数学卷·2018届上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测（2018

数学卷·2018届上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测（2018

‎2018届上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测 数学试题 ‎ 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．‎ 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．‎ 1. 设集合，则 ．‎ 2. ‎ ．‎ 3. 函数的最小正周期为 ．‎ 4. 不等式的解集为 ．‎ 5. 若（其中为虚数单位），则 ．‎ 6. 若从五个数中任选一个数，则使得函数在上单调递增的概率为 ．（结果用最简分数表示）‎ 7. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于 ．‎ 8. 半径为的圆内接三角形的面积是，角所对应的边依次为，则的值为 ．‎ 9. 已知抛物线的顶点为坐标原点，双曲线的右焦点是的焦点．若斜率为，且过的直线与交于两点，则 ．‎ 10. 直角坐标系内有点，将绕轴旋转一周，则所得几何体的体积为 ．‎ 11. 给出函数，，这里，若不等式（‎ ‎）恒成立，为奇函数，且函数恰有两个零点，则实数的取值范围为 ．‎ 1. 若（，）个不同的点满足：，则称点按横序排列．设四个实数 使得成等差数列，且两函数图象的所有交点、、按横序排列，则实数的值为 ．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ 2. 关于的二元一次方程组的增广矩阵为 （ ）‎ ‎（） （） ‎ ‎（） （）‎ 3. 设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线 上”是“在同一个平面上”的 （ ）‎ ‎（）充分非必要条件 （）必要非充分条件 ‎（）充要条件 （）既非充分又非必要条件 4. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 ‎ （ ）‎ ‎　 （） （） 　（） （）‎ 5. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积．设：‎ 数列甲：为递增数列，且（）；‎ 数列乙：满足（）．‎ 则在甲、乙的所有内积中 （ ）‎ ‎（）当且仅当时，存在个不同的整数，它们同为奇数；‎ ‎（）当且仅当时，存在个不同的整数，它们同为偶数；‎ ‎（）不存在个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数；‎ ‎（）存在个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ 1. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．‎ 如图，在长方体中，‎ 已知，，为棱的中点．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ 2. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分 ‎ ‎　　已知函数．‎ ‎（1）求在上的单调递减区间；‎ ‎（2）设的内角所对应的边依次为，若 且，求面积的最大值，并指出此时为何种类型的三角形．‎ 1. ‎（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．‎ 设数列及函数（），（）．‎ ‎（1）若等比数列满足，，求数列的前（）项和；‎ ‎（2）已知等差数列满足（均为常数，，且），（）．试求实数对，使得成等比数列．‎ 2. ‎（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．‎ 设椭圆：（）过点，且直线过的左焦点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设为上的任一点，记动点的轨迹为，与轴的负半轴，轴 的正半轴分别交于点，的短轴端点关于直线的对称点分别为．当点 在直线上运动时，求的最小值；‎ ‎（3）如图，直线经过的右焦点，并交于两点，且，在直线上的射影依次为，．当绕转动时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．‎ 1. ‎（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．‎ 设，且．‎ ‎（1）已知（），求的值；‎ ‎（2）设（）与均不为零，且（）．若存在，使得 ‎，求证：；‎ ‎（3）若（），（）．是否存在，使得数列满足（为常数，且）对一切正整数均成立 ‎？若存在，试求出所有的；若不存在，请说明理由．‎ 宝山区2017-2018学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）‎ 题号 答案 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ 题号 答案 ‎405‎ ‎1 ‎ ‎104 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）‎ 题号 答案 ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） ‎ ‎17．解：（1）因为长方体，所以点到平面的距离就是，故四棱锥 的体积为．‎ ‎（2）（如图）联结，，因为长方体，且，‎ 所以平面，故直线与平面所成角就是，‎ 在中，由已知可得，， ‎ 因此，，即　直线与平面所成角的正切值为． ‎ ‎18．解：（1）由题意可得，故在上的单调递减区间为． ‎ ‎（2）由已知可得，，，又，．故，当时取等号，即面积的最大值为，此时是边长为2的正三角形． ‎ ‎19．解：（1）由已知可得（），故（），所以（），从而是以为首项， 为公比的等比数列，故数列的前项和为（）．‎ ‎（2）依题意得（），所以（），故 ‎（），令，解得（舍去），因此，存在，使得数列成等比数列，且（）． ‎ ‎20． 解：（1）依题意可得，半焦距，从而， 因此，椭圆的方程为． ‎ ‎（2）因为点在上，所以，故轨迹：． 不妨设，，，则，．易得直线：，故 ‎，所以当，即点的坐标为时， 取得最小值．（或这样：因为点在直线上运动，所以当时，取得最小值，故也取得 最小值，此时，易得对应点为垂足，从而，的最小值为 ‎．）‎ ‎（3）易得，设：（），，，则，，‎ 由得，显然，且，．将代入直线的方程：，并化简可得 ‎，将，‎ 代入可得，即 直线 的方程为，因为任意，所以直线过定点．同理可得直线也过定点．‎ 综上，当绕转动时，直线与相交于定点． ‎ ‎21．解：（1）设（），则．‎ 若，则，由已知条件可得，，，解得，．‎ 若，则，由已知条件可得，，，解得，但，故舍去．‎ 综上，得． ‎ ‎（2）证明如下：令，则（）．‎ 假设，即，因（），故（），于是，即 ‎（），亦即，故数列单调递增．又，故，即，于是，．所以，对任意的，均有 ‎，与题设条件矛盾．因此，假设不成立，即成立． ‎ ‎（3）设存在满足题设要求，令（）．易得对一切，均有，且 （※）．‎ ‎（ｉ）若，则显然为常数数列，故满足题设要求．‎ ‎（ⅱ）若，则用数学归纳法可证：对任意，． ‎ ‎　　证明：当时，由，可知．‎ ‎　　　　 假设当时，．‎ 那么，当时，‎ 若，则，．故，．（※※）‎ 如果，那么由可知，这与（※※）矛盾．‎ 如果，那么由（※※）得，即，故，与（※※）矛盾．‎ 因此，．‎ 综上可得，对任意，． ‎ 记（），注意到 ‎，即，当且仅当，亦即时等号成立．于是，有（），进而对任意，，均有，所以．从而，此时的不满足要求．‎ 综上，存在，使得数列满足（为常数，且 ‎）对一切成立．‎