专题4-4+三角函数的图象与性质（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题4-4+三角函数的图象与性质（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

第 04 节 三角函数的图象与性质 A 基础巩固训练 1. 函数f(x) = 3sin(x 2 ― π 4)，x ∈ R的最小正周期为（ ） A. π 2 B. π C. 2π D. 4π 【答案】D 【解析】试题分析：由周期公式知：T = 2π |ω| = 2π |1 2| = 4π 2. 设函数 的图象关于直线 对称, 它的最 小正周期为 ，则（ ） A． 的图象过点 B． 在 上是减函数 C． 的一个对称中心是 D． 的一个对称中心是 【答案】C 【解析】根据题意可知， ，根据题中所给的 角的范围，结合图像关于直线 对 称,可知 ，故可以得到 ，而 的值不确定，所以 的值不确 定，所以 A 项不正确，当 时， ，函数不是单调的，所以 B 项不 对，而 ，所以 不是函数的对称中心，故 D 不对，而又 ，所以 是函数的对称中心，故选 C． 3. 已知函数 的图象过点 ，则 的图象的一个对称中 心是 ( )f x = sin( )A xω ϕ+ ( 0,A ≠ 0,ω > )2 2 ϕπ π− < < 2 3x π= π ( )f x 1(0 )2, ( )f x 2,12 3 π π     ( )f x 5 ,012 π     ( )f x ,06 π     2ω = ϕ 2 3x π= 6 πϕ = ( ) sin(2 )6f x A x π= + A (0)f 2[ , ]12 3x π π∈ 32 [ , ]6 3 2x π π π+ ∈ ( ) 06f A π = ≠ ,06 π     5( ) 012f π = 5 ,012 π     ( ) 2sin(2 )(| | )2f x x πϕ ϕ= + < (0, 3) ( )f x A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 的图象过点 ，所以 ，且 ，则 ；令 ，即 ，即 的图象 的一个对称中心是 . 4.【2017 山东，文 7】函数 最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 ,所以其周期 ,故选 C. 5. 已知函数 是定义在 上的偶函数，则 的 最小正周期是（ ） A．6π B．5π C．4π D．2π 【答案】A 【解析】∵函数 是定义在 上的偶函数，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． B 能力提升训练 1. 函数 的图象大致为（ ） 【答案】A 【解析】根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除 两项，在 上， ( ,0)3 π− ( ,0)6 π− ( ,0)6 π ( ,0)4 π ( ) 2sin(2 )(| | )2f x x πϕ ϕ= + < (0, 3) 3sin2)0( == ϕf 2 πϕ < 3 πϕ = 032 =+ π x 6 π−=x ( )f x ( ,0)6 π− 2( ) 3f x ax bx a b= + + + [ 1, 2 ]a a− 2cos[( ) ]3y a b x π= + − 2( ) 3f x ax bx a b= + + + [ 1, 2 ]a a− 0, 1 2 0b a a= − + = 10, 3b a= = 12cos( )3 3y x π= − 2 61 3 T π π= = ( ) 2 sin 1 xf x x = + ,C D (0, )π 3sin 2 cos2y x x= + π 2 2π 3 π 2π π3sin 2 cos2 2sin 2 3y x x x = + = +   2π π2T = = 函数值是正值，所以 不对，故只能选 A． 2.下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 最小正周期为 ，但图象不关于直线 对称； 最小正周期为 ，且图象关于直线 对称； 最小正周期为 ，但图象不关 于直线 对称； 最小正周期为 4 ，且图象关于直线 对称；因此选 B． 3. 若函数 ，且 ， 的最小值是 ，则 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ， 的最小值是 可知 ，所以 ，所以 ，由 ，得 ，所以函数的单调递增区间为 ，故选 D． 4. 函数 的图像与函数 的图像（ ） A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A B π 3 π=x sin(2 )3 π= −y x sin(2 )6 π= −y x sin(2 )6 π= +y x sin( )2 3 π= +xy sin(2 )3 π= −y x π 3 π=x sin(2 )6 π= −y x π 3 π=x sin(2 )6 π= +y x π 3 π=x sin( )2 3 π= +xy π 3 π=x ( ) 2sin( )3f x x πω= + ( ) 2, ( ) 0f fα β= − = α β− 2 π ( )f x 5[ , ] ( )12 12k k k Z π ππ π− + ∈ [ , ] ( )3 6k k k Z π ππ π− + ∈ 2[2 ,2 ] ( )3 3k k k Z π ππ π− + ∈ 5[2 ,2 ] ( )6 6k k k Z π ππ π− + ∈ ( ) 2, ( ) 0f fα β= − = α β− 2 π , 24 2 T T π π= ∴ = 1ω = ( ) 2sin 3f x x π = +   2 2 ( )2 3 2k x k k Z π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈ 52 2 ( )6 3 6k x k k Z π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈ 52 ,2 ( )6 6k k k Z π ππ π − + ∈   )62sin( π−= xy )3cos( π−= xy 【解析】当 时, ,因此 的对称轴是 ． 当 即 时, ,因此 的对称轴是 ．由此可得, 的对称轴都是 的对称轴 ． 当 时, ,所以 的对称中心是 ． 当 时 ,所以 的对称中心是 ．由此可得,它们的对称中心均不相同．故选 A ． 5. 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得函数的周期 ，再由 ， 即 ， 可 得 的 一 个 减 区 间 为 ， 所 以 ，求得 的取值范围是 ． C 思维扩展训练 ,3x k k Z π π= + ∈ cos 13x π     − = ± )3cos( π−= xy ,3x k k Z π π= + ∈ 2 ,6 2x k k Z π π π− = + ∈ ,3 2 kx k Z π π= + ∈ sin 2 16x π     − = ± )62sin( π−= xy ,3 2 kx k Z π π= + ∈ )3cos( π−= xy )62sin( π−= xy 5 ,6x k k Z π π= + ∈ cos 03x π     − = )3cos( π−= xy 5 ,0 ,6 k k Z π π + ∈   12 2 kx π π= + ,sin 2 06x π     − = )62sin( π−= xy ,0 ,12 2 k k Z π π + ∈   0ω > ( ) sin 4f x x πω = +   ( , )2 π π ω (0,2] 1(0, ]2 1 3[ , ]2 4 1 5[ , ]2 4 2 , 2T π π ωω= ≥ ≤ 32 22 4 2k x k π π ππ ω π+ ≤ + ≤ + 2 2 5 ,4 4 k kx k Z π π π π ω ω ω ω+ ≤ ≤ + ∈ ( )f x 5,4 4 π π ω ω      4 2 5 4 π π ω π πω  ≤  ≥ ω 1 5[ , ]2 4 1. 已知函数 的图象上关于 轴对称的点至少有 3 对，则 实数 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】原函数在 轴左侧是一段正弦型函数图象，在 轴右侧是一条对数函数的图象，要 使得图象上关于 轴对称的点至少有 对，可将左侧的图象对称到 轴右侧，即 ，应该与原来 轴右侧的图象至少有 个公共点 如图， 不能满足条件，只有 此时，只需在 时， 的纵坐标大于 ，即 ，得 ． 2.已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，若 ，等价于 ，所以 ， ，解得 ， ． 3. 若 ，定义一种运算： ，已知 ，    >≠> <−= 0)10(log 01)2sin()( xaax xxxf a ，，且 ，，π y a )5 50( ， )15 5( ， )13 3( ， )3 30( ， y y y 3 y sin( ) 1( 0)2 xy x π= − − > y 3 1a > 0 1a< < 5x = logay x= 2− log 5 2a > − 50 5a< < ( ) 3sin cos ,f x x x x R= − ∈ ( ) 1f x ≥ x | ,3x k x k k Z ππ π π + ≤ ≤ + ∈   | 2 2 ,3x k x k k Z ππ π π + ≤ ≤ + ∈   5{ | , }6 6x k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 5{ | 2 2 , }6 6x k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ ( )      −= 6sin2 π xxf ( ) 1≥xf 2 1 6sin ≥     − π x πππππ kxk 26 5 626 +≤−≤+ Zk ∈ ππππ kxk 223 +≤≤+ Zk ∈ 1 2 1 2( , ), ( , )a a a b b b= =  1 1 2 2( , )a b a b a b⊗ =  1(2, )2m = ，且点 ，在函数 的图象上运动，点 在函数 的图象上 运动，且 （其中 O 为坐标原点），则函数 的最大值 A 和最小正周 期 T 分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件 ，所以 ，从而求得 ， . 4. 已知函数 ，将 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像， 则函数 的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，求单调减区间时 令 5. 给出下列结论： ①若扇形的中心角为 2，半径为 1，则该扇形的面积为 1；②函数 是 偶函数；③点 是函数 图象的一个对称中心；④函数 在 上是减函数.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C ( ,0)3n π= ( , )P x y siny x= Q ( )y f x= OQ m OP n= ⊗ +    ( )y f x= 2,A T π= = 2, 4A T π= = 1 ,2A T π= = 1 , 42A T π= = 1(2 , sin )3 2OQ x x π= + 1(2 ) sin3 2f x x π+ = 1( ) sin( )2 2 6 xf x π= − 1 , 4 .2A T π∴ = = ( ) sin cos 1f x x x= + ( )f x 6 π ( )g x ( )g x 7[ 2 , 2 ],12 12k k k Z π ππ π+ + ∈ 7[ , ],12 12k k k Z π ππ π+ + ∈ 2[ , ],6 3k k k Z π ππ π+ + ∈ 2[ 2 , 2 ],6 3k k k Z π ππ π+ + ∈ ( )1 1( ) sin cos 1 sin 2 1 sin 2 12 2 3f x x x x g x x π = + = + ∴ = + +   3 72 2 , 2 ,3 2 2 12 12x k k x k k π π π ππ π π π π   + ∈ + + ∴ ∈ + +       ( )2 2cos siny x x x R= − ∈ ,08 π     5sin 2 4y x π = +   cos siny x x= − 0, 2 π     【解析】解答： 对于①，扇形的中心角为 2，半径为 1， 则该扇形的面积为 S= αR2= ×2×12=1，①正确； 对于②,函数 =cos2x(x∈R)，它是偶函数，②正确； 对于③,当 x= 时,y=sin(2× + )=−1， 点( ,0)不是函数 y=sin(2x+ )图象的一个对称中心，③错误； 对于④,函数 y=cosx−sinx= cos(x+ )， 当 x∈ 时,x+ ∈[ , ]，∴y 是减函数，④正确， 综上，正确的命题序号是①②④，共 3 个。 故选：C. 1 2 1 2 2 2cos siny x x= − 8 π 8 π 5 4 π 8 π 5 4 π 2 π 4 0, 2 π     π 4 π 4 3π 4