葫芦岛协作校2018-2019学年高二上学期第一次月考试题 数学理科 Word版含解析

葫芦岛协作校2018-2019学年高二上学期第一次月考试题 数学理科 Word版含解析

葫芦岛协作校 2018-2019 高二第一次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1． 数列 1 ， 3， 5 ， 7 ， 9 ，，的一个通项公式为（ ） A． 2 1na n  B．    1 1 2n na n   C．    1 2 1n na n   D．    11 2 1n na n   2． 设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和， 1 2a  ， 5 33a a ，则 9S  （ ） A． 90 B． 54 C． 54 D． 72 3 。已知等比数列 na 中， 2 3 4 1a a a  ， 6 7 8 64a a a  ，则 5a  （ ） A． 2 B． 2 C．2 D．4 4． 在锐角 ABC△ 中，角 A ， B 所对的边分别为 a ，b ，若 2 sin 2b A a  ，则角 B 等于（ ） A． π 3 B． π 4 C． π 6 D． 5π 12 5． 在 ABC△ 中， 2 2 2a b c bc   ，则 A 等于（ ） A． 45 B．120 C． 60 D． 30 6． 已知数列 na 是等差数列，满足 1 2 52a a S  ，下列结论中错误的是（ ） A． 9 0S  B． 5S 最小 C． 3 6S S D． 5 0a  7．在 ABC△ 中， 60A   ， 4AC  ， 2 3BC  ，则 ABC△ 的面积为（ ） A． 4 3 B．4 C． 2 3 D． 3 8． 设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，且关于 x 的方程 2 1 3 2 0a x a x a   有两个相等的实根，则 9 3 S S  （ ） A．27 B． 21 C．14 D．5 9．设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和， 4 4a  ， 5 15S  ，若数列 1 1 n na a        的前 m 项和为10 11 ，则 m  （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．某船开始看见灯塔 A 时，灯塔 A 在船南偏东 30 方向，后来船沿南偏东 60 的方向航行 45 km 后， 看见灯塔 A 在船正西方向，则这时船与灯塔 A 的距离是（ ） A．15 2 km B． 30 km C．15 km D．15 3 km 11．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 3 7S  ， 6 63S  ，则数列 nna 的前 n 项和为（ ） A．  3 1 2nn    B．  3 1 2nn   C．  1 1 2nn   D．  1 1 2nn   12． 已知 ABC△ 的内角 A ，B ，C 对的边分别为 a ，b ，c ，且 sin 2sin 2sinA B C  ，则 cosC 的 最小值等于（ ） A． 6 2 4  B． 6 4 C． 6 2 4  D． 2 4 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． 若数列 na 的前 n 项和为 22nS n ，则 3 4a a 的值为__________． 14． 在 ABC△ 中，已知 2AB  ， 3AC  ， 120A   ，则 ABC△ 的面积为_______． 15． 在 ABC△ 中，三个角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若角 A ， B ，C 成等差数列，且 边 a ，b ， c 成等比数列，则 ABC△ 的形状为__________． 16． 已知首项为 2 的正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，且当 2n  时， 2 13 2 3nn nSS a    ．若 12 n n S m＋ 恒成立，则实数 m 的取值范围为_______________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知数列 na 中， 1 2a  ， 1 2n na a  ． （1）求 na ； （2）若 n nb n a  ，求数列 nb 的前 5 项的和 5S ． 18．（12 分） ABC△ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知    sin ,cos 3 ,A C a c ，m n ， 已知 ∥m n ， （1）求角 C 的值； （2）若 4 2 3b c ， ，求 ABC△ 的面积． 19．（12 分） 已知 na 是递增的等差数列， 2a ， 4a 是方程 2 5 6 0x x   的根． （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2 n n a    的前 n项和 nS ． 20．（12 分） 在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 cosc A ， cosb B ， cosa C 成 等差数列． （1）求 B ； （2）若 3 3 2a c  ， 3b  ，求 ABC△ 的面积． 21．（12 分） 如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度 为 15°，向山顶前进 10 米后到达点 B，又从点 B 测得斜度为 ，建筑物的高 CD 为 5 米． （1）若 30   ，求 AC 的长； （2）若 45   ，求此山对于地平面的倾斜角 的余弦值． 22．（12 分） 已知数列 na 前 n 项和为 nS ， 1 2a  ，且满足 1 1 2n nS a n  ，  n *N ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设   14 2n nb n a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】首先是符号规律：  1 n ，再是奇数规律： 2 1n  ，因此    1 2 1n na n   ，故选 C． 2．【答案】C 【解析】因为 5 33a a ，所以  2 4 3 2 2d d   ， 2 4d   ， 2d   ，  9 9 89 2 2 542S        ， 故答案为 C． 3．【答案】C 【解析】因为等比数列 na 中， 2 3 4 1a a a  ， 6 7 8 64a a a  ，所以 3 3 1a  ， 3 7 64a  ， 即 3 1a  ， 7 4a  ，因此 2 5 3 7 4a a a  ，因为 5a 与 3a 同号，所以 5 2a  ，故选 C． 4．【答案】B 【解析】由 2 sin 2b A a  ，依正弦定理，可得： 2sin sin 2sinB A A ． ∵ 0 πA  ，∴ sin 0A  ．∴ 2sin 2B  ．∵ π0 2B  ，∴ π 4B  ．故选 B． 5．【答案】C 【解析】由等式可得： 2 2 2a b c bc   ，代入关于角 A 的余弦定理： 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ． 所以 60A   ．故选 C． 6．【答案】B 【解析】由题设可得 1 1 13 2 5 10 2 8 0a d a d a d      ，即 5 0a  ，所以答案 D 正确； 由等差数列的性质可得 1 9 52 0a a a   ，则  1 9 9 5 9 9 02 a aS a    ，所以答案 A 正确； 又  3 6 1 1 1 53 3 6 15 3 4 3 0S S a d a d a d a           ，故答案 C 正确． 所以答案 B 是错误的，应选答案 B． 7．【答案】C 【解析】因为 ABC△ 中， 60A   ， 4AC  ， 2 3BC  ， 由正弦定理得： sin sin BC AC A B  ，所以 2 3 4 sin 60 sin B  ，所以 sin 1B  ， 所以 90B   ， 30C  ，所以 1 2 3 4 sin30 2 32ABCS      △ ，故选 C． 8．【答案】B 【解析】根据题意，关于 x 的方程 2 1 3 2 0a x a x a   有两个相等的实根， 则有  2 3 1 24 0a a a  ，代入等比数列的通项公式变形可得 4 4 0q q  ，即 3 4q  ， 则     9 1 9 3 9 33 3 1 1 1 1 41 211 1 41 1 a q S qq S qa q q         ，故选 B． 9．【答案】C 【解析】 nS 为等差设列 na 的前 n 项和，设公差为 d ， 4 4a  ， 5 15S  ， 则 4 5 3 4 15 5 a S a       ，解得 1d  ，则  4 4na n n    ． 由于  1 1 1 1 1 1 1n na a n n n n     ，则 1 1 1 1 1 1 101 12 2 3 1 1 11mS m m m            ， 解得 10m  ，故答案为 10．故选 C． 10．【答案】D 【解析】根据题意画出图形，如图所示， 可得 60DBC  ， 30DBA   ， 45 kmBC  ， 30ABC  ， 120BAC  ， 在 ABC△ 中，利用正弦定理得： 45 sin120 sin30 AC   ＝ ，  15 3 kmAC  ， 则这时船与灯塔的距离是  15 3 km ．故选 D． 11．【答案】D 【解析】当 1q  时，不成立， 当 1q  时，     3 1 6 1 1 71 1 631 a q q a q q           ，两式相除得 3 6 3 1 1 7 631 1 q q q      ，解得： 2q  ， 1 1a  ， 即 1 1 1 2n n na a q    ， 12n nn a n    ， 2 11 2 2 3 2 2n nS n         ，  2 12 1 2 2 2 ...... 1 2 2n n nS n n          ，两式相减得到：  2 1 1 21 2 2 ...... 2 2 2 1 2 11 2 n n n n n nS n n n                ， 所以  1 1 2n nS n    ，故选 D． 12．【答案】A 【解析】已知等式 sin 2sin 2sinA B C  ，利用正弦定理化简可得： 2 2a b c  ， 两边平方可得： 2 22 4a b c  ，即 2 2 22 2 2 4a ab b c   ， 2 2 2 2 24 4 4 3 2 2 2a b c a ab b      ，即 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 a ab ba b c     ， 2 2 2 1 3 2 6 2cos 2 22 8 4 a b c a bC ab b a            ， 当且仅当 3 2a b b a  时，即 3 2a b 时取等号，则 cosC 的最小值为 6 2 4  ，故选 A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】24 【解析】因为数列 na 的前 n 项和为 22nS n ，所以 2 2 3 3 2 2 3 2 2 10a S S       ， 2 2 4 4 3 2 4 2 3 14a S S       ， 3 4 24a a   ，故答案为 24 ． 14．【答案】 3 3 2 【解析】 2AB  ， 3AC  ， 120A   ， 1 1 3 3sin 2 3 sin1202 2 2ABCS AB AC A          △ ．故答案为 3 3 2 ． 15．【答案】等边三角形 【解析】角 A ， B ，C 成等差数列，则 2B A C  ， A B C    ，解得 3B  ， 边 a ，b ，c 成等比数列，则 2b ac ，余弦定理可知  22 2 2 2 cos 0b a c ac B ac a c a c         ， 故为等边三角形． 16．【答案】 15 16     ， 【解析】由题意可得： 2 1 2 1 1 3 2 3 3 2 3 n n n n n n S a S S a S            ，两式相减可得： 2 2 1 13 3 0n n n na a a a     ， 因式分解可得：   1 1 3 0n n n na a a a     ，又因为数列为正项数列， 所以 1 3 0n na a    ，故数列 na 为以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 所以  3 1 2n n nS  ，所以   2 3 1 2n n n m   恒成立，即其最大值小于等于 m ． 由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当 n 较大时，函数值越来越小，n 较小时存在最大 值，经代入验证，当 3n  时有最大值 15 16 ，所以 15 16m  ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） 2n na  ；（2）77． 【解析】（1） 1 2a  ， 1 2n na a  ， 则数列 na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 12 2 2n n na    ． （2） 2n n nb n a n    ，          2 3 4 5 5 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2S              2 3 4 51 2 3 4 5 2 2 2 2 2            51 5 5 2 2 2 772 1 2       ． 18．【答案】（1） 3  ；（2） 2 3 ． 【解析】（1）由 ∥m n 得 sin 3 cosc A a C ， ∵ sin 0A  ，∴ sin 3cos tan 3 3C C C C      ． （2）由余弦定理： 2 2 2 2 cosc a b ab C   ，得 2a  ，则 1 sin 2 32S ab C  ． 19．【答案】（1） 1 12na n  ；（2） 1 42 2n n nS    ． 【解析】（1）方程 2 5 6 0x x   的两个根为 2，3，由题意得因为 2 2a  ， 4 3a  ． 设数列 na 的公差为 d ，则 4 2 2a a d  ，故 1 2d  ，从而 1 3 2a  ． 所以 na 的通项公式为 1 12na n  ． （2）设 2 n n a    的前 n 项和为 nS ，由（1）知 1 2 2 2 n n n a n   ， 则 2 3 1 3 4 1 2 2 2 2 2n n n n nS        ① 3 4 1 2 1 3 4 1 2 2 2 2 2 2n n n n nS         ② ①-②得 3 4 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 3 1 1 212 4 2 2 2 2 4 4 2 2n n n n n n nS                   ． 所以 1 42 2n n nS    ． 20．【答案】（1） 3B  ；（2） 5 3 16 ． 【解析】（1）∵ cosc A ， cosb B ， cosa C 成等差数列，∴ 2 cos cos cosb B c A a C  ， 由正弦定理 2 sina R A ， 2 sinc R C ， 2 sinb R B ， R 为 ABC△ 外接圆的半径， 代入上式得： 2sin cos sin cos sin cosB B C A A C  ，即  2sin cos sinB B A C  ． 又 A C B    ，∴  2sin cos sinB B B   ，即 2sin cos sinB B B ． 而 sin 0B  ，∴ 1cos 2B  ，由 0 B   ，得 3B  ． （2）∵ 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac    ， ∴  2 22 1 2 2 a c ac b ac     ，又 3 3 2a c  ， 3b  ， ∴ 27 2 34 ac ac   ，即 5 4ac  ， ∴ 1 1 5 3 5 3sin2 2 4 2 16ABCS ac B    △ ． 21．【答案】（1） 5 6 5 2AC   ；（2） cos 3 1   ． 【解析】（1）当 30   时， 150ABC  ， 15ACB BAC     ， 所以 10BC AB  ，由余弦定理得： 2 2 210 10 2 10 10 cos150 200 100 3AC          ，故 10 2 3 5 6 5 2AC     ． （2）当 45   ，在 ABC△ 中，由正弦定理有  sin 6 220 5 6 2sin 4 AB BACBC ACB        ， 在 BCD△ 中， sinsin 3 1BC DBCBDC CD      ， 又 cos cos sin 3 12ADC ADC           ． 22．【答案】（1） 2 2, 1 3 1, 2n n na n     ；（2）   22 2 2 3 2n nT n n     ． 【解析】（1）     1 1 1 2 21 12 n n n n S a n n S a n             时 ， 1 1 1 12 2n n na a a   ， 即  1 3 2 2n na a n    ，即    1 1 3 1n na a    ，当 1 2a  时， 2 2a  ， 2 1 1=1 31 a a   ，  1na  以 2 1 1a   为首项，3 为公比的等比数列，∴ 21 1 3n na    ，即 23 1n na   ， ∴ -2 2, 1 23 1,n n na n    ． （2）          1 1 14 2 4 2 3 1 4 2 3 4 2n n n nb n a n n n            ， 记  ' 0 1 2 12 3 6 3 10 3 4 2 3n nS n          ， ①    ' 1 2 13 2 3 6 3 4 6 3 4 2 3n n nS n n         ② 由① ②得，    ' 0 1 2 12 =2 3 4 3 +3 + +3 4 2 3n n nS n       ，∴  ' 2 2 2 3n nS n   ，       24 2 22 2 2 3 2 2 2 3 22 n n n n nT n n n             ．