎ ‎ 即，，‎ ‎ 又∵是边上的中线且，∴ …6分 ‎（Ⅱ）∵，由（Ⅰ）,∴,‎ ‎ 由余弦定理得…12分 ‎18.（12分）‎ ‎（Ⅰ）折叠前有，折叠后有，‎ 又，所以平面，∴； …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得面，又由，所以,‎ ‎ 以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则 ‎,‎ 得,,,‎ 设平面的法向量为，由得，‎ 设直线与平面所成角为，得，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为. …12分 19． ‎（12分）‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎∴ …6分 ‎（Ⅱ）依题意，，‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴ …12分 ‎20．(12分)‎ ‎（Ⅰ）过两点作准线的垂线，垂足分别为，易知，‎ ‎∵,∴,∴为的中点，又是的中点，‎ ‎∴是的中位线，∴，而，∴，‎ ‎∴，，∴，而 ‎∴； …6分 ‎（Ⅱ）∵为的中点，是的中点，‎ ‎∴,∴,∴,∴抛物线的方程为． …12分 21． ‎（12分）‎ ‎（Ⅰ）‎ 当时，，∴在上递增，‎ 当时，，或 ‎ ∴的递增区间为和，递减区间为； …5分 ‎（Ⅱ）∵，∴处的切线为，依题意方程仅有一个根，‎ 即仅有一个零点；‎ 而，，由（Ⅰ）知当时，在上递增，‎ ‎∴此时仅有一个零点，‎ 即的图象在处的切线与其只有一个公共点 当时，在和上单调递增，在上单调递减，‎ 又∵，∴当或时，有；‎ 当时，∵的对称轴 ‎∴，‎ 取，当时，；‎ ‎∴，∴在上也存在一个零点，‎ ‎∴时不止一个零点，‎ 即时的图象在处的切线与其不止一个公共点 综上所述：. …12分 ‎22．（10分）‎ ‎（Ⅰ）由已知：‎ ‎ ∴ …5分 ‎（Ⅱ）当时，点的极角分别为，代入曲线 的方程得点的极径分别为：‎ ‎∴点的直角坐标为：，则直线的斜率为，方程为，与轴交与点；‎ 由，知为其倾斜角，直线过点，‎ ‎∴ …10分 ‎23．（10分）‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎ 当时，由得；‎ ‎ 当时，由得；‎ ‎ 当时，由得；‎ ‎ 综上所述，当时，不等式的解集为； …5分 ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 当时，. …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分