【推荐】专题06 大题易丢分-2017届高三上学期期末考试数学（文）备考黄金30题

【推荐】专题06 大题易丢分-2017届高三上学期期末考试数学（文）备考黄金30题

‎（范围：高考范围）‎ ‎1．为了了解学生的体能情况，抽取了某学校同年级部分学生作为样本进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第四小组的频数为10．‎ ‎ ‎ ‎（1）求样本容量；‎ ‎（2）根据样本频率分布直方图，估计学生跳绳次数的中位数（保留整数）．‎ ‎【答案】（1）；（2）106.‎ ‎【解析】‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎2．已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1），．‎ 若，则必须满足解得,‎ 所以的取值范围是．‎ 考点：简易逻辑，不等式的解法 ‎3．已知数列满足.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；‎ ‎（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 由题得， .‎ 由题得，，且数列是等比数列，，‎ ‎∴，，.‎ 又由已知，∴，又 ‎∴的最小值为，此时，即 考点：解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.‎ ‎4．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，∴，‎ 令，则， ‎ ‎、和的变化情况如下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即函数的极大值为，极小值为； ‎ ‎ ‎ 考点：1、利用导数求函数极值；2、利用导数研究函数单调性．‎ ‎5．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且取得最大值时，设，且函数 有两个零点，求实数的取值范围，并证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，函数的单调增区间为，无极值，当时，函数的单调减区间为，增区间为，极小值为；（Ⅱ）；（Ⅲ），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）知。‎ ‎， ‎ 记 ，，故函数在上递增，在上递减，‎ 时，；时，，有两个零点，‎ 故，。 ‎ 不妨设，由题意，‎ 则， ‎ 欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，‎ 即证，设，则只需证明：，‎ 也就是证明：‎ 记，，‎ 在单调递增，‎ ‎，所以原不等式成立，故得证. ‎ 设，则 化简可得，所以函数在单调递增，‎ 时，，，又因为 ‎，且函数在单调递减，，，即，所以成立. ‎ 考点：导数与单调性、极值，函数与零点. ‎ ‎6．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.‎ ‎（Ⅰ）求角A；‎ ‎（Ⅱ）若,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 考点：（1）正弦定理和余弦定理；（2）三角形面积计算公式.‎ ‎7．已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，焦距为4，点是椭圆 上一点，满足，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，‎ 由得，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由得，，又，，‎ 则，，‎ ‎，‎ 那么，‎ 则直线过定点 考点：椭圆的简单性质；余弦定理 ‎8．如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆（）的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．当直线斜率为时，．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）过定点，证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）以为直径的圆过定点． ‎ 下面给出证明：‎ 考点：1、椭圆的方程；2、椭圆的几何性质；3、圆的方程；4、直线的方程．‎ ‎9．已知数列的通项公式为，前n项和记为．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：∵＝3是常数，‎ ‎∴是等差数列． ‎ ‎（2）. ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎． ‎ 考点：等差数列的的定义；数列求和．‎ ‎10．已知函数,且函数在处的切线平行于直线.‎ ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）若在上存在一点,使得成立.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎①当时,即时,在上单调递减,所以的最小值为,由可得,;‎ ‎②当时,即时,在上单调递增,所以的最小值为,由可得;‎ ‎③当时,即时,可得的最小值为,此时,不成立.综上所述:可得所求的范围是或.‎ 考点：导数几何意义,利用导数研究不等式存在性问题 ‎11．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．‎ ‎（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；‎ ‎（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；‎ ‎（3）在（2）的条件下，从体重不轻于73公斤（公斤）的职工中随机抽取两名，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）因为名职工的平均的体重为，‎ 所以样本方差为：．‎ ‎（3）从名职工中随机抽取两名体重不轻于公斤的职工，共有种不同的取法：．‎ 故所求概率为．‎ 考点：1、系统抽样；2、平均数与方差；3、古典概型. ‎ ‎12．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.‎ ‎ ‎ ‎（1）若,求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题解析：（1）,设抛物线的焦点为,,即轴,, 即,得,所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）设,直线的方程为,‎ 将直线的方程代入,消去得,‎ 由得.所以.‎ ‎,‎ 又,所以,‎ 所以,即直线的斜率的平方为定值.‎ 考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系 ‎13．已知正项数列的前项和为，数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；‎ ‎（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）‎ ‎，所以对任意正整数，都有成立．‎ ‎（3）易知，则，①‎ ‎，②‎ ‎①-②可得： ．‎ 故，所以不等式成立，‎ 考点：数列基本概念，数列求和，数列与不等式．‎ ‎14．如图所示，已知椭圆的方程为，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）若，，点在直线上，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）在椭圆上求点的坐标，使得的面积最大．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎ ． ‎ 由已知，得，即． ‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 化简，得．② ‎ 由①②，得，即，．，‎ ‎，满足．的方程为．‎ 考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆的位置关系．‎ ‎15．已知数列满足，，（）．‎ ‎（1）求，，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，当取最大值时，求的值．‎ ‎【答案】（1）,,；（2）.‎ ‎【解析】‎ 考点：隔项成等差数列求和求通项.‎ ‎16．已知，函数．‎ ‎（1）求证：曲线在点处的切线过定点；‎ ‎（2）若是在区间上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：对任意给定的正数 ，总存在，使得在上为单调函数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵，∴ ‎ ‎∵，∴曲线在点处的切线方程为， ‎ 即，令，则，‎ 故曲线在点处的切线过定点 ‎ ‎（3）证明：，‎ ‎∵，∴ ‎ 令，得或递增；令，得递减，‎ ‎∵，∴‎ 若在上为单调函数，则，即 ‎ 故对任意给定的正数，总存在（其中），使得在上为单调函数 考点：导数的应用.‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（1）当时,求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若函数在上的最小值记为，请写出的函数表达式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）‎ ‎,由得，由得 在上为减函数，在上为增函数． ‎ ‎①当时，在上为增函数．‎ 在上为减函数，在上为增函数． ‎ ‎②当时，在上为减函数，在上为增函数．‎ ‎③当时，在上为减函数 综上所述，‎ 考点：1.导数的几何意义；2.函数导数与单调性最值 ‎18．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得样本数据的频率分布直方图如下.‎ ‎（1）求，并根据图中的数据，用分层抽样的方法抽取个元件，元件寿命落在之间的应抽取几个？‎ ‎（2）从（1）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件“恰好有一个元件寿命落在之间，一个元件寿命落在之间”的概率.‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）记“恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”为事件，易知，寿命落在之间的元件有个，分别记，落在之间的元件有个，分别记为：，从中任取个元件，有如下基本事件：‎ ‎，，共有个基本事件. 9分 考点：频率分布直方图与古典概型．‎ ‎19．如图，已知是以为圆心，以4为半径的圆上的动点，与所连线段的垂直平分线与线段交于点.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点坐标为（4,0），并且倾斜角为锐角的直线经过点并且与曲线相交于两点，‎ ‎（ⅰ）求证：；‎ ‎（ⅱ）若，求直线的方程.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)（i）证明见解析；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）(ⅰ)设，，直线的方程为，则，，．‎ 则，．…………………………6分 所以 ‎．‎ 即．…………………………8分 ‎（ⅱ）因为，所以，不妨设点在第一象限，则，，所以，；即 ‎…………………………10分 所以是方程，即方程的两个根，‎ 所以，，所以，．又倾斜角为锐角，‎ 所以，所以直线的方程为．…………………………12分 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系．‎ ‎20．已知函数，，．‎ ‎（1）当，时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数的图象在两点，处的切线分别为，，若，，且，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是（2）（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎①若，则恒成立，所以在上单调递减；‎ ‎②若，则，令，解得或（舍去），‎ 若，则，在上单调递减；‎ 若，则，在上单调递增；‎ 综上，函数的单调减区间是，单调增区间是．‎ ‎（2）当，时，，而，‎ 所以当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ 所以函数在上的最小值为，‎ 所以恒成立，解得或（舍去），‎ 又由，解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ 由，得，令，则，，‎ 所以，设，则，‎ 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立，导数几何意义