数学文卷·2018届福建省永春一中高三上学期期初考试（2017

数学文卷·2018届福建省永春一中高三上学期期初考试（2017

永春一中2018届高三（上）期初考试 数学（文）科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题教师：刘文哲 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，，则（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设非空集合P，Q满足，则（ ）‎ ‎（A），都有 （B），都有 ‎（C），使得 （D），使得 ‎（3）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）充要条件 ‎（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（4）下列有关命题的说法错误的是(　　)‎ ‎（A）若“”为假命题，则p，q均为假命题 ‎（B）“”是“”的充分不必要条件 ‎（C）若命题p：，则命题p：‎ ‎（D）“”的必要不充分条件是“”‎ ‎（5）已知函数，且，则（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知集合，，则 (　　)‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）已知是R上的偶函数，设，，，当且时，都有，则的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）函数的部分图象大致为（　　）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知的定义域为R，的导函数的图象如图所示，则(　　)‎ ‎（A）在处取得极小值 ‎（B）在处取得极大值 ‎（C）是R上的增函数 ‎（D）在上是减函数，在上是增函数 ‎（10）已知命题p：，命题q：，则下列命题正确的是（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知定义域为R的函数的导函数为，，若，则不等式的解集为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知函数，若关于x的方程有四个不同解，且，则的取值范围为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知集合，，若，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎（14）已知函数的定义域和值域均为，则________．‎ ‎（15）已知命题p：“使”，若命题p是假命题，则实数m的 ‎ 取值范围为________．‎ ‎（16）已知函数有且仅有三个极值点，则a的取值范围是________． ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知△ABC中角A，B，C的对边长分别为a，b， c，且．‎ ‎（I）求角A的大小；‎ ‎（II）若，，求的值．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前n项和为，且．‎ ‎（I）求证：数列是等差数列；‎ ‎（II）若，数列的前n项和为，求．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，PB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，，，点E为PC的中点．‎ ‎（I）求证：CD⊥平面PBD；‎ ‎（II）若直线EB与平面ABCD所成角的正切值为，试求三棱锥P﹣ABD的外接球的体积．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点在椭圆C上，O 为坐标原点．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，‎ 求直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（I）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）若函数的图象与直线在区间上恰有两个公共点，求实数a的取值范围．‎ 请考生在第（22）（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（I）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为 O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ 永春一中2018届高三（上）期初考试数学（文）科参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎（1）C （2）B （3）C （4）D （5）A （6）B ‎（7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎（13） （14） （15） （16）‎ ‎（11）解：令，则 ‎ ∴为R上的增函数 ‎ ∴‎ ‎（12）解：作函数的图象，如图所示，‎ 直线，与图象交于 A、B、C、D四点，四点横坐标依次为 ‎，由函数及图象性质可知：‎ 所以 ‎∵，∴，∴‎ ‎（16）解：（1）当时，在上不存在极值点；‎ 当时，，可得在上有且只有一个极值点，不合题意。‎ ‎（2）当时，因为对称轴，所以在上不存在极值点；‎ 当时，由得，因为图象与直线有且仅有1个交点，即在上有 且仅有1个极值点，不合题意。‎ ‎（3）当时，因为对称轴，所以在（﹣∞，0）上恰有1个极值点；‎ 当时，由得 ‎①当时，图象与直线有两个不同交点，即在上有两个极值点；‎ ‎②当时，图象与直线相离或相切，即在上至多1个极值点，不合题意。‎ 综上所述，a的取值范围为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（I）∵ ∴…………………………………2分 ‎∵ ∴…………………………………4分 ‎∴ ∴……………………………………………………6分 ‎（II）在△ABC中，，∴………9分 由正弦定理知：…………………………………………………10分 ‎∴…………………………………………………12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（I）由已知得 当时， ∴‎ 当时，………………………2分 整理得……………………………………………4分 ‎∵ ∴即……………5分 ‎∴数列是首项为1，公差为2的等差数列…………………………………6分 ‎（II）由（I）知， ∴………7分 则……①………………………8分 ‎∴ ……②…………9分 由①﹣②得 ‎………11分 ‎∴…………………………………………………………12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（I）如图，取BC中点F，连结DF，‎ 则，四边形ABFD为正方形 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ∴………………………………………3分 ‎∵PB⊥平面ABCD，CD 平面ABCD ∴……………………4分 又∵PB平面PBD，BD平面PBD，PB∩BD=B ‎∴CD⊥平面PBD……………………………………………………………………5分 ‎（II）连接EF，则EF∥PB ∴EF⊥面ABCD…………………………………6分 ‎∴∠EBC直线EB与平面ABCD所成角，∴tan∠EBC =………………8分 ‎∵BF=2 ∴EF=1，PB=2……………………………………………………9分 设三棱锥P﹣BAD的外接球半径为R ‎∵PB，BA，AD两两垂直 ‎∴即……………………‎ ‎11分 ‎∴三棱锥P﹣ABD的外接球的体积为…………………………12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：（I）由题意，得，所以……①………………………………………1分 因为点在椭圆C上，所以……②…………………………2分 由①②解得…………………………………………………………3分 ‎∴椭圆C的标准方程为………………………………………………4分 ‎（II）设直线l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由得…………………………………5分 ‎∵ ∴…………………………6分 由根与系数的关系得，……………………7分 ‎∵∠AOB为锐角 ∴即…………………8分 ‎∴即 ‎∴ ∴…………………10分 综上所述，解得或………………12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（I）若则且……………………………………………1分 又∵……………………………2分 ‎∴…………………………………………………………3分 ‎∴曲线在点处的切线方程为：‎ 即……………………………………………4分 ‎（II）解法一：‎ ‎ 函数的图象与直线在区间上恰有两个公共点 ‎ 方程即在区间上恰有两个实数解 ‎ 函数在区间上恰有两个零点………………………5分 由得………………………………………………………………6分 当时，为增函数；‎ 当时，为减函数 ‎∴函数的最大值为………………………………………………7分 ‎①当时，函数在区间上至多一个零点，不合题意…8分 ‎②当时 ‎∴只需函数在区间和各恰有一个零点………………………9分 ‎∵， ‎ ‎∴函数在区间恰有一个零点…………………………………………10分 又当且仅当时函数在区间恰有一个零点 ‎∴………………………………………………………………………11分 综上所述，实数a的取值范围为………………………………………12分 ‎ 解法二：‎ ‎……………………5分 ‎①当，即时，‎ 在上是增函数，在上是减函数……………………6分 ‎∴………………………………………………………………7分 ‎∵………………………………………………………………8分 ‎∴所以，函数的图象与直线在区间上恰有两个公共点 等价于解得……………………………10分 ‎②当，即时，在上是增函数 ‎∴函数的图象与直线在区间上至多一个公共点，不合题意……11分 ‎ 综上所述，实数a的取值范围为…………………………………………12分 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I）圆C的普通方程为即………………………2分 化为极坐标方程为，化简得……………………4分 ‎（II）解法一：由……………………………………………6分 由…………………………8分 ‎ ∴………………………………………10分 解法二：直线l的直角坐标方程为：…………………………5分 射线OM的直角坐标方程为：…………………………6分 由；……………………………………7分 由…………………………………8分 ‎∴…………………10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（I）……………………3分 ‎∴或或 综上所述，不等式的解集为：………………5分 ‎（II）∵，∴的最小值为……8分 ‎∵关于x的不等式恒成立 ‎∴ ∴…………………………………………10分