2017-2018学年湖北省荆州中学高二下学期第二次半月考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年湖北省荆州中学高二下学期第二次半月考数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年湖北省荆州中学高二下学期第二次半月考 理科数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上填涂所选答案的序号）‎ ‎1．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 是 的（ ）条件 ‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎3．某中学高二年级组采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ） A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ ‎4. 通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎5. 如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（ ） A．14 B．‎15 ‎ C．16 D．17‎ ‎6．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（ ） A. B. C. D. ‎8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是某数学教师利用刘徽“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为( )．（参考数据：，） A. 6 B. ‎12 C. 24 D. 48‎ ‎9. 设函数，集合 ‎，设，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 下列说法中：①4是数据4,6,7,7,9,4的众数；②如果数据，，…， 的平均数为3，方差为0.2，则，，…， 的平均数和方差分别为14和1.8；③用辗转相除法可得228与1995的最大公约数为57；④把四进制数化为二进制数是；⑤已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中，的比值 正确说法的个数为（ ） A．2 B. ‎3 ‎ C. 4 D. 5‎ ‎12．已知平面，，，且AB=1，AD=CD=2.是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB,MC与平面ADEF所成的角相等，则点M 的轨迹长度为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷横线上）‎ ‎13. 若实数数列：成等比数列，椭圆的焦点坐标是 ； ‎ ‎14. 已知随机变量ξ服从正态分布，且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）= ；‎ ‎15. 已知x,y满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的取值为 ______;‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B‎1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为　　．‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分12分）清华大学在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取某学校高三年级40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格． （Ⅰ）求出第4组的频率，补全频率分布直方图； （Ⅱ ‎）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数（结果用四舍五入法精确到1分）； （Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）（1）椭圆C过点，且与椭圆有相同焦点。（1）求椭圆C的标准方程 ‎（2）求椭圆C上的点到直线距离的范围 ‎19. （本小题满分12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记ak=1；出现“×”，则记ak=﹣1，令Sn=a1+a2+••+an．‎ ‎（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且Si≥0（i=1，2，3，4）的概率．‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，‎ AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，‎ 四边形ACFE是矩形，AE=a ‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．‎ O F2‎ x y A Q F1‎ ‎21.（本小题满分12分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在 点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行 四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；‎ 如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数满足，求的取值范围。 ‎ ‎22（本小题满分10分）已知命题:和是方程的两个实根，不等式 对任意实数恒成立;命题:的含x项的系数不大于.若命题是真命题,命题是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎ 荆州中学2017/2018学年度下学期高二年级第二次考试 理科数学试题参考答案 ‎ AADCDB BCDBDA ‎13. 14. 0.3 15. -2或1 16. ‎ ‎12【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，且，所以，即，因此，整理得，由此可得，点在正方形内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧上，如图2所示，易知圆心角，所以.故选A.‎ 点睛：此题主要考查了线面角、坐标法、弧长公式、轨迹方程等各方面的知识，属于中高档题，同时这些知识点也是高频考点，在问题的解决过程中，经历了平面图形立体图形建系代数运算建模平面图形的过程，加强了知识点的综合性，充分体现了“坐标法”在解决几何问题中的优越性.‎ ‎16.解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B‎1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；‎ 解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．‎ ‎17.解：（1）其它组的频率和为（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，‎ 所以第四组的频率为0.2， …………2分 频率/组距是0.04 ，补图 …………3分 频率分布图如图：(略) …………4分 ‎（2）设样本的中位数为，则……… 6分 ‎ 解得, 所以样本中位数的估计值为87…………8分 ‎（3）依题意，良好的人数为人，优秀的人数为人，抽取比例为1/8，[]‎ ‎ 所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人 …………10分 ‎ 所以 P= ………………12分 ‎18. (1) ………6分（2）-----12‎ ‎19. 解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又，‎ ‎∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=‎ ‎∴ξ的分布列为 ∴Eξ=1×+3×=． ………………6分 ‎（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0（i=1，2，3，4），‎ 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；‎ 若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．‎ 故此时的概率为 ………………12 分 ‎20. 解（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°‎ ‎∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°∴AC⊥BC（3分）又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE ………………4分 ‎（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH∵DE=DF，‎ ‎∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，‎ 又∵GH∥FB，∴EF⊥GH ‎∴BE2=DE2+DB2∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．（8分）‎ 在△BDE中，‎ ‎∴∠EDB=90°， ∴．（9分）又．（10分）‎ 即二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值为 ………………12分]‎ ‎21.解：（1）因为0,所以F1为F2Q中点 设Q的坐标为（‎-3c，0）， 因为AQ⊥AF2，所以b2=‎3c×c=‎3c2，a2=‎4c×c=‎4c2，‎ 且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为‎2c。………1分 因为该圆与直线L相切，所以 解得c=1，所以a=2， 故所求椭圆方程为。 ………3分 （2）设L1的方程为y=kx+2（k>0） 由得（3+4k2）x2+16kx+4=0 ………4分, 由△>0，得 所以k>1/2, 设G（x1，y1），H（x2，y2），则 所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2） =（x1+x2‎-2m，y1+y2） =（x1+x2‎-2m，k（x1+x2）+4） （x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））………5分 由于菱形对角线互相垂直，因此 所以（x2-x1）+k（x2-x1）=0 故（x2-x1）=0 因为k>0，所以x2-x1≠0所以（x1+x2）‎-2m+k2（x1+x2）+4k=0， 即（1+k2）（x1+x2）+4k‎-2m=0，所以 ‎………6分 解得， 因为k>0，所以 故存在满足题意的点P且m的取值范围是。………7分 （3）①当直线L1‎ 斜率存在时， 设直线L1方程为y=kx+2，代入椭圆方程 得（3+4k2）x2+16kx+4=0 , 由△>0，得 设G（x1，y1），H（x2，y2）， 则………8分 又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）， ‎ 所以x1=λx2， 所以 ∴ ∴ 整理得 ………9分 因为， 所以解得 又0＜λ＜1， 所以 ………10分 ②当直线L1斜率不存在时，直线L1的方程为x=0，‎ ‎，， 所以 ………11分 综上所述， ………12分 22.解 ∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根[]‎ ‎∴ ∴………2分 ‎∴当时， ………3分 由不等式对任意实数恒成立 可得： ∴或 ‎∴命题为真命题时或 ………4分 命题q：,由得r=2,………6分 所以含x项的系数为，………7分 由得，所以，………8分 依题意可得，命题p,q中一真一假，‎ 命题p真q假时，即①………9分 ‎ 命题p假q真时，即②………10分 综上所述：………12分