专题10 导数（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校好题精选系列

专题10 导数（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校好题精选系列

好题1. 【河南省安阳市2017届高三第二次模拟】已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【推荐理由】解答本题的思路是先借助题设条件逐步将问题进行一步步地等价转化，从而将问题等价转化为所以有解.然后构造函数，借助导数的有关知识求出该函数的值域，从而使得问题获解.‎ 好题2. 【甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性】设函数在上的导函数为，对有，在上，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，．∴函数为奇函数．时，．故函数在上是减函数，故函数在上也是减函数．由 ‎，可得在上是减函数，∴，∴ ∴ 解得： 故本题选A．‎ ‎【推荐理由】本题考查的是构造函数，利用条件构造，进而将不等式转化为.根据知识：若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.‎ 好题3. 【山西省2017届高三下学期名校联考】若函数满足，且，则的解集是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【推荐理由】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件，得出函数 的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ 好题4.【2017届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】设函数，（是自然对数的底数），若是函数的最小值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，时单调递减.因为是函数的最小值，所以；当时，，时，单调递减；时，单调递增.所以此时在处有极小值.根据已知条件得，，解得.综上所述，的取值范围是.故本题正确答案为 ‎【推荐理由】本题考查的是分段函数的最值问题.分段函数的最小值 是各段上函数最小值中的最小值 ，本题中当时，由二次函数的性质单调递减.因为是函数的最小值，所以；时，可得时，单调递减；时，单调递增,所以此时在处有极小值.根据已知条件得最终得.‎ 好题5.【安徽省合肥市2017届高三第一次模拟考试】已知函数在在上的最大值为,最小值为,则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【推荐理由】本题考查的是导数在研究函数中的应用.解决本题的关键是先求导函数，通过判断导函数的正负，判断原函数的增减情况，得到函数的最值.在本题中当时，‎ ‎，但是当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，最值在端点处取到.‎ 好题6.【四川省高2017届第一次名校联考（广志联考）】设，已知，且，若是函数的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【推荐理由】解答本题的关键是充分利用好题设中所提供的条件信息，综合运用所学知识对题设中所给的四个答案选择支进行分析推证，做出正确判断，从而使得问题获解.‎ 好题7.【河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，所以，又＝，令，则，，所以，所以：（1）若时，则，函数在内单调递减，故在内至多有一个零点；（2）若 时，则，函数在内单调递增，故在内至多有一个零点；（3）若时，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以＝．令＝（），则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即恒成立，所以函数在内有两个零点，则，解得．综上所述的取值范围为，故选A．‎ ‎【推荐理由】 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．判断函数零点的个数的方法：(1)直接法：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)画图法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可．(3)定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决．‎ 好题8.【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【推荐理由】本题考查的是构造函数，利用条件构造，进而将不等式转化为，即，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.‎ 好题9. 【2017届安徽省合肥市高三第一次教学质量】函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 由图可知，只有时满足.因为，，所以由图可知有.解得.故本题正确答案为.‎ ‎【推荐理由】本题考查的是存在唯一的正整数，使得的问题.利用转化与归思想转化为两个函数和的图象的问题，解决本题的关键是充分 利用是过定点的一条直线，让其在旋转过程中满足存在唯一的正整数 ，则需要满足.解得.‎ 好题10. 【四川省高2017届第一次名校联考（广志联考）】在平面直角坐标系中，已知是的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因，故当时，，函数单调递增；故当时，，函数单调递减，故当时，函数，应填答案.‎ ‎【推荐理由】解答本题的关键是如何建构以切点的横坐标为变量的函数.求解时先设切点坐标为切点，然后再依据题设条件建立关于线段的中点的纵坐标为的目标函数，最后再运用导数的知识求函数的最大值，从而使得问题获解．‎ 好题11. 【2017届重庆市高三第一次诊断模拟】已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【推荐理由】本题的求解思路是先求函数的导数，再求出其极值点分别为，最后再依据题设条件是函数的极小值点建立不等式，通过解此二次不等式使得问题获解.‎ 好题12.【河南省安阳市2017届高三第二次模拟】设函数的反函数为，函数在上是增函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若是的根且，当时，函数的图象与直线在上的交点的横坐标为，（），证明：．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，而，所以，故的最小值为1．‎ ‎（Ⅱ）由反函数的定义，知，所以，当时，．当时，，而，故此时有，设，因为，当时，，且存在使得，故时，；当时，，所以显然当时，，‎ ‎，递增；‎ 当时，,,递减．由在上有两不等实根，（），知，．显然当时，．‎ ‎【推荐理由】本题以含参数的函数解析式为条件背景，旨在考查学生综合运用导数等有关知识，以及灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解第一问时，先运用求导法则对所给函数进行求导，再进行等价转化与化归，从而求出参数的最大值；第二问的求解，则是巧妙运用等价转化与化归的数学思想，将问题进行等价转化，再构设函数运用导数的知识进行分析推证，从而使得问题获解.‎ 好题13.【安徽省宿州市2017届高三第一次教学质量检测】设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系并给出证明.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，存在极值..由题设得.又，所以，.设，则，则.令，则，所以在上单调递增，所以，故.又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.‎ ‎【推荐理由】本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道综合运用导数知识的问题.在求解第一问时，直接运用导数的求导法则与分类整合思想，借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调性与其单调区间；第二问的求解过程中先将问题进行等价化归与转化为计算的值的符号与单调性问题.然后再运用换元法构造函数，运用导数的有关知识分析推证，最后使得问题获解.‎