数学理卷·2018届山东省济南外国语学校三箭分校高二下学期期末考试（解析版）

数学理卷·2018届山东省济南外国语学校三箭分校高二下学期期末考试（解析版）

www.ks5u.com【来源：全,品…中&高*考+网】2016-2017学年度第二学期期末模块考试 高二理科数学试题（2017.07）‎ 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若集合， 或，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， 或,‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎2. 若（为虚数单位），则实数的值为（ ）‎ A. 1 B. -1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，‎ 则：，解得：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据，，，，．根据收集到的数据可知++++=150，由最小二乘法求得回归直线方程为，则++++的值为（ ）‎ A. 75 B. 155.4 C. 375 D. 466.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】,代入 得：.‎ 又++++.‎ 故选C.‎ ‎4. 函数在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：时，所以切线方程为 考点：导数的几何意义 ‎5. 已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（ ）‎ A. B. -6 C. -6, D. 6,-‎ ‎【答案】A ‎【解析】向量,‎ 若,则，解得.‎ 若，则，解得.‎ 故选A.‎ ‎6. 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A. B. 28 C. 8 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】二项式的展开式中，通项公式为.‎ 令，解得，故含的项的系数是，‎ 故选B.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎7. 济南气象台预测，7月12日历城区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意P(A)=,P(B)=,P(AB)=，‎ ‎∴，‎ 故选B.‎ ‎8. 某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：‎ 由上表中数据计算得= 6.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（ ）‎ A. 1％ B. 99％ C. 2.5％ D. 97.5％‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题解析：由题根据二列联表得出；= 6.109，对应参考值得 ‎，则有，即有97.5%的把握认为文化程度与月收入有关系。‎ 考点： 独立性检验的运用。‎ ‎9. 用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上增加 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：当时，等式左端，当时，等式左端........................‎ ‎，增加了项，故选D．‎ 考点：数学归纳法．‎ ‎10. 在2017年某校的零起点小语种保送面试中，我校共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男2女五位英语生作为推荐对象，则不同的推荐方案共有（ ）‎ A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 ‎【答案】C ‎【解析】∵由题意知日语和俄语都要求必须有男生参加考试。‎ ‎∴先从三个男生中选一个考日语有3种结果，‎ 再从剩下的男生中选一个考俄语有2种结果，‎ 剩下的三个考生在三个位置排列种结果，‎ 这样重复一部分，即当考日语的和考俄语的有两个男生时2种结果，‎ ‎∴共有4‎ 故选C.‎ 点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．‎ ‎11. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝(　　)‎ A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84‎ ‎【答案】A ‎【解析】考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ 分析：由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1-P（ξ≤4）．‎ 解答：解：由P（ξ≤4）=P（ξ-2≤2）=P(≤)=0.84．‎ 又P（ξ<0）=P（ξ-2≤-2）=P(≤-)=1-P(≤)=0.16．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．‎ ‎12. 由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图，直线与曲线的交点为，所以阴影部分的面积为：，故选B.‎ 考点：利用定积分求曲边形的面积.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 已知 ‎……‎ 按以上述规律，则…+_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结论由二项构成,第二项前有,二项指数分别为,，‎ 因此对于n∈N∗,C14n+1+C54n+1+C94n+1+…+C4n+14n+1=24n−1+(−1)n22n−1.‎ 故答案为.‎ ‎14. 已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为___________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】 展开式中所有项的系数和为 ‎ 点睛：赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎15. 从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则X的数学期望为________．‎ ‎【答案】1.2‎ ‎【解析】当球全为红球时，‎ 当,1红、1白.‎ 当,2球全为白球时，‎ ‎.‎ 答案：1.2.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎16. 设函数,则使成立的的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由于函数，所以函数为偶函数，且当时，函数为增函数，故要使成立，只需，两边平方，解得.‎ 考点：函数的奇偶性与单调性.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性.解决一个函数的问题，往往从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性或者函数图象和性质方面来考虑.本题定义域为，注意到函数有绝对值，又有平方项，所以考虑函数为偶函数，验证可得函数为偶函数，然后利用函数的单调性判断出函数左减右增，所以离对称轴越远，函数值越大，由此解得的范围.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17. 已知复数（为正实数），且为纯虚数．‎ ‎（Ⅰ）求复数；‎ ‎（Ⅱ）若，求复数的模．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）． ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由，又由纯虚数，得，且，即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）由复数的运算可知，即可求解． ‎ 试题解析：（Ⅰ），‎ ‎∵其为纯虚数，∴，且，得或（舍），‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ），所以． ‎ ‎18. 已知函数，当时，有极大值；‎ ‎（1）求的值；（2）求函数的极小值。‎ ‎【答案】（1）（2）0‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数的定义得,导数的几何意义得，然后解出a,b.‎ ‎（2）由（1）知; ,‎ 然后找出极值点，求出极小值.‎ ‎（1）由经检验知，满足题意。‎ ‎（2）‎ 令 因为,当 考点：导数的几何意义;利用导数求极值.‎ ‎19. 如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，⊥平面，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面找到一条直线与直线平行即可．因为平面平面，则过点作于，连接，证明四边形为平行四边形即可；（2）由（1）知平面，又，为等边三角形，，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可．‎ 试题解析：（1）如图，过点作于，连接，，可证得四边形为平行四边形，平面 ‎（2）连接，由（1），得为中点，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则 ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 由即，令，得 设平面的法向量为 由即，令，得 所以，‎ 所以二面角的余弦值是 考点：（1）线面平行的判定定理；（2）利用空间向量求二面角．‎ ‎20. 济南外国语学校要用三辆校车把教师从高新区管委会接到遥墙校区，已知从高新区管委会到遥墙校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．‎ ‎（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）． （2）见解析.‎ ‎【解析】解：（1）由已知条件得 ‎2分 即，则6分 答：的值为．‎ ‎（2）解：可能的取值为0，1，2，3 5分 ‎6分 ‎7分 ‎8分 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10分 所以 12分 答：数学期望为．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线方程为，求的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】 (1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，令得，代入得出函数的解析式，利用导数判定函数的单调性，求解函数的单调区间；（2）由时，恒成立，转化为在区间上恒成立，令，利用函数的单调性与最值，利用条件，即可求解的取值范围．‎ 试题解析：（1） 由已知得，则，‎ 而，所以函数在处的切线方程为．‎ 则，解得 那么，由，‎ 得或，因则的单调递增区间为与；‎ 由，得，因而的单调递减区间为 ‎（2）若，得，‎ 即在区间上恒成立 设，则，由，得，因而在上单调递增，由，得，因而在上单调递减 所以的最大值为，因而，‎ 从而实数的取值范围为 考点：利用导数研究函数的单调性与最值；导数在函数中的综合应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值、导数在函数中的综合应用，同时着重考查了转化与化归的思想方法及分类讨论的思想方法的应用，试题有一定的难度，本题的解答中，由时，恒成立，转化为在区间上恒成立，构造新函数，利用函数的单调性与最值是解答的关键和难点．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22. ‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数），现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知点为曲线上的动点，求到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线：，曲线：；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）消去参数，即可得到直线的普通方程，利用，，即可得到曲线的普通方程；（2）利用几何性质，点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，即可求解.‎ 试题解析：（1）由题意，消去直线的参数方程中的参数，得普通方程为，‎ 又由，得，由得曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）曲线 可化为，圆心到直线的距离为，再加上半径，即为到直线距离的最大值.‎ 考点：1.圆的基本性质；2.切割线定理．‎ ‎23. ‎ 已知函数 ‎（1）当时，解不等式 ‎（2）若存在，使成立成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2） .‎ ‎【解析】试题分析：（）分情况讨论去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（2）只需最小值小于6即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，不等式 可化为，‎ 当时，不等式即 当时，不等式即所以，‎ 当时，不等式即，‎ 综上所述不等式的解集为 ‎ ‎（2）令 所以函数最小值为，‎ 根据题意可得，即，所以的取值范围为.‎ ‎ ‎